Chủ đề này có 3 trả lời

[DOTOANNANG]

Cho $x, y>0$ và $x+ y \leq \frac{1}{2}$. Tìm $\min$ của 

 

$$\frac{1}{4x^{2}+ 4y^{2}}+ \frac{1}{2xy}+ 16xy$$

 

Trích "Đề thi học sinh giỏi Phú Yên lớp 11 năm 2018"

[tritanngo99]

Cho $x, y>0$ và $x+ y \leq \frac{1}{2}$. Tìm $\min$ của 

 

$$\frac{1}{4x^{2}+ 4y^{2}}+ \frac{1}{2xy}+ 16xy$$

 

Trích "Đề thi học sinh giỏi Phú Yên lớp 11 năm 2018"

Ta có: $A=\frac{1}{4x^2+4y^2}+\frac{1}{2xy}+16xy=(\frac{1}{4x^2+4y^2}+\frac{1}{8xy})+(\frac{3}{8xy}+96xy)-80xy(1)$.

Lại có: $2\sqrt{xy}\le x+y\le \frac{1}{2}\implies xy\le \frac{1}{16}$.

Do đó áp dụng BDT Cauchy-Schwart :từ $(1)\implies A\ge \frac{4}{4(x+y)^2}+2\sqrt{\frac{3}{8xy}.96xy}-80.\frac{1}{16}$.

$\iff A\ge \frac{1}{(\frac{1}{2})^2}+2\sqrt{36}-5=4+2*6-5=11$.

Vậy $A_{min}=11$. Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=\frac{1}{4}$

[Haton Val]

Đề thi tỉnh Phú Yên 2018

[DOTOANNANG]

$$x+y\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow xy\leq \frac{1}{16}$$

 

$$\frac{1}{4x^{2}+ 4y^{2}}+ \frac{1}{2xy}+ 16xy$$

 

$$= \frac{1}{8x^{2}+ 8y^{2}}+ \frac{1}{16xy}+ \frac{1}{8x^{2}+ 8y^{2}}+ \frac{1}{16xy}+ \frac{1}{16xy}+ \frac{1}{16xy}+\frac{1}{16xy}+\frac{1}{16xy}+\frac{1}{16xy}+\frac{1}{16xy}+16xy$$

 

$$\geq \frac{1}{2\left ( x+ y \right )^{2}}+ \frac{1}{2\left ( x+ y \right )^{2}}+ 7\sqrt[7]{\frac{1}{16^{5}x^{5}y^{5}}}\geq 4+ 7= 11$$