Từ một nhóm 25 người chúng ta thành lập một số nhóm nhỏ. mỗi nhóm nhỏ có đúng 5 thành viên và hai nhóm nhỏ bất kì có tối đa một thành viên chung. Hãy tìm số lớn nhất có thể của các nhóm nhỏ?
davildark nội dung
Có 224 mục bởi davildark (Tìm giới hạn từ 22-05-2020)
#473740 Tìm số lớn nhất thỏa
Đã gửi bởi
on 29-12-2013 - 18:49
trong
Tổ hợp và rời rạc
#327007 Chứng minh rằng AD,BE,CF đồng quy.
Đã gửi bởi
on 19-06-2012 - 15:59
trong
Hình học
Ta có $ BD.BM=BF.BA$ và $ CD.CM=CE.CA$
$$\Rightarrow \frac{BD.BM}{CD.CM}=\frac{BF.BA}{CE.CA}\Rightarrow \frac{BD}{CD}.\frac{AB}{AC}=\frac{BF.BA}{CE.CA}\Rightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{BF}{CE}$$
$$\bigtriangleup AFM=\bigtriangleup AEM \Rightarrow AF=AE$$
$$\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{EA}.\frac{AF}{FB}=\frac{BF}{CE}.\frac{CE}{AF}.\frac{AF}{FB}=1$$
Theo định lý Ceva ta có AD BE CF đồng quy
$$\Rightarrow \frac{BD.BM}{CD.CM}=\frac{BF.BA}{CE.CA}\Rightarrow \frac{BD}{CD}.\frac{AB}{AC}=\frac{BF.BA}{CE.CA}\Rightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{BF}{CE}$$
$$\bigtriangleup AFM=\bigtriangleup AEM \Rightarrow AF=AE$$
$$\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{EA}.\frac{AF}{FB}=\frac{BF}{CE}.\frac{CE}{AF}.\frac{AF}{FB}=1$$
Theo định lý Ceva ta có AD BE CF đồng quy
#322015 [Xin giúp ] Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $y^2+yz+z^2=1-\frac{3...
Đã gửi bởi
on 03-06-2012 - 12:50
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$$y^2+yz+z^2=1-\frac{3x^2}{2}\Leftrightarrow 3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\Leftrightarrow (x+y+z)^2+(x-y)^2+(x-z)^2=2$$
Vì $(x-y)^2+(x-z)^2 \ge0$
$\Rightarrow (x+y+z)^2\leq 2\Rightarrow -\sqrt{2}\leq x+y+z\leq \sqrt{2}$
Vì $(x-y)^2+(x-z)^2 \ge0$
$\Rightarrow (x+y+z)^2\leq 2\Rightarrow -\sqrt{2}\leq x+y+z\leq \sqrt{2}$
#317472 Chứng minh rằng PQ=QP khi và chỉ khi phân giác của các góc ABC và ADC cắt nha...
Đã gửi bởi
on 17-05-2012 - 22:15
trong
Hình học
Bài này xét 2 TH
TH1 Khi phân giác của góc ABC và ADC cắt nhau tại AC
TH2 Khi PQ=QP
Bạn tham khảo ở đây
http://diendantoanho...ndpost&p=315705
TH1 Khi phân giác của góc ABC và ADC cắt nhau tại AC
TH2 Khi PQ=QP
Bạn tham khảo ở đây
http://diendantoanho...ndpost&p=315705
#344416 $\sum \frac{a^2+3b^2}{ab^2(4-ab)} \ge...
