3+2(\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z})\geq 6$

 

Anh ơi đoạn này em chứng minh dùng bđt Cauchy-Swcharz thì nó không ra ạ:

$(\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z})\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}\geq \frac{1}{(x+y+z)^2}=1$

 

À thôi em ra rồi.

$(\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z})\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}\geq \frac{3(xy+yz+zx)}{2(xy+yz+xz)}$

Cho $x,y,z$ là các số không âm. CMR:

$4(xy+yz+xz)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+2b+3c \geq 10$, Chứng minh rằng: $a+b+c+\frac{3}{4a}+\frac{9}{8b}+\frac{1}{c} \geq \frac{13}{2}$

Anh ơi đoạn này em chứng minh dùng bđt Cauchy-Swcharz thì nó không ra ạ:

$(\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z})\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}\geq \frac{1}{(x+y+z)^2}=1$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+2b+3c \geq 10$, Chứng minh rằng: $a+b+c+\frac{3}{4a}+\frac{9}{8b}+\frac{1}{c} \geq \frac{13}{2}$

Với ba số $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$, chứng minh rằng:

$\frac{1-x^2}{x+yz}+\frac{1-y^2}{y+zx}+\frac{1-z^2}{z+xy}\geq 6$

Mình nghĩ bài này tìm $min$ nên dùng bđt Cauchy-Schwarz. Dùng bđt này bài toán rất là đẹp và rất là gọn:

$T\geq \frac{(1+1+1)^2}{(a+b+c+1+1+1)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Dấu bằng $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Để tạo thành tam giác vuông thì 1 cạnh của tam giác phải là đường kính đa giác đều. Khi chọn 1 cạnh là đường kính thì sẽ còn 22 điểm còn lại để tạo thành 22 tam giác vuông.  Mỗi một đường kính khi tạo thành 22 tam giác vuông thì sẽ có 2 tam giác vuông cân. Đa giác đều có 24 cạnh thì sẽ có 24 : 2 = 12 đường kính. Vậy nên có tất cả 20 x 12 = 240 tam giác vuông nhưng không phải vuông cân được tạo bởi các đỉnh của đa giác trên. 

(P/s: tui không chắc đoạn 2 tam giác vuông cân đâu    )

Một đa giác đều $n$ cạnh ($n$ chẵn) sẽ có:

+) Số tam giác vuông tạo thành từ các đỉnh: $(n-2)\frac{n}{2}$

+) Số tam giác vuông tạo thành từ các đỉnh trừ tam giác vuông cân: $(n-4)\frac{n}{2}$

(Công thức này không đúng đối với các đa giác đều có số cạnh là $n=4k+2$ vì khi $n=4k+2$ thì số điểm nằm trên mỗi cung mà đường kính chia ra là 2k (Không tính 2 đầu mút của đường kính) nên sẽ không có điểm nằm giữa. Vì vậy không có tam giác vuông cân nào được tạo thành). 

Khi $n$ lẻ thì không có đỉnh nào đối diện nhau, nên sẽ không có tam giác vuông nào cả.

Còn công thức số tam giác vuông trừ vuông cân của bạn bị sai khi $n=6$. Hãy thử suy nghĩ xem vì sao

Em cám ơn ạ. Để em sửa ạ.   

Bạn sửa kiểu này thì vội vàng quá. $n=6$ không chỉ là một trường hợp cá biệt đâu. Tất cả $n$ có dạng $4k+2$ đều sẽ vậy.

Dạ vâng em cám ơn ạ  . Lúc em sửa thì có hơi ẩu tí em chỉ xem có một vài đa  giác đều nên không nhận ra ạ   

Biết rằng khi chia đa thức $P(x)$ cho các đa thức $x+1,x^2+1$ ta được các đa thức dư tương ứng là $-3$ và $x+1$. Tìm đa thức dư trong phép chia $P(x)$ cho $(x+1)(x^2+1)$.

Cho các số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $a-b$ là số nguyên tố và $ab+c(a+b)=3c^2$. Chứng minh rằng $8c+1$ là số chính phương.

Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn tính chất nếu $d>1$ là ước của $n$ thì $d-1$ là ước của $n-1$

Tôi nghĩ rằng n là số nguyên tố hoặc n = $p^2$  với p là số nguyên tố.

Không biết còn thiếu trường hợp nào không?

Em nghĩ chưa đủ đâu ạ. Nếu $n$ là 15 và $d=3$ là ước của $n$ thì $d-1$ vẫn là ước của $n-1$ đấy ạ

1.

ý mình hỏi là làm ntn để biết là cần phải xét tích 4a.abc? 

Mình nghĩ do có $4ac=b^2-m^2$ nên xét tích 4a.abc để có $4ac$ thay vào rồi nhóm nhân tử

Cho $n$ là số nguyên dương, còn $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $p-1$ chia hết cho $n$ và $n^3-1$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $p+n$ là số chính phương. 

Xét hai số nguyên dương a, b thỏa mãn $a^2-4b+1$ chia hết cho $(a+2b)(2b-1)$. Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.

Bài này trong đề học sinh giỏi quận Nam Từ Liêm năm hay nhưng mà tui chưa làm được   

Cho các số nguyên dương $m, n$ thỏa mãn $m+n+1$ là một ước nguyên tố của $2(m^2 + n^2)-1$. Chứng minh rằng $m=n$

       Cho $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Kẻ tiếp tuyến với $(I)$ và song song với $BC$ cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Kẻ tiếp tuyến với $(I)$ và song song với $AB$ cắt $CA,CB$ tại $P,Q$. Kẻ tiếp tuyến với $(I)$ và song song với $AC$ cắt $BC,BA$ tại $H,K$.

       $a)$  Chứng minh $N,I,H$ thẳng hàng.

       $b)$ Chứng minh $NP=HK$.

Bài này em làm được đến đoạn này thì không làm được nữa: 

        Giải

Đặt $\frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}=p (p\in P )$

$\Rightarrow x^3+y^3=p(x^2+xy+y^2)$

Đặt $(x,y)=d$ thì $x=da ; y=db (a,b\in N*,(a,b)=1)$

Ta có $d^3(a^3+b^3)=pd^2(a^2+ab+b^2)$

$\Leftrightarrow d(a^3+b^3)=p(a^2+ab+b^2)$

$\Leftrightarrow d(a+b)(a^2-ab+b^2)=p(a^2+ab+b^2)$

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $\frac{x^3+x^3}{x^2+xy+y^2}$ là một số nguyên tố.

Cho đa thức $P(x)=2x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ thỏa mãn $P(1)=3,P(2)=6,P(3)=11$. Tính giá trị của $P(0)+P(4)?$

Giải phương trình $(2x-1)^2-9=4\sqrt{x^2-x}$.