1 reply to this topic

[tritanngo99]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương và $m,n$ là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $m\ge n$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^m+b^m+c^n}{a^n+b^n+c^n}\ge (\frac{a+b+c}{3})^{m-n}$.

P/s: Bổ đề nhỏ ứng dụng lớn.

[Senju Hashirama]

Không mất tính tổng quát , giả sử $a\geq b\geq c$   

$\Rightarrow a^{n}\geq b^{n}\geq c^{n}$ và  $a^{m-n}\geq b^{m-n}\geq c^{m-n}$

Áp dụng BĐT $Chebyshev$ , ta có 

$\sum a^{m}\geq \frac{1}{3}\sum a^{n}.\sum a^{m-n}$

Tương tự , ta có :

$\sum a^{m-n}\geq \frac{1}{3}\sum a^{m-n-1}\sum a$

Cứ như vậy ta có ĐPCM