Có thể không có thật, nhưng "giảm ngặt" thì có.

Cụm này thì e nghĩ là để nói về dãy số thì sẽ đúng hơn đó a, tại nghịch biến dùng để nói về hàm chứ ko nói về dãy số, mà hàm vs dãy số khác nhau mà 

Nghịch biến nói chung là $f'(x) \le 0$, nên vẫn có thể nhận $f'(x) = 0$, tức là hàm hằng ($f'(x) = 0$)  vẫn có thể coi là nghịch biến.

Còn khi nào nói nghịch biến nghiêm ngặt thì mới là $f'(x) < 0$,

Trong khá nhiều sách nâng cao, e cx ko thấy nói về cụm $\text{nghịch biến nghiêm ngặt}$ nhiều lắm 

Nhưng đối với hàm đa thức thì e nghĩ việc dấu = xảy ra thì mới đủ nhưng mà chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm 

Đề yêu cầu tìm hàm số, chứ không phải đa thức nhé bạn.

Em nghĩ cái này giống PTH đó a, tìm được $f(x)$ thì sẽ tìm được $f(1)$ và $f'(1)$ 

Theo a thì bài này nên làm như nào v ạ :??

Thay $x=0$ vào biểu thức đã cho ta được: $f(1) = 0$

Biểu thức dưới $f$ là bậc $1$ và $2$ và vế phải là bậc $2$ nên $f(x)$ phải có bậc $1$ 

Khi đó $f(x) = ax+b(a \ne 0)$

Thay $x=1$ vào ta được $f(2) + f(1) = 1 \to f(2) = 1$

Khi đó ta có hệ $\begin{cases} a+b=0 \\ 2a + b = 1 \end{cases}$

$\to \begin{cases} a=1 \\ b=-1 \end{cases}$

Hàm $f$ cần tìm là : $f(x) = x - 1$

Thay lại ta thấy thỏa mãn

Bài hơi lạ nhen *゜ー゜*

https://diendantoanh...hàm-số-đạo-hàm/

Bài post này bị lỗi font rồi ạ 

Bạn đã có $D,P,Q,I$ đồng viên chưa?

E quên mất. Srry anh

Nếu như CM được $D,P,Q,I$ đồng viên xong làm như này có ổn không ạ?

Cho em hỏi với ạ khi em đánh bằng bàn phím ở một số bài post thì không gọi tên được ạ 

Nhưng khi ấn vào chữ @Đề cập bên dưới thì lại được ạ 

Mặc dù là cùng font chữ nhưng không được, cho e hỏi là e có bị sai ở bước nào ko ạ 

Như ở bài post này

https://diendantoanh...-n/#entry737958

@Nesbit  Nhờ anh check hộ em với ạ

Chứng minh $x_n > 2$ bằng qui nạp như trên

Ta có: $x^3_{n+1} - 3x_{n+1} - x^3_n + 3x_n = \sqrt{x_n + 2} - x_n^3 + 3x_n$

$\iff (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2) -3(x_{n+1} - x_n) = \sqrt{x_n + 2} - (x_n^3 - 3x_n)$

$\iff (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2- 3) = \dfrac{x_n + 2 - (x_n^3 - 3x_n)^2}{\sqrt{x_n + 2} + x_n^3 - 3x_n}$

$\iff (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2- 3) = \dfrac{7x_n + 2 - x_{n+1}^6 - 9x_n^2}{\sqrt{x_n + 2} + x_n^3 - 3x_n}(*)$

Mà $x_n > 2(\text{chứng minh trên}) \to x_n^2 > 4$ nên $x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2- 3 > 0(1)$

Tương tự ta cũng có

$7x_n + 2 - x_{n+1}^6 - 9x_n^2$

$= x_n(7 - 9x_n) + (2 - x_{n+1}^6)$

Do $x_n > 2$ nên $x_n(7 - 9x_n) < 0$ và $2 - x_{n+1}^6 < 0(2)$

$\to x_n(7 - 9x_n) + (2 - x_{n+1}^6) < 0$

Hiển nhiên ta có $\sqrt{x_n + 2} + x_n^3 - 3x_n > 0(3)$

Từ $(*),(1),(2)$ và $(3)$ ta suy ra được $x_{n+1} - x_n < 0 \to x_{n+1} < x_n$ hay dãy $(x_n)$ giảm

Vì dãy giảm và chặn dưới nên theo đ/lý weierstrass thì dãy có giới hạn và làm tương như trên

Cho e hỏi là ở đây làm sao mình biết là phải chứng minh từ $OB^2 - OC^2$ ?

Em thử xoá cache trình duyệt xem sao nhé.

Làm như nào vậy ạ?

