Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O).Gọi T là điểm chính giữa cung BC không chứa A.Lấy E là điểm bất kì trên AB.Gọi I là giao điểm ET với BC.Đường vuông góc với EI tại I cắt AC tại F.Chứng minh EF=BE+CF

Cho tam giác ABC(AB<AC) và các tam giác cân BAD,CAE(BA=BD,CA=CE) sao cho D nằm khác phía với C đối với AB,E nằm khác phía đối với B đối với AC và $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.Gọi M là trung điểm của BC.Chứng minh MD=ME

Cho $m,n$ là các số nguyên lớn hơn 1. chứng minh $m^{n}$ là tổng của $m$ số lẻ liên tiếp

Cho $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ có AB = A'B', BC=B'C'. Chứng minh rằng nếu AC < A'C' thì góc B nhỏ hơn góc B'

Cho $\Delta ABC$. Đường tròn (O) cắt cạnh $BC$ tại $X,Y$; cắt cạnh $AC$ tại $Z,T$; cắt cạnh $AB$ tại $U,V$ sao cho $X,Y,Z,T,U,V$ là các đỉnh của một lục giác lồi, $XT\cap YU=A',ZV\cap TX=B',UY\cap VZ=C'$. Chứng minh $AA',BB',CC'$ đồng quy tại một điểm.

Cho trước số nguyên dương n lẻ. Tại mỗi ô vuông của bàn cờ kích thước n.n người ta viết 1 số +1 hoặc -1. Gọi $a_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên hàng thứ k ( tính từ trên xuống) và $b_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên cột thứ k ( tính từ trái sang).
CMR với mọi cách điền số như trên, đều có: $a_{1}+a_{2}+...a_{n}+b_{1}+b_{2}+...b_{n}\neq 0$

Theo giả thiết ta có $a_{k},b_{k}$ đều bằng 1 hoặc -1

Giả sử $\sum a_{k}+\sum b_{k}=0$

Suy ra trong các số $a_{k},b_{k}$, số các số bằng 1 bằng số các số bằng -1

Mà $a_{1}a_{2}...a_{n}b_{1}b_{2}...b_{n}$ bằng bình phương của tích tất cả các số trong bảng nên bằng 1

Suy ra trong các số $a_{k},b_{k}$, số các số bằng -1 phải chẵn

Do đó số các số $a_{k},b_{k}$  là tổng của hai số chẵn bằng nhau nên chia hết cho 4

Mà bảng có n hàng, n cột, nên số các số là 2n, n lẻ $\Rightarrow$ 2n không chia hết cho 4

Vậy ta có đpcm

$\frac{x^{2}-13x+22}{2x+(x-5)\sqrt{x-2}-4}:\sqrt{x-2}=\frac{1}{2}$ (1)

ĐK: $x> 2$

$(1)\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-2}(x-11)}{2x+(x-5)\sqrt{x-2}-4}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-2}(x-11)}{2(\sqrt{x-2})^{2}+(x-5)\sqrt{x-2}}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x-11}{2\sqrt{x-2}+x-5}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x-17=2\sqrt{x-2}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 17\\ (x-17)^{2}=4(x-2) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=27$

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi: 

${x_1} = 1,{x_{n + 1}} = \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2}{x_n} + 1}},\forall n \ge 1$

$x_{n+1}=\frac{x_{n}}{(2n+1)^{2}x_{n}+1}\Rightarrow \frac{1}{x_{n+1}}=\frac{(2n+1)^{2}x_{n}+1}{x_{n}}=(2n+1)^{2}+\frac{1}{x_{n}}$

Đặt $v_{n+1}=\frac{1}{x_{n+1}}\Rightarrow v_{n+1}=(2n+1)^{2}+v_{n}$

Từ đó sử dụng phép thế ta dễ dàng tìm được 

$v_{n+1}=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}+2n(n+1)+n+1\Rightarrow v_{n}=\frac{2(n-1)n(2n-1)}{3}+2n(n-1)+n$