Đã gửi bởi
on 07-08-2012 - 16:53
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Ta cóBài toán. Cho các số thực dương $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{a^2+3b^2}{ab^2(4-ab)}+\frac{b^2+3c^2}{bc^2(4-bc)}+\frac{c^2+3a^2}{ca^2(4-ca)} \geq 4$$
Nguồn $\fbox{$\text{[Turkish MO 2007]}$}$
$$\frac{a^2+3b^2}{ab^2(4-ab)}\geq \frac{2ab+2b^2}{ab^2(4-ab)}=\frac{2(a+b)}{ab(4-ab)}\geq \frac{4}{\sqrt{ab}(4-ab)}$$
Vậy bài toán quy về CM
$$\sum \frac{1}{\sqrt{ab(4-ab)}}\geq 1$$
Ta có $$ab(4-ab)^3=\frac{1}{3}.3ab(4-ab)(4-ab)(4-ab)\leq \frac{1}{3}(\frac{12}{4})^4=27$$
$$\Rightarrow \sqrt[3]{ab}(4-ab)\leq 3$$
$$\sum \frac{1}{\sqrt{ab}(4-ab)}=\sum \frac{1}{\sqrt[6]{ab}}.\frac{1}{\sqrt[3]{ab}(4-ab)}\geq \frac{1}{3}\sum \frac{1}{\sqrt[6]{ab}}.(1) $$
Mà $a+b+c=3 \Rightarrow abc \le 1$
$$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt[6]{ab}}+\frac{1}{\sqrt[6]{bc}}+\frac{1}{\sqrt[6]{ac}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[6]{a^2b^2c^2}}}\geq 3 (2) $$
Từ (1) và (2) ta có Q.E.D
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$
#320839 giải pt : $\sqrt[5]{27}x^{10}-5x^{6}+\sqrt[5]{864}=0$
Đã gửi bởi
on 30-05-2012 - 11:56
trong
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Bài này là đề thi MMS trận 3 bạn tham khảo tại đây
http://diendantoanho...showtopic=69190
http://diendantoanho...showtopic=69190
#371986 Chứng minh NB là tiếp tuyến
Đã gửi bởi
on 23-11-2012 - 22:56
trong
Hình học
Cho M ngoài (O) Vẽ 2 tiếp tuyến MA MC và đường kính AB .Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BC tại E
a) CM OM//BE
b) Vẽ CH vuồng AB CF vuông AM OM cắt AC tại I CM F I H thẳng hàng
c) K là trung điểm CH AK giao MC tại N . CM NB là tiếp tuyến của (O)
d) CM B K M thẳng hàng
a) CM OM//BE
b) Vẽ CH vuồng AB CF vuông AM OM cắt AC tại I CM F I H thẳng hàng
c) K là trung điểm CH AK giao MC tại N . CM NB là tiếp tuyến của (O)
d) CM B K M thẳng hàng
#409453 $\sum \frac{1}{\sqrt{ab}}...
Đã gửi bởi
on 31-03-2013 - 15:49
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Cho $ a,b,c > 0 $ và $ ab+bc+ac=3 $ Chứng minh:
$\sum \frac{1}{\sqrt{ab}}\geq \sum a$
#380514 Đề thi chuyển hệ kì I THPT chuyên ĐHSPHN
Đã gửi bởi
on 25-12-2012 - 23:32
trong
Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
#377942 $-x^4 + 2mx^2 + m^2 -2 = 0 $
Đã gửi bởi
on 15-12-2012 - 23:14
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Cho phương trình $-x^4 + 2mx^2 + m^2 -2 = 0 $
Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt $x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} $ thoả $x_{1}-x_{2}=x_{2}-x_{3}=x_{3}-x_{4}$
Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt $x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} $ thoả $x_{1}-x_{2}=x_{2}-x_{3}=x_{3}-x_{4}$
#317296 Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OA, đường thẳng này cắt AB tại H. Chứng mi...
Đã gửi bởi
on 17-05-2012 - 13:25
trong
Hình học
a) $$\widehat{KEC}=\widehat{KDC}=90{}^{\circ}$$
b) $$\widehat{BKD}=\widehat{BCA}=\widehat{BKA}$$
c) $$\widehat{BDE}=\widehat{BKC }=\widehat{BAC}$$
$\Rightarrow$ AICD nội tiếp $\Rightarrow EI.EC=EC.EA=.EB.EK$
$\Rightarrow$ BIKD nội tiếp $\Rightarrow \widehat{BIK}=90^{\circ}$
d) Vẽ tiếp tuyến Ax của (O) tại A
$$\Rightarrow Ax//EH$$
$$\Rightarrow \widehat{xAB}=\widehat{ACB}=\widehat{AHE}$$
$\Rightarrow$ BHEC nội tiếp $\Rightarrow$ dpcm
#360795 Cm $\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac...
