Math04

Đa thức hệ số nguyên $P(x)$ được gọi là đa thức "đẹp" nếu với mỗi số nguyên tố $p$ tồn tại số nguyên $n$ để $P(n)$ chia hết cho $p$. Xét đa thức "đẹp" $P(x)=(x^2-a)(x^2-b)(x^2-c)$ với $a,b,c$ là các số nguyên dương không là số chính phương. Chứng minh tích $abc$ là một số chính phương. 

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x^2-2yf(x))+f(y^2)=f^2(x-y), \forall x,y \in \mathbb{R}$.

Trong đó kí hiệu $f^2(x)=(f(x))^2$.

Xét tập hợp các đa thức $P(x)$ hệ số thực, khác $0$ và thỏa: $P(x^2-1)=P(x)P(-x)$ với mọi $x$ thực. Tìm trong tập hợp đó một đa thức có bậc bé nhất nhưng có nghiệm lớn nhất.

Cho dãy $x_{n}$ xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{2011}{2010} & & \\ x_{n+1}=x_{n}^2-2x_{n}+\frac{2n+4999}{n+2499} & & \end{matrix}\right.$. Chứng minh $1<x_{n}<2$.

Viết $n = p_1^{k_1} . p_2^{k_2} ... p_h^{k_h}$.

Khi đó $d(n) = (k_1+1)(k_2+1)...(k_h+1)$.

Ta sẽ chứng minh: $k_1+1 \leq 2\sqrt{p_1^{k_1}}$ hay $(k_1+1)^2 \leq 4p_1^{k_1}$.

Nhận thấy VT là một đa thức bậc hai, còn VP là một luỹ thừa nên bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh bằng quy nạp.

Tương tự với $k_2,...,k_h$ ta có đpcm.

Bạn cho mình hỏi nếu làm như vậy thì khi ta nhân các bất đẳng thức đó lại thì sẽ được $d(n) \leq 2^h\sqrt{n}$ thì vẫn chưa có điều cần chứng minh mà bạn. 

 Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $D$ di chuyển trên cung $BC$ nhỏ và $D$ không trùng $B,C$. $I, J$ lần lượt là tâm đường tòn bàng tiếp tại $A$ của tam giác $ABD, ACD$. Chứng minh khi $D$ di chuyển:

Đa thức nguyên $f(n)$ được gọi là "đẹp" nếu tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho: $n!\vdots f(n)$

a) Chứng minh $f(n)=n^2-1$ và $f(n)=n^2+n+1$ đều "đẹp"

b) Chứng minh với mọi đa thức nguyên $f(n)$ dạng $f(n)=an+2021$ với $a$ là số nguyên dương thì đều là đa thức "đẹp".

Với $p$ là số nguyên tố dạng $6k+1$. Chứng minh tồn tại $i$ thuộc $\left \{ 1,2,...,p-1 \right \}$ thỏa $i^2+i+1 \vdots p$.

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, đường kính $AD$. $P,Q$ đối xứng $D$ qua $CA,AB$. Trung trực $CA, AB$ lần lượt cắt $AB, AC$ tại $V, U$. Đường tròn đối xứng với $(ABC)$ qua $BC$ lần lượt cắt $CA, AB$ tại $E,F$. $(AUV)$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ tại $Y$. $X$ đối xứng $A$ qua $Y$. Chứng minh đường thẳng $PE, QF$ và đường thẳng qua $X$ vuông góc $AX$ đồng quy.

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

$f(xf(y)+y^3)=yf(x)+f(y)^{3}$

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c\geq 3$. Chứng minh:

$\frac{a^3-a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^3-b^2}{(b+c)^2}+\frac{c^3-c^2}{(c+a)^2}\geq 0$

Cho $x,y,z>0$ thỏa $(x+y+z)^3=32xyz$. Tìm GTLN, GTNN của $P=\frac{x^4+y^4+z^4}{(x+y+z)^4}$.

Chứng minh đa thức $P(x)=(x^2+x)^{2^n}+1$ bất khả quy với mọi số tự nhiên $n$.