Math04

Tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp $(O)$ với $I$ là tâm nội tiếp và $BE, CF$ là hai phân giác trong. $BE, CF$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K, L$. $AI$ cắt $KL$ ở $P$ và $Q$ trên $EF$ sao cho $QP= QI$ . Chứng minh góc $QIO$ vuông.

Tam giác $ABC$ có $AD, BE, CF$ là các đường cao đồng quy ở $H$ và $X$ là tâm $(DEF)$, gọi $K, L$ là trung điểm $HB, HC$. Giả sử $FK$ cắt $DE$ tại $M, EL$ cắt $DF$ tại $N$ và $DK, DL$ lần lượt cắt $EF$ ở $P, Q$. Chứng minh $PM, QN, AX$ đồng quy.

Cho dãy số nguyên dương $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ thỏa:

$2a_{n+2}=a_{n+1}+4a_{n}$ $n=0,1,2...,3034$.

Chứng minh có ít nhất một trong các số $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ chia hết cho $2^{2024}$.

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa:

$\frac{P(x^2+1)}{x^2+1}=\frac{P(x^2+2)}{x^2+2}, \forall x \in \mathbb{R}$

Cho $n>1$ và đa thức $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ có $n$ nghiệm thực (Tính cả nghiệm trùng nhau). Xét đa thức:

$Q(x)=\prod_{j=1}^{2015}P(x+j)$. Biết $P(2015)=2015$. Chứng minh $Q(x)$ có ít nhất 1970 nghiệm phân biệt $r_{1},r_{2},...,r_{1970}$ sao cho $|r_{i}|<2015, \forall i=\overline{1,1970}.$

Cho $n$ là số nguyên dương lẻ. Chứng minh các ước nguyên tố lẻ của $3^n+1$ đều chia $3$ dư $1$.

Cho đa thức $P(x)$ bậc $2021$ có hệ số hữu tỉ, hệ số cao nhất bằng $1$ và có đúng $2021$ nghiệm thực phân biệt. Giả sử các nghiệm của đa thức $P(x)$ lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng trong các nghiệm của $P(x)$ có hai nghiệm là nghiệm của một đa thức bậc hai có hệ số hữu tỉ.

Cho dãy $a_{n}$ xác định bởi:
$a_{1}=-1, a_{2}=1, a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}}+\frac{1}{3}(1+\frac{2}{n})a_{n}+1$
Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $2021a_{n}-12n<9$

Với số nguyên dương $n$, kí hiệu $S(n)$ là tổng các ước nguyên tố phân biệt của $n$ (Ví dụ: $S(1)=0, S(2)=2, S(12)=5, S(45)=8).$ Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)=S(2^n+1)$.

Một tập hợp các đường thẳng trong mặt phẳng được gọi là đẹp nếu các đường thẳng trong tập hợp này phân biệt, không có $3$ đường nào đồng quy và mỗi đường thẳng trong chúng đều có số các giao điểm của nó với tất cả các đường thẳng còn lại là một số lẻ. Tìm số $k$ nguyên dương nhỏ nhất sao cho với $2018$ đường thẳng phân biệt, không có $3$ đường nào đồng quy, bất kỳ, ta có thể bổ sung thêm $k$ đường thẳng để tạo thành tập hợp đẹp gồm $2018+ k$ đường thẳng.

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $3^x-8^y=2xy+1$.