Không hiểu sao tầm khoảng hơn tuần trước khi mở thanh thông báo thì nó cứ hiện ra hình tròn quay liên tục và không xem được thông báo mặc dù đã đợi khá lâu. Có thể giúp e được không ạ

@Nobodyv3

E đóng góp thêm $1$ lời giải nữa     

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $\overline{a_1a_2...a_{10}}$

Theo đề thì bắt buộc các số $1,2,3,4,6$ phải đứng trước số $5$.

Do đó số $5$ chỉ có thể ở các vị trí $a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10}$

TH1 : $a_{10} = 5$

Có $C_9^1$ cách xếp số $6$

Bộ $(1,2,3,4)$ có $C_8^4$ cách chọn vị trí

Xếp các số $0,7,8,9$ có $4!$ cách

Suy ra có $9.C_8^4.4!$ số được tạo thành(kể cả số 0 đứng đầu)

Cố định $a_1=0$ có $8.C_7^4.3!$ cách

TH1 có : $9.C_8^4.4! - 9.C_7^4.3!$ số được tạo thành

TH2 : $a_9=5$. Ta có $8.C_7^4! - 7.C_6^4.3!$(số)

TH3 : $a_8=5$. Ta có $7.C_6^4! - 6.C_5^4.3!$(số)

TH4 : $a_7=5$. Ta có $6.C_5^4! - 5.C_4^4.3!$(số)

TH5 : $a_6=5$. Ta có $5.C_4^4! $(số)

Từ các trường hợp số số thỏa mãn là $22680$ số 

Long but quite helpful at times     

$\displaystyle\Ruka$

Góp ý về tài liệu PHƯƠNG TÍCH - TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

Sau chữ "Vậy" thì hệ phải là $\begin{cases} HQ - HP = AH\\HP.HQ = AH^2 \end{cases}$

Và sau khi giải ra ta được $\begin{cases} HP = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}AH\\HQ = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}AH \end{cases}$

Chắc do đánh nhanh quá nên nhầm         

Proof

Đoạn này $c$ phải là hằng số nên phải đặt $c = \frac{1}{2}$ thì $|x_{n+1} - 2| < \frac{1}{2}|x_n-2|$. 

Sao bạn biết là $c = \dfrac{1}{2}$ mặc dù giá trị của $x_n$ có thể thay đổi?

Dễ thấy bằng quy nạp ta thấy $U_n\leq2015+\dfrac{1}{n}$

Khi đó ta có ngay $U_n$ giảm, Suy ra $U_n$ có giới hạn hữu hạn 

Cho n tiến đến vô cùng ta có ngay lim $U_n=2015$

Theo bạn thì lời giải như này có đúng không?

Nếu có thì phần tô đỏ làm sao được như vậy?

Quest : Cho tam giác tù ABC có $\widehat{ABC} > 90^o$ . Gọi $(I)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC; (I)$ tiếp xúc các cạnh $BC, CA, AB$  lần lượt tại $D, E, F$  . Đường thẳng AI cắt đường tròn (I) tại M và N ( M nằm giữa A và N ); DM cắt EF tại K; AI cắt EF tại Q; NK cắt lại đường tròn $(I)$ tại điểm P khác N. Chứng minh ba điểm A, P, D thẳng hàng.

Bài làm:

Xét tam giác vuông $AFI$ có : $AF^2 = AI.AQ (*) $

Mặt khác $\mathcal{P}_{A/(DPQI)} = AQ.AI (**)$

Từ $(*)$ và $(**)$ ta suy ra $AF^2 = \mathcal{P}_{A/(DPQI)}$

Mà tứ giác $DPQI$ nằm trong $(I)$ nên

$\mathcal{P}_{A/(I)} = \mathcal{P}_{A/(DPQI)}$

$\rightarrow AF^2 = \mathcal{P}_{A/(I)}$

Đường tròn $(I)$ cắt đường tròn qua $D,P,Q,I$ đoạn $PD$ nên 

$A \in DP \rightarrow \overline{A,P,D}$

Suy luận như này có đúng không ạ?

Cho dãy số $\begin{cases} u_1 = 2017\\u_{n+1} = \dfrac{2015n+1}{2016n+1}(u_n + 1) \end{cases}$ $\forall n \ge 1$

Find $\lim u_n$

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 10 số đôi một khác nhau, trong đó các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 được xêp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải nhưng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thì không được xếp như vậy.

Đoạn này chưa đúng. Chẳng hạn giả sử $x_1 < x_2$. Ta có $f(x_2) = x_1 < x_2 = f(x_3)$. Mà $f$ nghịch biến nên $x_2 > x_3$, tức dãy cứ tăng, giảm, tăng, giảm,...

Bài này hình như có cách nhanh hơn là xét $(x_{n+1} - 2)(x_{n+1}+1)^2 = \frac{x_n-2}{\sqrt{x_n+2} + 2}\Rightarrow |x_{n+1}-2| < c|x_n-2|$, trong đó $c$ là hằng số nhỏ hơn $1$

$\Rightarrow \lim x_n - 2 = 0$.

