Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m,n)$ thoả mãn $2$ điều kiện sau:
1) $m,n$ nguyên tố cùng nhau và $m\le 2007$
2) Với số $k$ bất kì thuộc tập hợp $1,2,...,2007$ ta luôn có: $[\frac{nk}{m}]=[\sqrt{2}k]$
$\newcommand{png}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{ple}[1]{\left\{ #1 \right\}}$
Thay $k:=m$ vào điều kiện 2 thu được $n=\png{m\sqrt{2}}$, như vậy
\[\png{\frac{nk}{m}}=\png{\frac{\left(m\sqrt{2}-\ple{m\sqrt{2}}\right)k}{m}}=\png{k\sqrt{2}-\frac{k\ple{m\sqrt{2}}}{m}}=\png{k\sqrt{2}}+\png{\ple{k\sqrt{2}}-\frac{k\ple{m\sqrt{2}}}{m}}.\]
Do vậy ta có
\[\png{\ple{k\sqrt{2}}-\frac{k\ple{m\sqrt{2}}}{m}}=0\implies \frac{k\ple{m\sqrt{2}}}{m}\le \ple{k\sqrt{2}}.\]
Điều này dẫn đến với mọi $k\in \{1,2,\dots,2007\}$ thì ta có bất đẳng thức
\[\frac{\ple{m\sqrt{2}}}{m}\le\frac{\ple{k\sqrt{2}}}{k}\iff \frac{\png{m\sqrt{2}}}{m}\ge \frac{\png{k\sqrt{2}}}{k}.\]
Vậy bước tiếp theo chính là xác định $k\in\{1,\dots,2007\}$ sao cho $\frac{\png{k\sqrt{2}}}{k}$ đạt GTLN.
Như thế ta đã xác định được với $k\in\{985,1970\}$ thì biểu thức $\frac{\png{k\sqrt{2}}}{k}$ đạt GTLN (được kiểm chứng bằng python).
import math max = math.floor(985 * math.sqrt(2)) / 985 for i in range(1,2008): if math.floor(i * math.sqrt(2)) / i >= max: print(i)
Vì $\text{UCLN}(m,n)=1$ nên chỉ có cặp $(m,n)=(985,1393)$ thỏa đề.
Ghí chú. Một số bài toán khá liên quan xem ở đây và đây.
- perfectstrong, hxthanh, tritanngo99 và 2 người khác yêu thích