Đã gửi bởi
on 10-10-2012 - 21:26
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Cho a b c > 0 Cm bất đẳng thức
$\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2}(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac})\geq 4$
$\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2}(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac})\geq 4$
#316169 Chứng minh rằng trong 17 số bất kì luôn chọn được 9 số có tổng chia hết cho 9
Đã gửi bởi
on 13-05-2012 - 12:28
trong
Số học
Bài 1 :Chứng minh rằng trong 17 số bất kì luôn chọn được 9 số có tổng chia hết cho 9
Bài 2 Cho bảng vuông 4x4 và các số từ 1->16
Hỏi có cách điền sao cho mỗi ô hình chữ T (như hình dưới) luôn có tổng chia hết cho 4 hay không
Bài 2 Cho bảng vuông 4x4 và các số từ 1->16
Hỏi có cách điền sao cho mỗi ô hình chữ T (như hình dưới) luôn có tổng chia hết cho 4 hay không
#312499 $n(n+1)/2$ và $2n+1$ nguyên tố cùng nhau $n \in...
Đã gửi bởi
on 24-04-2012 - 21:38
trong
Số học
Gọi d là ước chung của $\frac{n(n+1)}{2}$ và $2n+1$
$$\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
d|4n^2+4n\\
d|(2n+1)^2=4n^2+4n+1
\end{matrix}\right.$$
$\Rightarrow d|1$
Hay d=1 vậy 2 số đã cho nguyên tố cùng nhau
$$\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
d|4n^2+4n\\
d|(2n+1)^2=4n^2+4n+1
\end{matrix}\right.$$
$\Rightarrow d|1$
Hay d=1 vậy 2 số đã cho nguyên tố cùng nhau
#312610 Chứng minh $AH^{2}+ BC^{2}$ có giá trị không đổi khi A, B, C thay đ...
Đã gửi bởi
on 25-04-2012 - 14:26
trong
Hình học
$$\bigtriangleup AFH\sim \bigtriangleup CFB \Rightarrow AF.FB=FH.FC$$
$$AH^2+BC^2=AF^2+FB^2+FH^2+FC^2=(AF^2+2AE.AF+FB^2)+(FH^2-2FH.FC+FC^2)=AB^2+HC^2$$
AH cắt (O) tại K dễ dàng Cm BHCK là hình thoi
$$\Rightarrow AB^2+HC^2=AB^2+BK^2=AK^2=4R^2 $$
Vậy $AH^2+BC^2$ không đổi
#310720 Tìm vị trí của $A$ để $CK$ vuông góc với $AB$
Đã gửi bởi
on 15-04-2012 - 19:44
trong
Hình học
$\bigtriangleup ICK \sim \bigtriangleup IBC$
$\Rightarrow IC^{2}=IK.IB$
$\widehat{IAK}=\widehat{BDA}=\widehat{ABI} \Rightarrow \bigtriangleup IAK\sim \bigtriangleup IBA$
$\Rightarrow IA^{2}=IK.IB$
Vậy IC=IA
Giả sử $CK\perp AB$ thì K là trực tâm $\bigtriangleup ABC$
$\bigtriangleup ABC$ có BI vừa là đường cao vừa là trung tuyến nen cân tại B => BC=BA
Mà AB=AC
Vậy $\bigtriangleup ABC$ đều
Từ đó cũng có $\bigtriangleup DBC$ đều
$\sin \widehat{BAO}=\sin 30^{\circ}=\frac{OB}{OA}\Rightarrow OA=\frac{OB}{0.5}=2R$
Vậy A Cách O một khoảng bằng 2R thì $CK \perp AB$
#310394 CM: $\frac{DC}{DB}=/frac{AC^{2}}{AB^{2}}$
Đã gửi bởi
on 14-04-2012 - 21:08
trong
Hình học
a)$\bigtriangleup ACE\sim \bigtriangleup BCF \Rightarrow \frac{CE}{FC}=\frac{AC}{BC} \Rightarrow CE.CB=CF.CA$
b) theo cau a) thì $\frac{CE}{CF}=\frac{AE}{BF}$
$\bigtriangleup IFB\sim \bigtriangleup IEA$
$\bigtriangleup IFB\sim \bigtriangleup IEA \Rightarrow \frac{IE}{IF}=\frac{EA}{FB}$
$\Rightarrow \frac{IE}{IF}=\frac{CE}{CF}$
c)
d)
e)$\frac{AC^{2}}{AB^{2}}=\frac{BC.DC}{BC.BD}=\frac{DC}{DB}$