Bn cho t hỏi cái này chút . Có phải ý bạn như này?

$(x_{n+1}-2)(x_{n+1}+1)^2 = \dfrac{x_n-2}{\sqrt{x_n+2}+2}$

$\to x_{n+1} - 2 = \dfrac{1}{(x_{n+1}+1)^2(\sqrt{x_n+2}+2)}(x_n-2)$

Dễ thấy $0 < \dfrac{1}{(x_{n+1} + 1)^2(\sqrt{x_n+2}+2)}(x_n-2)$

Đặt $c = \dfrac{1}{(x_{n+1}+1)^2(\sqrt{x_n+2}+2)}(x_n-2)$ ($ c \in (0;1)$  )

Khi đó : $x_{n+1} -2 = c(x_n - 2)$

$\to |x_{n+1} - 2| = c|x_n - 2|$

Mà $|x_{n+1} - 2| > 0$ , $c|x_n - 2| < 0$ ( do $c \in (0;1)$ )

Áp dụng định lí giới hạn kẹp suy ra  $\lim(x_{n+1} - 2) = 0 \to \lim(x_n - 2) = 0$

Giải phương trình: $(x+2)\sqrt{x+1}\doteq x^3+ 6x^2+ 12x+ 7$

ĐK : $x \ge -1$

PT tương đương với

$(x+2)\sqrt{x+1} = (x+1)(x^2 + 5x + 7)$

$\iff (x+2)\sqrt{x+1} = (x+1)[(x+1)^2 + 3(x+2)]$

Đến đây đặt $\sqrt{x+1} = a$,$x+2 = b$ và giải như bth

Nghiệm $x=-1$ và $1$ nghiệm khác.

@Matthew James Thực chất ra bài này chính là bài 11 của bài post này

https://diendantoanh...ng-trình/page-2

Và cách giải của @Sangnguyen3 cũng giống như vậy ...

Việc viết dãy số thành $x_{n+1} = f(x_n)$ hay $x_n = f(x_{n+1})$ và đặt $x_n = k$

Tính đạo hàm $f'(k)$ và nó đồng biến ở khoảng nào thì dãy tăng trên khoảng đó có đúng không ạ?

E thấy có vài bạn làm như vậy rồi nhưng e ko hiểu lắm

Một số bài làm như:

Của @pcoVietnam02 

$f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ rồi qui nạp CM $a_n$ là dãy tăng, nghĩa là sao?

Của đề thi VMO 2023

Điều này có nghĩa là hàm $f$ đồng biến trên $[0;1]$ đồng nghĩa với $x_n$ tăng ngặt trên $[0;1]$

Mong mn giúp e với ạ

@thanhng2k7 xem lại bài nhé

Applying LR'hospital theorem we have

$\lim_{x \to 0} \dfrac{tanx-sinx}{x^3}$

$=\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{cos^2x} - cosx}{3x^2}$

$=\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{sin2x}{cos^4x} + sinx}{6x}$

$=\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{6}(\dfrac{2cos2x + 4sinxsin2xcos^3x}{cos^8x} + sinx)$

$= \dfrac{2}{6}$

$=\dfrac{1}{3}$

 

Cho x1 = 2019 với mọi n lớn hơn hoặc bằng 1

$x_{n+1} = \frac{1}{2018}x_{n}^{2} + \frac{2017}{2018}x_{n}$

Chứng minh rằng đây là một dãy số tăng ngặt và không bị chặn trên. 

 

Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp : $x_n > 1(*)$

Với $n=1$ thì $x_1 = 2019(\text{đúng})$, suy ra $(*)$ đúng với $n =1$

Giả sử $(*)$ đúng với $n=k \ge 1$ 

Khi đó: $x_{k+1}  = \dfrac{1}{2018}x_k^2 + \dfrac{2017}{2018}x_k$

Theo gtqn thì $x_{k+1} \ge \dfrac{1}{2018} + \dfrac{2017}{2018} = 1$

Vậy $x_{k+1} > 1$. Suy ra $(*)$ đúng với $n=k+1$

Theo nlqn thì $(*)$ đúng.

Xét $\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{1}{2017}x_n + \dfrac{2017}{2018} > 1$ (do $x_n > 1$)

Suy ra dãy $x_n$ tăng ngặt

Giả sử dãy $x_n$ bị chặn trên. Theo định lí Weierstrass thì dãy $x_n$ có giới hạn 

Đặt $\lim x_n = t(t > 2019)$ . Khi đó ta có:

$t = \dfrac{1}{2018}t^2 + \dfrac{2017}{2018}t$

$\iff t = 1(\text{Exterminated})$

Từ đây ta suy ra được dãy $x_n$ không bị chặn trên.