Bạn gõ bằng Tex đi nhé!!!

Xét bài Tổng quát cho nhanh
Xét HTD sau :{1,2,....,p-1} theo mod p
Nhân a với $1\le a\le (p-1)$ vào thì ta cũng được 1 hệ thặng dư tươg tự mod p
nên tồn tại k để $k*a\equiv 1 (mod p)$
(chú ý một a chỉ tương ứng với 1 k nễu ko thì tồn tại $1\le t\le p-1 $ để $ak\equiv a(k+t) \equiv 1(mod p)$ tức là $p|ta$ loại )
Chú ý ngoài số 1,(p-1) có nghịch đảo mod p là chính nó thì các số {2,...,p-2} được ghép thành các cặp a,b mà $ab\equiv 1 (mod p)$ suy ra $(p-2)!\equiv 1 mod p$ nên $(p-1)!\equiv -1 (mod p)$

Cái này ko phải siêu nhân gì đâu em ơi.
ta có 2 cái bổ đề thế này:
với x,y,z>0 và x+y+z+2=xyz thì ta có thể đặt x=(b+c)/a,y=(c+a)/b,z=(a+b)/c với a,b,c>0
với x,y,z>0 và xy+yz+zx+2xyz=1 thì ta đặt x=a/(b+c),...... với a,b,c>0
thực ra,siêu nhân phải là cái thằng nghĩ ra phép đặt,còn mình thì chỉ cần sử dụng phép đặt đề đưa bài toán về các bdt đồng bậc(về lý thuyết là dễ giải hơn) để giải thôi em à.
thuật toán để giải các bài kiểu này là biết phép đặt,đặt,rồi cm bdt mới

$\dfrac{1}{{x}.{(x^{10}+1)^2}}dx$
cận từ ln5 đến $10\sqrt2$

con này thì nhân $x^9 $ vào cả tử và mẫu
đặt $x^{10}+1=t$ thì $t'dt=10x^9dx$
đến đây quy về t là tính được rồi

Bạn giải ra luôn đi nhé. Thấy anh Hùng nói như trên thì mình thấy rằng bạn nên giải ra luôn cho mọi người tham khảo.

Bạn có thể tham khảo file này

Bài pt hàm là từ đâu vào đâu thế bạn ơi.mình mới làm đc từ Q vào R thôi
bài 11 của bạn sai đề thì phải.Loại này mình nghĩ là dùng quy nạp thôi

Dễ thấy nếu f(x) có $deg f\le 3$ thì vô lý
Nếu $deg f\ge 4$ ta có
$f(x)=(x-1)^2g(x)+2x$ và $f(x)=h(x)(x-2)^3+3x$
suy ra f(1)=2;f(2)=6
mà f(1)=-h(1)+3; f(2)=g(2)+4 nên h(1)=1;g(2)=2
nên g(x)=(x-2)t(x)+2 và h(x)=(x-1)q(x)+1
suy ra $(x-2)^2q(x)+x-5=(x-1)t(x)$
suy ra q(1)=4
Vì deg f min nên $q(x)\equiv 4$
có ngay $f(x)=4x^4-27x^3+66x^2-65x+24$ là đa thức deg min duy nhất thỏa mãn

Tìm đa thức $P(x)\in Z[x]$
thỏa mãn
$P(x)|(2^x-1)$
với mọi $x\in N*$

Bài 2: A polynomial in x has integer coefficients and takes the value 1 for four distinct integer values of x. Prove that there is no integer value of x for which the polynomial takes the value 24.

suy ra
$P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)*g(x)+1$ với a,b,c,d đôi 1 phân biệt
Giả sử tồn tại x để
$24=1+(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)*g(x)$
suy ra $23=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)*g(x)$
mà (x-a),(x-b),(x-c),(x-d) phân biệt, $23\in P$
suy ra vô lý

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực sao cho $P(2^n)$ là lũy thừa của 2 với mọi $n \in \mathbb{N}$

bạn check lại đề xem P(x) hệ số nguyên hay thực>?