#309931 $\sum {\frac{{x^2 }}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} \ge 2$
Đã gửi bởi
on 12-04-2012 - 20:53
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$x\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{x^{2}(1-x^{2})}\leq \frac{1}{2}$
$\Rightarrow \frac{x^{3}}{x\sqrt{1-x^{2}}}\geq 2x^{3}$
Xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự rùi cộng lại là được
$\Rightarrow \frac{x^{3}}{x\sqrt{1-x^{2}}}\geq 2x^{3}$
Xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự rùi cộng lại là được
#314053 $BN \perp CM$
Đã gửi bởi
on 03-05-2012 - 09:52
trong
Hình học
Từ giả thiết suy ra AB=AC
$$AB^2=BK.BM \Rightarrow AC^2=BK.BM$$
$$\Rightarrow \frac{BC}{BM}=\frac{BK}{BC}$$
$$\Rightarrow \bigtriangleup BKC \sim \bigtriangleup BCM$$
$$\Rightarrow \widehat{BKC}=\widehat{BCM}$$
Mà Tứ giác BKCN nội tiếp $$\Rightarrow \widehat{BKC}=\widehat{BNC}$$
$$\Rightarrow \widehat{BCM}=\widehat{BNC}$$
Áp dụng hệ thức lượng đảo trong tam giác vuông BCN ta có dpcm
#314091 tồn tại số chia hết cho 2009 và tổng các chữ số là 2009
Đã gửi bởi
on 03-05-2012 - 14:45
trong
Số học
Bài này mình mới đọc được trong sách
Cách giải
Để ý 2009x2=4018
$\Rightarrow A=2009...2009 4018...4018 $ luôn chia hết cho 2009 (A có x số 2009 y số 4018)
Tổng các chữ số trong A =(2+0+0+9)x+(4+0+1+8)y=11x+13y
Vậy cần tìm x y sao cho 11x+13y=2009
$\Rightarrow y=\frac{2009-11x}{13}=154-x+\frac{7+2x}{13}$
Đến đây có rất nhiều cặp (x;y) thỏa
Chọn x=3 => y=152
Vậy số A có 3 số 2009 và 152 số 4018 thỏa yêu cầu bài toán
Cách giải
Để ý 2009x2=4018
$\Rightarrow A=2009...2009 4018...4018 $ luôn chia hết cho 2009 (A có x số 2009 y số 4018)
Tổng các chữ số trong A =(2+0+0+9)x+(4+0+1+8)y=11x+13y
Vậy cần tìm x y sao cho 11x+13y=2009
$\Rightarrow y=\frac{2009-11x}{13}=154-x+\frac{7+2x}{13}$
Đến đây có rất nhiều cặp (x;y) thỏa
Chọn x=3 => y=152
Vậy số A có 3 số 2009 và 152 số 4018 thỏa yêu cầu bài toán
#315990 c/m : HP song song AO
Đã gửi bởi
on 12-05-2012 - 15:37
trong
Hình học
c)
$$\bigtriangleup PCK \sim \bigtriangleup PIB \Rightarrow \frac{PC}{PI}=\frac{CK}{IB}=\frac{HC}{HB}$$\
$$\Rightarrow PH//IB $$
Mà $ OA//IB$
=>dpcm
#315980 CMR GH vuông góc AN
Đã gửi bởi
on 12-05-2012 - 13:23
trong
Hình học
a) Các tứ giác AMBC , BFEC nội tiếp
$$\Rightarrow GM.GA=GB.GC=GF.GE$$
Nên tứ giác AMFE nội tiếp
b) Dễ dàng chứng minh FDNE nội tiếp
$$\Rightarrow GD.GC=GF.GE=GB.GC=GM.GA$$
=> MDNA nội tiếp => $\widehat{AMN }=90^{\circ} \Rightarrow AM\perp MN$
Mà từ câu a) ta có $AM\perp MH$
Vậy M,H,N thẳng hàng nên H là trực tâm tam giác AGN
=> dpcm
$$\Rightarrow GM.GA=GB.GC=GF.GE$$
Nên tứ giác AMFE nội tiếp
b) Dễ dàng chứng minh FDNE nội tiếp
$$\Rightarrow GD.GC=GF.GE=GB.GC=GM.GA$$
=> MDNA nội tiếp => $\widehat{AMN }=90^{\circ} \Rightarrow AM\perp MN$
Mà từ câu a) ta có $AM\perp MH$
Vậy M,H,N thẳng hàng nên H là trực tâm tam giác AGN
=> dpcm
#315452 Chứng minh : $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{...
