Cho a, b, c là các số thực ko âm. Cm:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{10}{(a+b+c)^{2}}$

Cho x, y, z $\geq 0$ và $x+y+z=1$. Cm:

A = $\sqrt{x+\frac{(y-z)^{2}}{12}}+\sqrt{y+\frac{(z-x)^{2}}{12}}+\sqrt{z+\frac{(x-y)^{2}}{12}}\leq \sqrt{3}$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), H và I thứ tự là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Biết AH = R, tính$\angle A$

Cho tam giác ABC có góc A = $60^{\circ}$ và I là tâm đường tròn nội tiếp. Trên các tia BA, CA theo thứ tự lấy cấc điể E, F sao cho BE = CF = BC. Chứng minh 3 điểm I, E, F thẳng hàng

tham khảo tại dây

https://www.google.c...DNP1WgGLS2HssUQ

Bài 1:

Giả sử p,q là các số nguyên dương thỏa mãn:

$\frac{p}{q}$ = 1 - $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ + ..... + $\frac{1}{1335}$

Chứng minh rằng p chia hết cho 2003

 

-----------------------------

Lần sau em nhớ đặt tiêu đề đúng quy định nhé :

http://diendantoanho...i-khong-bị-xoa/

$\frac{p}{q}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1335}-2.(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1334})$

                 $=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{1335}-1-\frac{1}{2}-...-\frac{1}{667}=\frac{1}{668}+\frac{1}{669}+...+\frac{1}{1335}$

$\Leftrightarrow \frac{p}{q}=2003.(\frac{1}{1335.668}+\frac{1}{1334.669}+...+\frac{1}{1001.1002})$

Mà 2003 là số nguyên tố => $p\vdots 2003$

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+1+y(x+y)=4y\\ (x^{2}+1)(x+y-2)=y \end{matrix}\right.$

Cho $$x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2} = 1$$. Tình giá trị của $$ x^2 + y^2 $$.

Áp dụng BDT Bunhia:

$1=(x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}})^{2}\leq (x^{2}+1-x^{2})(1-y^{2}+y^{2})=1$

Dấu = xảy ra khi: $\frac{x}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{y}\Leftrightarrow x^{2}y^{2}=(1-x^{2})(1-y^{2})\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$. Chứng minh 

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$

cho $a,b,c \in [0,1]$ chứng minh rằng 

$a+b^2+c^3-ab-bc-ac\leq1$

$0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\geq 0$

$\Leftrightarrow 1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc\geq 0\Leftrightarrow a+b+c-(ab+bc+ca)\leq 1-abc\leq 1$

Mà $b(1-b)\geq 0\Rightarrow b^{2}\leq b$

      $c(1-c^{2})\geq 0\Rightarrow c^{3}\leq c$

$\Rightarrow a+b^{2}+c^{3}-ab-bc-ca\leq 1$

Cho phương trình:

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-(m+1)(x-\frac{1}{x})+m-3=0$

a. Giải phương trình khi m = 2

b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm dương phân biệt

Cho $a,b,c\in [-1;4]$ thoả mãn $a+2b+3c\leq 4$

Tìm max $a^{2}+2b^{2}+3c^{2}$

gt =>$(a+1)(a-4)\leq 0\Leftrightarrow a^{2}\leq 3a+4$

CMTT => $a^{2}\leq 3a+4$ ; $2b^{2}\leq 6b+8$ ; $3c^{2}\leq 9c+12$

$\Leftrightarrow a^{2}+2b^{2}+3c^{2}\leq 3(a+2b+3c)+24=36$

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $n,x,y$ thỏa mãn:

         $p^{n}=x^{3}+y^{3}$

https://www.google.c....65788261,d.dGc

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+4y^{2}=5\\ (x+2y)(5+4xy)=27 \end{matrix}\right.$

Cho $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm Min:

P = $x^{3}+y^{3}+z^{3}+(xyz)^{2}$

A = $2(x+y+z)+\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}-\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{xyz}$

   =$2(x+y+z)+\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{xyz}-\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{xyz}=2(x+y+z)=4026$

2 tam giác HBA và HAC đồng dạng

=>$\frac{BA}{CA}=\frac{HB}{HC}=\frac{5}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{HB}{5}=\frac{HC}{4}=\frac{BC}{9}=\frac{82}{9}$

=>$HB=\frac{410}{9}$

ko nhầm thì bài này ko tồn tại đúng ko

Cho x, y > 0 và x + y = 4. Tìm Min:

L = $\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}$

bạn xem lại đề nhé ( x, y, z và a, b, c)

$\frac{a+1}{b^{2}+1}=(a+1)-\frac{(a+1)b^{2}}{b^{2}+1}\geq (a+1)-\frac{(a+1)b^{2}}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}$

CMTT:

$VT\geq a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}=6-\frac{3+ab+bc+ca}{2}$

Mà theo BĐT Cô si: $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$

$\Leftrightarrow VT\geq 6-3=3$ (đpcm)

3.$x^{6}+2x^{3}+1\leq x^{6}+3x^{3}+1< x^{6}+4x^{3}+4$

$\Leftrightarrow (x^{3}+1)^{2}\leq y^{4}< (x^{3}+2)^{2}$

$\Leftrightarrow y^{4}=x^{6}+3x^{3}+1=x^{6}+2x^{3}+1$

$\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y=1$

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn $x+y+z=2014$

Chứng minh rằng T = $\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}+z^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}+x^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geq 2014$

cho x và y là hai số nguyên dương thoả mãn :

$56\leq x+y\leq 59 và 0,9< \frac{x}{y}< 0,91$

Tính giá trị của L = $y^{2}-x^{2}$

Cho a, b, c > 0. Tìm Min:

$S=\frac{c(ab+1)^{2}}{b^{2}(bc+1)}+\frac{a(bc+1)^{2}}{c^{2}(ac+1)}+\frac{b(ac+1)^{2}}{a^{2}(ab+1)}$

Cho các số thực không âm a, b, c, d có tổng bằng 4. Chứng minh rằng:

 A = $\frac{1}{5-abc}+\frac{1}{5-bcd}+\frac{1}{5-cda}+\frac{1}{5-dab}\leq 1$