đã có ai biết kết quả chưa?

chuyển vế phải sang và phân tích thành tổng 2 binh phương 

Đáp số: X=-3

Nếu 7 số đã cho có 2 chữ số tận cùng giống nhau thi chúng là các số thỏa mãn, nếu không, ta chia các số làm 3 nhóm

Nhóm 1: các số có chữ số tận cùng là 0;5

Nhóm 2: các số có chữ số tận cùng là 1;2;3;4

Nhóm 3: các số có chữ số tận cùng là 9;8;7;6

Ta thấy nhom 2 và 3 có ít nhất 5 số trong 7 số đã cho và đến đây dễ dàng có được điều phải chứng minh

Vi các chữ số tận cùng là khác nhau mà nhóm 1 chỉ có 2 loại chữ số tận cùng nên trong 7 số đã cho có ít nhất 5 số thuộc nhóm 2 và 3

dùng cô-si ngược dấu phát là ra

Cho (O), đườnh kính AB, C là điểm chính giữa cung AB. Trên đoạn OC lấy 2 điểm M và N sao cho OM=1/2 OC; ON=1/3 OC. AN và BM cắt nhau tại K. CMR: K là trung điểm của BE (với E là giao điểm của BM và (O))

Cho a;b;c > 0 ; abc=1

Tim max S=$\sum \frac{a}{a^2+b^2+c}$

$a/$ Cho $x,y\in \mathbb{Q}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}=xy(3x+3y+2)$

Chứng minh rằng $\sqrt{1-xy}\in \mathbb{Q}$

$b/$ Cho $x,y\in \mathbb{Q}^{+}$ thỏa mãn $x^{3}+y^{3}=2x^{2}y^{2}$

Chứng minh rằng $\sqrt{1-\frac{1}{xy}}\in \mathbb{Q}$

a) Từ điều kiện đã cho suy ra $x^3+y^3=2xy\Leftrightarrow \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=2 . Mặt khác $\sqrt{1-xy}=\frac{1}{2}\sqrt{4-4xy}$$4=(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x})^2 va $xy=\frac{x^2}{y}.\frac{y^2}{x}$

Suy ra $\sqrt{1-xy}=\frac{1}{2}\sqrt{(\frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x})}^2$ la so huu ti

b) Tuong tu a

Là cùng thuộc 1dg tròn

64 *63/2=2016

$\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ và $\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$

Vậy ta cần tìm n để  $2n+1\vdots 3$ (dễ rồi)

Chào tất cả các bạn.

Mình không học Toán chuyên sâu nên mong các bạn giúp mình giải 3 bài toán chia hết. Máy tính của mình bị lỗi, bật TEX là tự động treo máy nên mình xin up file ảnh lên. Cảm ơn các bạn nhiều nhiều.

Mình làm bài 3 trước

$n+1\vdots 25\Rightarrow n$ có thể có 2 c/s tận cùng là 99;24;49;74

Mà$n+2\vdots 4\Rightarrow$ n có 2 c/s tận cùng là 74

Nhung $n\vdots 9$ nên só n nhỏ nhất thoả mãn là 774

Bài 2

$\overline{xy2}\vdots 4\Rightarrow y$ lẻ$\overline{xy2}\vdots 7\Rightarrow \overline{xy}-4\vdots 7$

Từ đó tìm được các số thoã mãn

Bài 1

Ta có ; $a^{101}-a^{100}\equiv 67 (mod 73) \Rightarrow a^{100}(a-1)\equiv 67 (mod73)\Rightarrow a\equiv 71(mod73)$

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh

$$\frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{1}{a^2+7}+\frac{1}{b^2+7}+\frac{1}{c^2+7}$$

Ta có:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+2b+c}$

Mà $a^2+1\geq 2a$ ; $2(b^2+1)\geq4b$ ; $c^2+1\geq 2c$

$\Rightarrow a^2+2b^2+c^2+4\geq 2(a+2b+c)$

$\Rightarrow b^2+7\geq 2(a+2b+c)$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{8}{b^2+7}$

Chứng minh tương tự rồi cộng các BDT lại ta có dpcm

Câu III (nhờ mọi người vẽ hình hộ)

a)

Tứ giác ALFM nội tiếp nên

$\angle LAM =\angle EFD$

Mà $\angle EFD =\frac{1}{2}\angle EID=\angle DIC=\angle DEC= \angle AED =\angle AMK$

Nên $\angle LAM =\angle AMK$

$\Rightarrow AL$ song song $MK$

CMTT ta được LM song song AK

$\Rightarrow$ Tứ giác ALMK là hình bình hành

Đến đây dễ dàng suy ra đpcm

b) Dễ thấy

LM song song QE ; MK song song PF (tính chất đường trung bình)

Nen nếu QE cắt FP tại N; LM cắt FP tại X ; FP cất QE tại Y thì NXMY là hình bình hành

$\Rightarrow$ $\angle PNE =\angle LMK=\angle LAK$

$\Rightarrow \angle FNE +\angle FDE =180$

Suy ra tứ giác FNED nội tiếp

Dễ dàng suy ra dpcm

Câu I:

1) Với a,b,c>0. ab+ac+bc =1 .CMR:

               

                $\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}-\frac{c}{1+c^{2}}=\frac{2ab}{\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}}$

 

2) Giải phương trình:  $4x + \sqrt{3x^{2}+10x+3}=2x\sqrt{3x+1}+2\sqrt{x+3}$

 

 

Câu II:

1) Số 27000001 có đúng 4 ước nguyên tố,hãy tính tổng của chúng.

