Cho tam giác ABC(AB<AC) và các tam giác cân BAD,CAE(BA=BD,CA=CE) sao cho D nằm khác phía với C đối với AB,E nằm khác phía đối với B đối với AC và $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.Gọi M là trung điểm của BC.Chứng minh MD=ME

Cho $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ có AB = A'B', BC=B'C'. Chứng minh rằng nếu AC < A'C' thì góc B nhỏ hơn góc B'

Cho tg ABC vuông tại A , kẻ đường cao ẠH , đường tròng( A;AH) cắt đường tròn ngoại tiếp tgABC tại D và E .CMR DE đi qua trung điểm của AH

Gọi đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là $(P)$

Gọi $K$ là giao điểm của $DE$ và $AH$

Kẻ đường kính $AM$ của $(P)$.

Dễ thấy $AP$ vuông góc với $DE$.

$AM$ vuông góc với $DE$ tại $Q$

Chứng minh được $\Delta AQK \sim \Delta AHP \Rightarrow AK.AH=AP.QA=\frac{1}{2}AM.QA=\frac{1}{2}AE^{2}=\frac{1}{2}AH^{2}$

$\Rightarrow AK=\frac{1}{2}AH$ $\Rightarrow$ đpcm

p/s: Bạn tự vẽ hình nhé

Xác định tham số $a$ để phương trình ẩn $x$ sau :

$x^{4}+2x^{2}+2ax+a^{2}+2a+1=0$ có nghiệm đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\geq \frac{1}{4}$

Chắc bài này là dấu "$\leq$"

Ta có $a+b+c=1$ nên $\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{(a+c)+(b+c)}\leq \frac{ab}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})$

Tương tự với $\frac{bc}{a+1}\leq \frac{bc}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})$

$\frac{ca}{b+1}\leq \frac{ca}{4}(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{b+a})$

$\Rightarrow \frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{bc+ca}{a+b})=\frac{1}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

dễ thấy $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} <=> (a+b)(b+c)(c+a)=0 <=> a=-b$ hoặc b=-c$ hoặc c=-a$

$\Rightarrow \left ( a^{25}+b^{25} \right )(b^3+c^3)(c^{2000}-a^{2000})=0$

Giải phương trình 

$x^{3}+x^{2}+x+2=0$

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O).Gọi T là điểm chính giữa cung BC không chứa A.Lấy E là điểm bất kì trên AB.Gọi I là giao điểm ET với BC.Đường vuông góc với EI tại I cắt AC tại F.Chứng minh EF=BE+CF

Cho hình vuông ABCD cạnh a,M là điểm tùy ý trên AB(M không trùng với A,B).MC cắt BD tại P,MD cắt AC tại Q.Tìm giá trị lớn nhất của tam giác MPQ khi M di động trên AB

$S_{MPQ}=MQ.MP.sin\angle QMP$

$S_{MDC}=MD.MC.sin\angle QMP$

$\Rightarrow \frac{S_{MPQ}}{S_{MCD}}=\frac{MQ}{MD}.\frac{MP}{MC}=\frac{1}{1+\frac{QD}{MQ}}.\frac{1}{1+\frac{PC}{MP}}$

tới đây đặt $\frac{QM}{QD}=x,\frac{MP}{PC}=y$ và $x+y=1$

Cần tìm GTNN của $(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})$ là xong 

p/s: tự vẽ hình

1. Cho $\Delta ABC$, $M$ là điểm di động trên cạnh $BC$. $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB$, $AC$. Xác định vị trí của $M$ để $DE$ có độ dài ngắn nhất.

2. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn và có các đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $M$. Từ $M$ vẽ các đường vuông góc $MA'$,$MB'$,$MC'$,$MD'$ lần lượt đến các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.Chứng minh rằng $A'B'$ +$C'D'$=$A'D'$ +$B'C'$

Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=4$.

Tìm Min: P=$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{a^{3}+1}}$.

Ta có

$P=\frac{a}{\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}}+\frac{b}{\sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)}}\geq \frac{2a}{b^{2}+2}+\frac{2b}{a^{2}+2}$

Mà $\frac{2a}{b^{2}+2}+\frac{2b}{a^{2}+2}=\frac{2a^{2}}{ab^{2}+2a}+\frac{2b^{2}}{a^{2}b+2b}\geq \frac{2(a+b)^{2}}{ab(a+b)+2(a+b)}=\frac{2(a+b)}{ab+2}\geq \frac{2.4}{\frac{(a+b)^{2}}{4}+2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ 

Nên $minP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow a=b=2$

Cho hình vuông lấy điểm I ở trong hình vuông sao cho $\Delta DIC$ cân tại I có $\angle IDC=15^{0}$. Chứng minh rằng $\Delta BAI$ đều

Vẽ $\Delta CIN$ đều , $N$ nằm trong $\Delta CIB$

Dễ thấy $\angle DIC =150^{\circ}$

Ta có $\Delta IDC = \Delta NBC$ (c-g-c)

$\Rightarrow \angle CNB =150^{\circ}$

$\Rightarrow \angle INB = 360^{\circ}-\angle INC-\angle BNC=150^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta INB=\Delta CNB$(c-g-c)

Từ đó dễ dàng $\Rightarrow \angle IBC =30^{\circ}\Rightarrow \angle ABI =60^{\circ}$ (1)

Ta có $IB=BC=AB$ nên $\Delta AIB$ cân tại B(2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

p/s:  bạn tự vẽ hình nhé

Cho $m,n$ là các số nguyên lớn hơn 1. chứng minh $m^{n}$ là tổng của $m$ số lẻ liên tiếp

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $2^{x}+1=xy$

Cho $\Delta ABC$, $BD$ và $CE$ lần lượt là 2 đường phân giác trong của tam giác tại đỉnh $B$ và $C$. Trên đoạn thẳng $DE$ lấy một điểm M bất kì.Từ $M$ kẻ các đường vuông góc với $BC,CA,BA$ lần lượt tại $I,J,K$. Chứng minh rằng trong ba đoạn thẳng $MI,MJ,MK$ có một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn còn lại.