Giả sử tồn tại $a,b$ sao cho $f(a)=f(b)$.
Cho $x=a,y=b$ và $x=b,y=a$ vào đề bài, ta có:
$$f(a+b+f(b))=f(a)+nb=f(a+b+f(a))=f(b)+na$$
suy ra $a=b$ hay $f$ la 1 đơn ánh,
Cho $y=0$ suy ra $f(0)=0$
Cho $x=-y$ suy ra: $f(f(y))=f(-y)+ny$, suy ra $ f(f(-y))=f(y)-ny$
Cho $x=f(-y)$ suy ra :
$$f(y)=f(f(-y))+ny=f(f(-y)+y+f(y))$$
Do $f$ đơn ánh suy ra $f(y)+f(-y)=0$ hay $f$ là hàm lẻ suy ra :
$$f(f(y))+f(y)=ny$$ (ngay trên)
Cho $y=f(y)$ suy ra :
$$f(x+f(y)+f(f(y)))=f(x)+nf(y)=f(x+ny)$$
Cho $x=0$ suy ra $f(ny)=nf(y)$, và thay $x=nx$ suy ra $f(x+y)=f(x)+f(y)$
suy ra $f(x)=xf(1)$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{Z}$
......(sory vi nha minh ko co vietkey)

ta có đặt c=max(a,b,c) thì $P=a^3+b^3+c^3\le (a+b)^3+c^3=(3-c)^3+c^3=27-9c(3-c)$
vì c=max nên $1\le c\le 2$ suy ra $c(3-c)\ge 2$ nên $P\le 27-2*9=9$
nên P max=9
dấu = khi a=0,b=1,c=2

Với x như thế nào vậy? dương, âm hay nguyên dương?Nếu x nguyên dương thì ta có thể xét x=0 rồi với x nguyên dương ta có bđt$ \dfrac{a^x+b^x}{2} \geq (\dfrac{a+b}{2})^x$

với x>1 hoặc x<0 ta có $\dfrac{a^x+b^x}{2}\ge (\dfrac{a+b}{2})^x$
vơi 0<x<1 ta có $\dfrac{a^x+b^x}{2}\le (\dfrac{a+b}{2})^x$
với x=0,1 ta có đẳng thức

Cho:
$ A = \dfrac{1}{{3^1 }} + \dfrac{2}{{3^2 }} + \dfrac{3}{{3^3 }} + \dfrac{4}{{3^4 }} + ... + \dfrac{n}{{3^n }} $
Hãy lập ra công thức để tính dạng tổng quát của A

xét hiệu
$2A=3A-A=1+\dfrac{1}{3^1}+...+\dfrac{1}{3^{n-1}}-\dfrac{n}{3^n}=\dfrac{1-\dfrac{1}{3^n}}{1-\dfrac{1}{3}}-\dfrac{n}{3^n}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{2n+3}{3^n*2}$
A=....

nhưng tớ ko hiểu tại sao đến U 5 là không xác định rui sao có thể đặt tan được ???

Bạn nói đúng 1 phần
Làm theo cách mình thì $u_n=tan(\dfrac{\pi}{6}+(n-1)*\dfrac{\pi}{12})$ khi đó thì $u_5=tan(\dfrac{\pi}{2})=\infty $ là ko xác định
Nhưng nếu bạn tính = tay thì đến $u_2=1,u_3=\sqrt{3},u_4=2+\sqrt{3}$ và đến $u_5$ thì cũng ko xác định .
(Cái này là do đề bẫy thôi bạn à,phương pháp vẫn thế)

$ {U_1} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} $
${U_{n + 1}} = \dfrac{{{U_n} + 2 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 {U_n}}} - 2{U_n} $

Đề như thế này à?

