Cho hàm số y=f(x)= ax+b
Biết f(-1)<f(-2) ; f(1)>f(2) và f(1999)=2000 . Tính : f(2010)

Bài này ko làm đc đâu em ơi.
hai cái đầu suy ra a<0.
với mỗi a<0 ta luôn chọn đc 1 số b:f(1999)=2000
khi đó f(2010) thay đổi.

+,nếu tồn tại i khác j mà f(j)=f(i) suy ra i=-f(f(m+1))-f(m+f(f(i)))=-f(f(m+1))-f(m+f(f(j)))=j suy ra vô lý
suy ra f đơn ánh
+,cho m=0 suy ra f(f(f(n)))=-f(f(1))-n
suy ra f là toàn ánh
suy ra f là song ánh

trong mục toán đại học thì bạn cứ khai triển taylor quanh lân cận 0 là ra hết mà (xài cái o(x) hay O(x)) đó 

ví dụ bài 1:

$e^x-e^{-x} = (1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}) - (1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6})+o(x^3) = 2x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$sin(x) = x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

nên $lim = 2$

Có ai giúp em với !
"bdt Finsler hadwiger " là gì thế??
em chưa học cái này

Đây nè em
http://planetmath.or...Inequality.html

giúp mình!
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+b+c = 3.Chứng minh rằng:
$12(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \geq 4(a^3 + b^3 + c^3) + 21$
(hơi khó đấy! )

Dấu = ở đâu nhỉ??
sai đề chăng?

Trong đề thi HSG Trung Quốc
Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh
$\dfrac{cos^2 A}{cos A +1}$ + $\dfrac{cos^2 B}{cos B +1}$ + $\dfrac{cos^2 C}{cos C +1}$ $\geq$ $\dfrac{1}{2}$

http://www.artofprob...v...=59649&ml=1

bài này ko khó nè!
$Let a,b,c > 0 such that : a+b+c = 1 . Prove that :$

$\sum \dfrac{a^2}{b} \geq 3\sum a^2$

Ta có
$VT=\sum_{cyc} \dfrac{a^4}{a^2b}\ge \dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum_{cyc} a^2b} $
tức là ta sẽ CM
$\sum a^2\ge 3\sum_{cyc} a^2b$
mà $\sum a^2=(\sum a^2)(\sum a)$
nên ta cần cm
$\sum a^3+\sum_{cyc} ab^2\ge 2\sum_{cyc} a^2b$
đúng vì $a^3+ab^2\ge 2a^2b$ ,....
ĐPCM
(ký hiệu $\sum_{cyc} a^2b=a^2b+b^2c+c^2a$)

bài nữa cũng khó!
Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác S là diện tích tam giác
CM:
$\dfrac{ab\sqrt{ab}}{a+b}+\dfrac{bc\sqrt{bc}}{b+c}+\dfrac{ca\sqrt{ca}}{c+a}\geq 2\sqrt{3}S$

Xài bdt Finsler hadwiger ta có
$4\sqrt{3}S\le 2\sum ab-\sum a^2$
ta sẽ CM
$2\sum ab-\sum a^2\le \sum \dfrac{2ab\sqrt{ab}}{a+b}$
tương đương (biến đổi S.O.S)
$\sum (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2*[\dfrac{(a+b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-2ab}{2(a+b)}]\ge 0$
(đúng)
ĐPCM
còn bài Trung quốc phía sau thì chỉ cần fang công thức cos theo 3 cạnh,svac+schur là ra ngay

Ước đỗ đại học

Bạn giải ra luôn đi nhé. Thấy anh Hùng nói như trên thì mình thấy rằng bạn nên giải ra luôn cho mọi người tham khảo.

Bạn có thể tham khảo file này

Nghe từ cục cưng mà cứ thấy làm sao ý
ko bik ý tốt hay là ý j đây

cho em giải bằng cách này được không ? cho em ý kiến nhé!!
vì x,y là nghiệm nguyên nên ta có: x=ky ( y thuộc Z , k thuộc R)
thay vào PT ta có:
$ 2k^4y^4+1=y^2 \Leftrightarrow y^2(1-2k^4y^2)=1 \Leftrightarrow y= \dfrac{1}{ \sqrt{1-2k^4y^2} } $
vì y thuộc Z nên $ \dfrac{1}{ \sqrt{1-2k^4y^2} } $ cũng thuộc Z
từ đó ta sẽ có $ \sqrt{1-2k^4y^2} =1 \Leftrightarrow k=0 hay y=0 $

chú giải sai chỗ này : vì y thuộc Z nên cái căn kia có dạng 1/n chứ ko fai là 1
***
bài này thì xài xuống thang thôi
China TST 1993
http://www.artofprob...dc926aa#p269097

anh hiểu nhầm ý em rùi vì y thuộc Z nên $ \sqrt{1-4k^4y^2}$ là ước của 1 (ước của 1 gồm 1 và -1(loại)) từ đó em mới giải đây là cách giải của em nên em cũng sợ sai lắm (bài này trích ở đâu zậy mấy anh để em xem đáp án)