 

2) CMR:

                $\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\frac{1}{6\sqrt{4}}+...+\frac{1}{2n\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>1$

 

 

Câu III: Cho tam giác ABC.(K) đi qua B,C sao cho luôn cắt AB,AC tại F,E khác B,C.BE giao CF tại H.M là trung điểm EF.Gọi P,Q là điểm đối xứng của A qua BE,CF.

1) CMR:(I) ngoại tiếp tam giác HPE và (J) ngoại tiếp tam giác HQF cắt nhau trên AM.

2) CMR: (I) và (J) có bán kính bằng nhau.

 

 

Câu IV: x,y,z >0 thoả mãn $\Sigma \frac{1}{x}=2$

 

                                                   CMR: $\Sigma \sqrt{x+1}\leq \sqrt{5(\Sigma x)}$

 

Có ai ở đây đi thi ko?Tình hình làm bài thế nào? :biggrin:Mình cũng bình thường.

Cách khác câu IV

$VT=\sum \sqrt{x(1+\frac{1}{x})}$

$VT^2\leq (x+y+z)(1+\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}+1+\frac{1}{z})=5(x+y+z)$ (Bu-nhi-a-cốp-xki)

Từ đây có dpcm

Đặt $\frac{a}{1-a}=x; \frac{b}{1-b}=y;\frac{c}{1-c}=z;\frac{1-a-b-c}{a+b+c}=t$

Dễ dàng tính được $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{t+1}=3$

Bài toán quy về chứng minh $xyzt\leq \frac{1}{81}$

Ta có:

$\frac{1}{1+x}=1-\frac{1}{1+y}+1-\frac{1}{1+z}+1-\frac{1}{1+t}=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}+\frac{t}{1+t}$

$\Rightarrow \frac{1}{1+x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{yzt}{(1+y)(1+z)(1+t)}}$

CMTT rồi nhân các BDT lại và thu gọn ta được dpcm

Từ điều kiện đã cho suy ra $a^{200}\left ( a-1 \right )+b^{200}\left ( b-1 \right )>0$

BDT đã cho tương đương $a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right )\geq 0$

Ta chứng minh $a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right ) > $a^{200}\left ( a-1 \right )+b^{200}\left ( b-1 \right )

Thật vậy, xét hiệu

$a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right )-$a^{200}\left ( a-1 \right )-b^{200}\left ( b-1 \right ) = $a^{200}(a-1)^2+b^{200}(b-1)^2\geq$0

Suy ra dpcm

Tính giá trị của biểu thức :  $x\sqrt{y^{2}+2}+y\sqrt{x^{2}+2}$ khi $(x+\sqrt{x^{2}+2})(y+\sqrt{y^{2}+2})=2$

ĐK đã cho tương đương

$\frac{2}{\sqrt{x^2+2}-x}*\frac{2}{\sqrt{y^2+2}-y}=2$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+2}-x)(\sqrt{y^2+2}-y)=2=(\sqrt{x^2+2}+x)(\sqrt{y^2+2}+y)$

Khai triển ra và rút gọn ta được $-x\sqrt{y^2+2}-y\sqrt{x^2+2}=x\sqrt{y^2+2}+y\sqrt{x^2+2}$

Suy ra biểu thức cần tính có giá trị là 0

Câu 2 bài 2 thì xét tổng $\overline{abcde}+\overline{abc}-(10d+e)=101\overline{abc}\vdots 101$ nên chỉ cần tìm số các số có 5 chữ số chia hết cho 101 thôi

Ta có $9^{n}+3^{n}+1=\frac{27^{n}-1}{3^{n}-1}$

Tử số chia hết cho 13

Mà $n$ không chia hết cho 3 nên mẫu không chia hết cho 13

Suy ra $A\vdots 13$ (do 13 nguyên tố)

Xét $VP=(b^2+ab+bc+ca)(c+a)+abc=(c+a)(ab+bc+ca)+b^2(c+a)+abc=(c+a)(ab+bc+ca)+b(ab+bc+ca)=VT$

Bài 2

Pt đã cho tương đương

$2-\frac{3}{x+2}-\frac{11}{x+6}=2-\frac{5}{x+3}-\frac{9}{x+5} \Leftrightarrow \frac{14x+40}{x^2+8x+12}=\frac{14x+52}{x^2+8x+15} \Leftrightarrow \frac{-2x^2-9x-4}{x^2+8x+12}=\frac{-2x^2-9x-4}{x^2+8x+15}$ (chia 2 vế cho 2 và trừ đi 2)

$\Leftrightarrow -2x^2-9x-4=0\Leftrightarrow x=-4$ hoặc $x=-\frac{1}{2}$

BĐT cân cm tương đương

$(a^3+b^3)(a^2+b^2)\leq (1+ab)(a^5+b^5)\Leftrightarrow ab(a^5+b^5)\geq a^2b^2(a+b)\Leftrightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0$ 

(luôn đúng)

Cho tứ diện ABCD.R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp.Chứng minh:

$R\geq 3r$

B1:

Nếu $x=0$ thì dễ dàng suy ra $y=z=0$

Xét$x,y,z\neq 0$

Hệ đã cho tương đương

$\left\{\begin{matrix} (\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{z})^2=4+\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}\\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2=5+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2} \end{matrix}\right.$

Cọng các vế lại, ta được

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=12+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Đến đây tìm đc $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ và thế vào các pt, ta tìm được $x,y,z$