Dịch sai đề rồi
bài này nhìn kỹ thì nó phải thía này :
${U_{n + 1}} = \dfrac{{{U_n} + 2 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 {U_n}} - 2{U_n}} $
kiều này dạng $\dfrac{a+b}{1-ab}$.quy về cái tan là ok thôi.

Can moi so hang dau thoi mah.??

Mặc dù tên này có thể lấy kính vì tiền,nhưng nghe cũng hay đó.thks

$(a,b,c,d)=(a,1-a,1-a(1-a),1-a(1-a)(1-a(1-a)))$

Dễ thấy AC,BC là 2 tiếp tuyến kẻ từ C đến (ABP) nên PC là đường đối trung của tam giác APB,khi đó hiển nhiên có ĐPCM

Làm tiếp ý của bạn hiếu thế này
ta đặt tan(A/2)=a suy ra
ab+bc+ca=1
và ta phải CM:$\prod(\dfrac{\sqrt{3}(1+a^2)}{2a}-1)\ge 1$
tương đương $\prod(\sqrt{3}(1+a^2)-2a)\ge 8abc$
mà $\sqrt{3}a^2+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ge 2a$
nên $\sqrt{3}(1+a^2)-2a\ge \dfrac{2}{\sqrt{3}}$,làm tt 3 bdt nữa rồi nhân lại với nhau
chú ý $8abc\le \dfrac{8}{3\sqrt{3}}$
suy ra đpcm

Toan hoc tuoi tre thang 4/2011

đặt {x}=b,[x]=a thì
$12345=63a+[2b]+[4b]+[8b]+[16b]+[32b]=63a+S$
chú ý $[nb]\le (n-1)$
nên
$1\le S\le 1+3+7+15+31=57$
suy ra $195,04<a<195,93$,không thuộc Z vô lý

Đặt $x_i=4cos(a_i)$ ta có $\sum cos(a_i)=0$
ta có $64cos(a_i)^3=16(cos(3a_i)+3cos(a_i))$ nên $|\sum x_i^3|=16|\sum cos(3a_i)+3\sum cos(a_i)|=16|\sum cos(3a_i)|\le 16n$
ĐPCM

may mắn thôi

đùa đó,thành phương pháp rùi bạn à

Cho x, y, z > 0, C/m $\dfrac{x}{4x+4y+z}+\dfrac{y}{4y+4z+x}+\dfrac{z}{4z+4x+y}\leq\dfrac{1}{3}$

Ta có;
$\dfrac{x}{4x+4y+z}=x\dfrac{1}{(x+2y)+(x+2y)+(2x+z)}$
$\leq \dfrac{1}{9}x (\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{1}{2x+z})$
<=> $\dfrac{x}{4x+4y+z}\leq\dfrac{1}{9}(\dfrac{2x}{x+2y}+\dfrac{x}{2x+z})$

Tương tự
$\dfrac{y}{4y+4z+x}\leq\dfrac{1}{9}(\dfrac{2y}{y+2z}+\dfrac{y}{2y+x})$
$\dfrac{z}{4z+4x+y}\leq\dfrac{1}{9}(\dfrac{2z}{z+2x}+\dfrac{z}{2z+y})$

Cộng từng vế 3 BĐT trên ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra <=> x=y=z

Cộng dọc thì nó ra $\dfrac{2x+y}{2y+x}$ chứ ????
********
LG: chuẩn hóa x+y+z=3,và giả sử y nằm giữa 2 số x,z ta phải CM
$\dfrac{x}{x+y+1}+\dfrac{y}{y+z+1}+\dfrac{z}{z+x+1}\le 1$
Quy đồng ta phải CM $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le 4$
vì y nằm giữa nên ta có $z(y-z)(y-x)\le 0$ suy ra $y^2z+z^2x\le xyz+yz^2$
suy ra $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le x^2y+2xyz+z^2y=z(x+y)^2=z(3-z)^2\le \dfrac{1}{2}(\dfrac{2z+3-z+3-z}{3})^3=4$
ĐPCM