ô hay,
$\sqrt{1-4k^4y^2}$ có nguyên đâu, chỉ hữu tỉ thôi nên nó fai có dạng 1/n

Mặc dù tên này có thể lấy kính vì tiền,nhưng nghe cũng hay đó.thks

Cho: a+b+c=1
a^2+b^2+c^2=1
a^3+b^3+c^3=1
tính giá trị của P=a^2002+b^2003+c^2004
Các bạn giúp mh vs nha! bài tập ôn luyên HSG đấy! nhưng đối vs các bạn thì chăks là k khó đâu

suy ra $0=(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2=2(ab+bc+ca)$
Bạn chú ý đẳng thức
$1-3abc=a^3+b^3+c^3-3abc=(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(a+b+c)=1$
suy ra 3abc=0
Giả sử a=0
suy ra $b+c=1$, $b^2+c^2=1$
suy ra $0=(b+c)^2-b^2-c^2=2bc$
nên b=0,c=1 (chú ý hoán vị)
suy ra P=1

Bài này thì mình gọi đường thẳng đó là
y=(ax+b) (d)
đường thẳng d tiếp xúc đồ thị tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi pt
$ax+b=(x^3+x^2+1)(x-1)$ có 2 nghiệm kép $x_1,x_2$
đến đây cậu giải 4 pt 4 ẩn là ra

Đề thi học sinh giỏi thành phố hà nội - lớp 12
Năm 2009-2010
BÀI 1
cho hàm số $y=({{x}^{2}-1})^{2}-({m+1})^{2}({1-m})^{2}$
( m là tham số)
1.Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành
2.Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ tương ứng lập thành cấp số công.
BÀI 2
1.giải phương trình $9\left(\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2} \right)=x+3$
2.Cho dãy số $u_{n}=\dfrac{P_{n}}{{A_{n+2}}^n}$trong đó số chỉnh hợp chập n của (n+2) phần tử là ${A_{n+2}}^n}$ và $P_{n}$ là số hoán vị của tập hợp gồm n phần tử với n là số nguyên dương. Tìm $lim S_{n}= \sum\limits_{i=1}^{n} u_{i} $
BÀI 3
Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh bằng a .Với M là một điểm thuộc cạnh AB, Chọn điểm N thuộc cạnh D'C' sao cho AM+D'N=a
1.Chứng minh MN đi qua một điểm cố định khi M thay đổi
2.tính thể tích chóp B'.A'MCN theo a. Xác định vị trí của M để khoảng cách từ B' tới mp(A'MCN) max.Tính khoảng cách lớn nhất đó theo a.
3.Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của C xuống MN khi M chạy trên AB.
BÀI 4
1. Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $1\geq x\geq y>0$
chứng minh: $\dfrac{{x}^{3}{y}^{2}+{y}^{3}+{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+1}\geq xy$
2. Viết phương trình của đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=(x-1)({x}^{3}+{x}^{2}+1)$ tại hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm sô.
HẾT
*****************

+,Dễ thấy f đơn ánh và với mọi $n\ge 2$ thì tồn tại s để $f(s)=n$
+,thay (m+1,n-1) vào ta có :$f(m+1)-f(m)=f(n)-f(n-1)$ nên suy ra $f(m+1)-f(m)=f(2)-f(1)$
dễ thấy f(2)>f(1) nếu ko f(n)<f(1) (vô lý)
suy ra f(m+1)>f(m). xét tiếp số s mà f(s)=2. ta thấy nếu $s\ge 3$ suy ra f(2)<2 hay f(1)<1 loại nên ta có 2 TH
+,f(2)=2 suy ra f(n)=n
+,f(1)=2 suy ra thay (1,1) vào đề bài ta có f(2f(1))=2=f(1) hay f(1)=1/2, loại
suy ra f(n)=n