Vậy $x_{n}=\frac{1}{\frac{2(n-1)n(2n-1)}{3}+2n(n-1)+n}$

giải phương trình

$(x+1)\sqrt{x-3}+\sqrt[3]{x+4}-3x+5=0 (1) $

ĐK: $x\geq 3$

Ta có

$(1)\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x+4}-2)+(\sqrt{x-3}-1)+(x\sqrt{x-3}-(3x-8))=0$

$\Leftrightarrow \frac{x-4}{(\sqrt[3]{x+4})^{2}+2\sqrt[3]{x+4}+4}+\frac{x-4}{\sqrt{x-3}+1}+\frac{(x-4)^{3}}{x\sqrt{x-3}+(3x-8)}=0$

Từ đây dễ dàng suy ra $x=4$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Cho $0<(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}\leq 2$

Tìm GTLN của

$4^{x}+4^{y}+4^{z}+ ln(x^{4}+y^{4}+z^{4})-\frac{3}{4}(x+y+z)^{4}$

Hỏi có bao nhiêu cách chia n điểm trên đường thẳng thành các tập gồm 1 hoặc 2 điểm kề nhau?

Vẽ $AN\perp XB$ cắt $CD$ tại $N$

$\Rightarrow X$ là trực tâm của $\Delta NAB$

$\Rightarrow AX\perp NB$ tại F ($F$ thuộc $NB$)

$\Rightarrow \angle AND =\angle ABX=\angle ABL$

Ta có $AC^{2}=AD.AB \Rightarrow AL^{2}=AD.AB \Rightarrow \Delta ALD\sim \Delta ABL$

$\Rightarrow \angle ALD =\angle ABL \Rightarrow \angle ALD =\angle AND$

$\Rightarrow ANLD$ nội tiếp

Mà $\angle D =90^{\circ} \Rightarrow \angle ALN =90^{\circ}$

cmtt ta có BDKN nội tiếp $\Rightarrow \angle BKN =90^{\circ}$

Từ đó ta có $\left\{\begin{matrix} NK^{2}=NF.NB\\ NL^{2}=NH.NA\\ NF.NB=NH.NA \end{matrix}\right.$

Nên NK=NL

Từ đó chứng minh được $\Delta NKM =\Delta NLM\Rightarrow MK=ML$ (đpcm)

p/s: bạn tự vẽ hình nha

Giải phương trình

$\sqrt{\frac{7}4{\sqrt{x}-1+x^{2}}}=(1-\sqrt{x})^{2}$

 

Làm 1 bài tặng 10 likes         

 

1. Cho tam giác ABC, I là tâm nội tam giác, điểm P nằm trong tam giác / (góc)PBA+PCA=PCB+PBC. CMR: $AP \geqslant AI$

Giả sử $AB\leq AC$

Ta có 

$\widehat{PBA}+\widehat{PCA}=(180^{\circ}-\widehat{PAB}-\widehat{APB})+(180^{\circ}-\widehat{PAC}-\widehat{APC})=(360^{\circ}-\widehat{APB}-\widehat{APC})-\widehat{BAC}=\widehat{BPC}-\widehat{BAC}$

Mà $\widehat{PBA}+\widehat{PCA}=\widehat{PCB}+\widehat{PBC}$

$\Rightarrow \widehat{BPC}-\widehat{BAC}=\widehat{PBC}+\widehat{PCB}$

$\Rightarrow \widehat{BPC}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{BPC}$

$\Rightarrow \widehat{BPC}=90^{\circ}+\frac{\widehat{BAC}}{2}$

Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIC$ cắt $AC$ tại $N$

Dễ thấy $P$ thuộc cung nhỏ $BN$ ( do $P$ nằm trong tam giác)

Gọi $M$ là giao điểm của $AI$ và $BN$.

Ta chứng minh được $\Delta ABN$ cân $\Rightarrow$ $AI$ vuông góc với $BN$ 

Lấy điểm $P'$ bất kì thuộc cung nhỏ $BN$

Gọi $K$ là chân đường vuông góc kẻ từ $P'$ xuống $BN$

Đặt $a$ là khoảng cách từ $P'$ đến $BN$.