Đặt $1+a = x$ $(x > 0)$

$2+b = y$ $(y > 0)$

 $3+c = z$ $(z > 0)$

Biến đổi VT :

$\frac{a}{a+1}+\frac{2b}{2+b}+\frac{3c}{3+c}=\frac{x-1}{x}+\frac{2y-4}{y}+\frac{3z-9}{z}=1+2+3 - \left ( \frac{1}{x} +\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\right )$

Áp dụng BĐT $BCS$ ta có :

$VT \leq 6 - \frac{(1+2+3)^{2}}{1+a+2+b+3+c}=6-\frac{36}{7}=\frac{6}{7}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{1}{6}, b=\frac{1}{3}, c= \frac{1}{2}$

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB.$ Gọi $M$ là điểm đối xứng của $O$ qua $A.$ Qua $M$ kẻ đường thẳng cắt $(O)$ tại $C$ và $D.$ $AD$ cắt $BC$ tại $I.$ Gọi $E$ là trung điểm $AO.$ Chứng minh tứ giác $EIDB$ nội tiếp.

Xét $\Delta ODM \sim \Delta OED \Rightarrow \angle ODM=\angle OED$

mà ta có $\angle ODM=\angle OCD  (OD=OC=R) \Rightarrow \angle OED = \angle OCD$ (1)

Ta có $\angle BID =\angle OCD$$= \frac{1}{2}(sđ BD + sđ AC)$ (2) (dễ dàng cm được )

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \angle OED = \angle BID$ $\Rightarrow$ đpcm

P/S: tự vẽ hình

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$

Bài này đặt $b+c-a=x, a+c-b=y,a+b-c=z (x,y,z>0)$ 

Ta có $\frac{2a}{b+c-a}=\frac{y+z}{x}=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}$

Tương tự với 2 cái còn lại ta được

$\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{b+a-c}=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{z}{x}+\frac{x}{z})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})\geq 6$

Nghiệm nguyên: $x^2+xy+y^2=x^2y^2$

+) Xét x=0 hoặc y=0

+) Xét x,y khác 0.Không mất tính tổng quát, giả sử $x\leq y$ .

Từ gt $\Rightarrow \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{y^{2}}=1$

$\Rightarrow \frac{1}{x^{2}}\geq \frac{1}{xy}\geq \frac{1}{y^{2}}\Rightarrow \frac{3}{x^{2}}\geq 1\Rightarrow x^{2}\leq 3$

$\Rightarrow x^{2}\leq 3\Rightarrow x=1, x=-1$ 

Từ đó ta tính được $(x,y)$

hình như đề thiếu phải có điều kiện $\left | mq-np \right |=1$ nữa thì phải

Đề đúng r bạn 

Tìm $UCLN (am+nb,pa+qb)$ với $a,n,m,b,q,p \in \mathbb{N}$ , $m,n,p,q$ là các hằng số cho trước 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh 

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq\frac{3}{4}$

Bài này có thể giải đơn giản hơn bằng pp biến đổi tương đương

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(c+1)(b+1)}+\frac{c}{(a+1)(c+1)}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow 4a(c+1)+4b(a+1)+4c(b+1)\geq 3(a+1)(b+1)(c+1)\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\geq 6$  (2)

(2) luôn đúng  vì $ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{ab.bc.ca}=3$ và $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ (do $abc=1$)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Cho $x,y,z >0$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \sqrt{3}(x+y+z)$

Cho $\bigtriangleup ABC$ , đường cao AH chia cạnh BC thành 2 đoạn : Biết BH=1, CH=4. Tính các cạnh và các góc của $\bigtriangleup ABC$

Làm sao ra được như vậy

Đề thực ra thế này:
 

 

(D;E;F thuộc AB;BC;CA);BF cắt đường tròn tại I; DI cắt BC tại M.

1. Cm: $DEF$ có 3 góc nhọn

2. Cm: $DF//BC$
3. Cm: $BDFC$ nội tiếp

4. Cm: $BD.CF=BM.BC$

c) Dễ thấy $\angle ADF =\angle ABC =\angle BCA$ ( do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

nên tứ giác $BDFC$ nội tiếp

d) Ta có $\angle BDM =\angle DFI =\angle FBC$  và $\angle BDM =\angle FCB$ 

Nên $\Delta DBM \sim \Delta BCF$ (g-g)

$\Rightarrow \frac{BD}{BC}= \frac{BM}{CF}\Rightarrow BD.CF=BC.BM$ (ĐPCM)

p/s: mình không kịp vẽ hình nha