Bài 1. Cho a,b,c là các số thực dương và abc=1.
Chứng minh :
$\dfrac{a}{a+{b}^{2}+{c}^{3}}+\dfrac{b}{b+{c}^{2}+{a}^{3}}+\dfrac{c}{c+{a}^{2}+{b}^{3}} \leq 1$
$ <=> \sum_{cyclic}[a(b+c^2+a^3)(c+a^2+b^3)] \leq (a+b^2+c^3)(b+c^2+a^3)(c+a^2+b^3) $
$ <=> \sum_{cyclic}a^{5}c^{3}+\sum_{cyclic}a^{5}b^{2}-\sum_{cyclic}a^{3}b-\sum_{cyclic}a^{4}c\geq 0 $
Không khó để chứng minh bởi AM-GM.

Ẹc,anh cũng rất quan tâm đến bài toán này,đã thử giải= cách quy đồng lâu rồi,được 1 nửa thì nửa còn lại sai,
@Nguyễn Thái Vũ,NOVAE,.....
NẾU MỌI NGƯờI ĐỌC KỸ THÌ ARQADY NÓI LÀ TÔI VẪN CHƯA GIẢI ĐƯỢC.VẬY MÀ MÌNH THẤY CÁC BẠN NÓI NHƯ LÀ HIỂU LỜI GIẢI CỦA ARQADY VÀ BÀO NÓ ĐÚNG.MÌNH CHỊU.............
@messi:Em giải được =amgm thì post lên cho anh được thưởng thức nhé .thks em.

Bài 1. Cho a,b,c là các số thực dương và abc=1.
Chứng minh :
$\dfrac{a}{a+{b}^{2}+{c}^{3}}+\dfrac{b}{b+{c}^{2}+{a}^{3}}+\dfrac{c}{c+{a}^{2}+{b}^{3}} \leq 1$

Mình định dùng bunhia nhưng ko được.BDT khá đẹp nên mình hy vọng có chủ topic,hay ai đó sẽ post lời giải lên.
thks

2 BDT này sẽ đúng (có thể sai )
$\sum a^3b^5 \ge abc \sum ab^4$
$\sum a^5b^2 \ge abc \sum a^3b$

bđt thứ 2 thì đúng,xài luôn côsi+cân bằn hệ số.
bdt thứ 1 thì sai,thử với a=8,b=1/4,c=1/2

Đúng mà anh. LHS-RHS=2048.45...

đảo 1 tí là sai mà em
a=1/2,b=1/4,c=8 thì sai

1, 3 người mà 2 người bất kỳ đều bị nhọ  thì cả 3 đều nhọ.

2, Nếu cô thứ 1 nói đúng suy ra cô 2 là Nhị và nói sai vào thứ 2, vô lý

    suy ra cô thứ 1 nói sai, cô thứ 1 là Nhị và ngày hôm đó là 3,5,7

   cô thứ 2 là Nhất, thứ 4 nói dối tức là cô ta cũng nói dối nên ngày hôm đó là thứ 3.

3, Cụ nói là: chỉ cần nhảy lên ngựa người kia và phi về đích là thắng mà. 

Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, trong $n^2-1$ số hạng đầu của dãy Fibonacci luôn tồn tại một số hạng chia hết cho n

Ta xét các bộ sau:
$(F_0,F_1),(F_1,F_2),....,(F_{n^2-1},F_{n^2})$ theo mod n
có $n^2$ bộ,mà chỉ có $n^2-1$ bộ thứ tự theo mod n (chú ý ko có bộ (0,0))
Nên tồn tại
$(F_a,F_{a+1}) \equiv ({F_{a+b},F_{a+b+1}}) (mod n)$ (thấy ngay $b\le n^2-1$)
nên $F_x \equiv F_{x+b} (mod n)$ (CM quy nạp) với mọi $0\le x\le n^2-b$
Nên $F_b\equiv F_0\equiv 0 (mod n)$
ĐPCM

cái này là conditional probability rõ ràng, sự kiện sau liên quan đến sự kiện trước, bạn rai_2601 nói không đúng nhé.

Cm thì có 1 bạn ở trên nói nghe 33+33=66 cũng đúng  nhưng để lập luận toán học thì người ta thường dùng Bayes theorem. có 1 dòng thôi à.

trước mình học cái này cũng hơi bất ngờ. Nhuwng hài ở chỗ là ai cũng nghĩ là 50% thành ra chơi ô cửa bí mật chả ai đổi =)).