Ta có $AI=AM-IM\leq AK-a\leq AP'$

Từ đó ta suy ra điều cần chứng minh

p/s: Bạn tự vẽ hình nha

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\geq \frac{1}{4}$

Chắc bài này là dấu "$\leq$"

Ta có $a+b+c=1$ nên $\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{(a+c)+(b+c)}\leq \frac{ab}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})$

Tương tự với $\frac{bc}{a+1}\leq \frac{bc}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})$

$\frac{ca}{b+1}\leq \frac{ca}{4}(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{b+a})$

$\Rightarrow \frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{bc+ca}{a+b})=\frac{1}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Chứng minh rằng $n$ đường tròn trong mặt phẳng chia mặt phẳng ra không quá $n^{2}-n+2$ miền 

Cho hình vuông lấy điểm I ở trong hình vuông sao cho $\Delta DIC$ cân tại I có $\angle IDC=15^{0}$. Chứng minh rằng $\Delta BAI$ đều

Vẽ $\Delta CIN$ đều , $N$ nằm trong $\Delta CIB$

Dễ thấy $\angle DIC =150^{\circ}$

Ta có $\Delta IDC = \Delta NBC$ (c-g-c)

$\Rightarrow \angle CNB =150^{\circ}$

$\Rightarrow \angle INB = 360^{\circ}-\angle INC-\angle BNC=150^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta INB=\Delta CNB$(c-g-c)

Từ đó dễ dàng $\Rightarrow \angle IBC =30^{\circ}\Rightarrow \angle ABI =60^{\circ}$ (1)

Ta có $IB=BC=AB$ nên $\Delta AIB$ cân tại B(2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

p/s:  bạn tự vẽ hình nhé

1. Cho $\Delta ABC$, $M$ là điểm di động trên cạnh $BC$. $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB$, $AC$. Xác định vị trí của $M$ để $DE$ có độ dài ngắn nhất.

2. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn và có các đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $M$. Từ $M$ vẽ các đường vuông góc $MA'$,$MB'$,$MC'$,$MD'$ lần lượt đến các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.Chứng minh rằng $A'B'$ +$C'D'$=$A'D'$ +$B'C'$

Cho $\Delta ABC$, $BD$ và $CE$ lần lượt là 2 đường phân giác trong của tam giác tại đỉnh $B$ và $C$. Trên đoạn thẳng $DE$ lấy một điểm M bất kì.Từ $M$ kẻ các đường vuông góc với $BC,CA,BA$ lần lượt tại $I,J,K$. Chứng minh rằng trong ba đoạn thẳng $MI,MJ,MK$ có một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn còn lại.

Bài 1:(2 điểm)

a) Giải phương trình :                           $\sqrt{x+1}=x-2$

b)Tìm chiều dài của một hình chữ nhật có chu vi là $a$(mét),diện tích là $a$(mét vuông) và đường chéo là $3\sqrt{5}$(mét)

 

Bài 2:(2 điểm)

Cho phương trình $(\sqrt{x}-1)(x^2-5x+m-1)=0$ (1)

a)Giải phương trình (1) khi $m=-1$

b)Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ thỏa

            $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+x_{1}.x_{2}+x_{2}.x_{3}+x_{3}.x_{1}=31$

Bài 3:(2 điểm)

a)Với $0< b< a$,hãy rút gọn biểu thức :

$P=(\frac{1}{\sqrt{1+a}-\sqrt{a-b}}+\frac{\sqrt{a+2+b}-\sqrt{a-b}}{b+1}-\frac{1}{\sqrt{1+a}+\sqrt{a-b}}):(1+\sqrt{\frac{a+2+b}{a-b}})$

b)Giải hệ phương trình   $\left\{\begin{matrix} (x-y)^2=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\\x-y=xy-2 \end{matrix}\right.$

Bài 4:(1 điểm)

Có hai vòi nước A,B cùng cung cấp cho một hồ cạn nước và vòi C(đặt sát đáy hồ)lấy nước từ hồ cung cấp cho hệ thống tưới cây.Đúng 6 giờ,hai vòi A và B được mở;đến 7 giờ vòi C được mở;đến 9 giờ thì đóng vòi B và vòi C;đến 10 giờ 45 phút thì hồ đầy nước.Người ta thấy rằng nếu đóng vòi B ngay từ đầu thì phải dùng đến đúng 13 giờ hồ mới đầy.Biết lưu lượng vòi B là trung bình cộng của lưu lượng A và vòi C,hỏi một mình vòi C tháo cạn hồ nước đầy trong bao lâu?