Đã gửi bởi
on 09-05-2012 - 22:33
trong
Bất đẳng thức và cực trị
1) Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có
$$(\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} )^2\leq (c+b-c)(a-c+c)=ab$$
$\Rightarrow đpcm$
2) Đây là hệ quả của BĐT
$$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac$$
3)
$$x\sqrt{1-x^2}=\sqrt{x^2(1-x^2)}\leq \frac{x^2+1-x^2}{2}=\frac{1}{2}$$
$$\Rightarrow \frac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\geq 2x^3$$
Xây dưng các BĐT tương tự rồi cộng lại ta có dpcm
4) Áp dụng Cauchy-Schwarz
$$\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2(xy+yz+xz)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\geq \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz}=(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2> 14$$
$$(\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} )^2\leq (c+b-c)(a-c+c)=ab$$
$\Rightarrow đpcm$
2) Đây là hệ quả của BĐT
$$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac$$
3)
$$x\sqrt{1-x^2}=\sqrt{x^2(1-x^2)}\leq \frac{x^2+1-x^2}{2}=\frac{1}{2}$$
$$\Rightarrow \frac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\geq 2x^3$$
Xây dưng các BĐT tương tự rồi cộng lại ta có dpcm
4) Áp dụng Cauchy-Schwarz
$$\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2(xy+yz+xz)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\geq \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz}=(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2> 14$$
#314738 CMR PC đi qua trung điểm E của AH
Đã gửi bởi
on 06-05-2012 - 18:30
trong
Hình học
a) Cách 1
Ta có $$ AH//BP$$
$$\Rightarrow \frac{EH}{BP}=\frac{CH}{CB}\Rightarrow EH.BC=BP.CH$$
Lại có $$\bigtriangleup CHA \sim OBP \Rightarrow \frac{CH}{OB}=\frac{HA}{BP}\Rightarrow CH.BP=OB.HA$$
$$\Rightarrow BC.EH=OB.AH\Rightarrow 2R.EH=R.AH\Rightarrow 2EH=AH$$
=> dpcm
Cách 2
AC cắt BP tại K
$$BA=BP\Rightarrow \widehat{ABP}=\widehat{PAB}\Rightarrow 90^{\circ}-\widehat{ABP}=90^{\circ}-\widehat{PAB}\Rightarrow \widehat{PAK}=\widehat{PKA}$$
$$\Rightarrow BP=PK=PA$$
$$AH//BK\Rightarrow \frac{HE}{BP}=\frac{EA }{PK}$$
=>dpcm
b) câu này khá dễ mò mãi cũng ra thui
#309927 $\sum {\frac{a}{{a^2 + 1}}} \le \sum {\frac{a...
Đã gửi bởi
on 12-04-2012 - 20:40
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$
$\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$
Mà theo Netbitt 3 biến thì
$\frac{3}{2}\leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$
Cm hoàn tất
$\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$
Mà theo Netbitt 3 biến thì
$\frac{3}{2}\leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$
Cm hoàn tất