Bài 5:(3 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC(AC=2a) sao cho tam giác ABC đều.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD

a)Tính BC và CN theo a

b)Gọi H là trực tâm tam giác CMN,MH cắt CN tại E,MN cắt AC tại K.Chứng minh năm điểm B,M,K,E,C cùng thuộc một đường tròn(T)

Đường tròn (T) cắt BD tại $F(F\neq B)$,tính DF theo a

c)KF cắt ME tại I.Chứng minh KM tiếp xúc vời đường tròn ngoại tiếp tam giác MIF.Tính góc IND

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB.$ Gọi $M$ là điểm đối xứng của $O$ qua $A.$ Qua $M$ kẻ đường thẳng cắt $(O)$ tại $C$ và $D.$ $AD$ cắt $BC$ tại $I.$ Gọi $E$ là trung điểm $AO.$ Chứng minh tứ giác $EIDB$ nội tiếp.

Xét $\Delta ODM \sim \Delta OED \Rightarrow \angle ODM=\angle OED$

mà ta có $\angle ODM=\angle OCD  (OD=OC=R) \Rightarrow \angle OED = \angle OCD$ (1)

Ta có $\angle BID =\angle OCD$$= \frac{1}{2}(sđ BD + sđ AC)$ (2) (dễ dàng cm được )

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \angle OED = \angle BID$ $\Rightarrow$ đpcm

P/S: tự vẽ hình

Ta có $a(1-ax)=4b-2ax (1)$
$\Leftrightarrow 2ax -a^{2}x=4b-a$
$\Leftrightarrow (2a-a^{2})x=4b-a$
$\Leftrightarrow a(2-a)x=4b-a$
* Với $2a-a^{2}\neq 0$ phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{4b-a}{2a-a^{2}}$
*Với $a=0$ ta có $(1)\Leftrightarrow 0x=4b$
TH1: Với $b=0$ phương trình đúng với mọi $x$
TH2: Với $b\neq 0$ phương trình vô nghiệm
*Với $2-a=0\Leftrightarrow a=2$ ta có
$(1)\Leftrightarrow 0x=4b-2$
$\Leftrightarrow 0x=2(2b-1)$
TH1: Với $b=\frac{1}{2}$ phương trình đúng với mọi $x$
TH2: Với $b\neq \frac{1}{2}$ phương trình vô nghiệm

Cho $x,y,z >0$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \sqrt{3}(x+y+z)$

Hai công nhân được phân công làm một số dụng cụ trong cùng 1 thời gian. Người thứ nhất mỗi giờ làm tăng được 2 dụng cụ nên hoàn thành trước hai giờ.Người thứ 2 làm tăng được 4 dụng cụ nên hoàn thành trước thời hạn 3 giờ và làm thêm được 6 dụng cụ nữa.Tính số dụng cụ mỗi người được giao

Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=4$.

Tìm Min: P=$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{a^{3}+1}}$.

Ta có

$P=\frac{a}{\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}}+\frac{b}{\sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)}}\geq \frac{2a}{b^{2}+2}+\frac{2b}{a^{2}+2}$

Mà $\frac{2a}{b^{2}+2}+\frac{2b}{a^{2}+2}=\frac{2a^{2}}{ab^{2}+2a}+\frac{2b^{2}}{a^{2}b+2b}\geq \frac{2(a+b)^{2}}{ab(a+b)+2(a+b)}=\frac{2(a+b)}{ab+2}\geq \frac{2.4}{\frac{(a+b)^{2}}{4}+2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ 

Nên $minP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow a=b=2$