Cho mình xin cách chứng minh bất đẳng thức $(\frac{a}{a+1})^{2}+(\frac{b}{b+1})^{2}+(\frac{c}{c+1})^{2}\geq \frac{3}{4}, abc=1$

Bạn giải thích cho mình rõ giúp nha: DI=DB=DC.

Cảm ơn bạn nhiều lắm!!!

Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC và mặt phẳng (CAB) vuông góc với mặt phẳng (DAB). Chứng minh rằng: $cot\widehat{BCD}.cot\widehat{BDC=\frac{1}{2}}$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 9 điểm có toạ độ là các số nguyên, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 9 điểm trên có diện tích là một số chẵn.

Mình down trên mạng xuống đó, Đề thi HSG tỉnh Thanh Hoá năm 2008-2009!!!!

Tìm GTLN của $P=13sinx+9\sqrt{cos^{2}x-4cosx+3}, x\epsilon \left [ 0;\pi \right ]$

Sao bạn tìm được nghiệm a=-3/5 vậy?

Mình cũng làm đến đó nhưng bấm máy ra nghiệm tào lao không ah!

Lời giải. Điều kiện $\frac{3x+1}{x-1} \ge 0, \frac{y+1}{2y-1} \ge 0$.

Đặt $\sqrt{ \frac{3x+1}{x-1}}=a, \;\sqrt{ \frac{y+1}{2y-1}}=b, \; (a,b \ge 0)$. Khi đó $\frac{1}{x-1}= \frac{a^2-3}{4}$ và $\frac{1}{2y-1}= \frac{2b^2-1}{3}$.

Ta có hệ mới $\begin{cases} a+b=3 \\ 12a^2+32b^2=83 \end{cases}$. Hệ này thì thế vào rồi giải thôi. 

Làm sao minh có điều này vậy bạn $\frac{1}{x-1}= \frac{a^2-3}{4}$ và $\frac{1}{2y-1}= \frac{2b^2-1}{3}$ ?

Bạn  giải thích giúp mình với!!!

Đặt $2y=a,x^2y=b$ ta có hệ mới là :$(2-a)(b+1)=-2$và $2b-a^2-2a-\frac{1}{b^2}=-7$.Đến đây rút ẩn rồi thay vào là xong

Làm tiếp đi bạn!!!

Giải phương trình $log_{3}2x+1+log_{5}4x+1+log_{7}6x+1=3x$

Từ pt(2) => x,y bình đẳng =>f(x)=f(y)

Thay vào pt (1) => x=y=3 và x=y=1

x,y bình đẳng là gì vậy bạn???

x=y=3 không thoả mãn pt 2.

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+2y^{2}-4y +3=0& \\ x^{2}+x^{2}y^{2}-2y=0& \end{matrix}\right.$

Hệ đã cho tương đương với

$\left\{\begin{matrix} 2y^{2}-4y+3+x^{3}=0(1)\\ x^{2}=\frac{2y}{1+y^{2}}(2) \end{matrix}\right.$

$(2)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geqslant 0\\ -1\leqslant x\leqslant 1 \end{matrix}\right.$

(1) ta có $\Delta '=4-2(3+x^{3})\geqslant 0$

$\Leftrightarrow x\leqslant -1$

thay x=-1 vào hệ ban đầu ta thu được y=1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (-1;1)

Làm sao c/m được pt vô nghiệm vậy bạn???

Cho dãy số thực $x_{n}$ được xác định bởi: $x_{0}=1,x_{n+1}=2+\sqrt{x_{n}}-2\sqrt{1+\sqrt{x_{n}}}\forall n\epsilon N$

Ta xác định dãy $y_{n}$ bởi công thức $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}.2^{i},\forall n\epsilon N^{*}$. Tìm công thức tổng quát của dãy $y_{n}$

Tại sao lại có $xy+yz+zx\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$ vậy bạn?!

Do $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \geqslant 0$

Bạn giải thích giúp mình $limx_{2k}=limx_{2k+1}=1-\sqrt{2}$

Tìm tất cả các hàm: $f:R\rightarrow R$ sao cho: $f(x+cos(2009y))=f(x)+2009cos(f(y));\forall x,y\epsilon R$

Giải PT: $3x^2-5x-3+2\sqrt{x+3}(2-x)=0$

Giải

ĐK: $x\geqslant -3$

PT tương đương với:

$(2x-2)^{2}=(2-x-\sqrt{x+3})^{2}$

Đến đây thì dễ rùi nhỉ   

Cho 2 đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong tại điểm K, ((O') nằm trong (O)). Điểm A nằm trên (O) sao cho 3 điểm A, O, O' không thẳng hàng. Các tiếp tuyến AD và AE của (O') cắt (O) lần lượt tại B và C (D, E là các tiếp điểm). Đường thẳng AO' cắt (O) tại F. Chứng minh rằng các đường thẳng BC, DE, FK đồng quy.

$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}}} + \sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30}}}} < 9$

Ta có

$\sqrt{6}<3$

$\Rightarrow 6+\sqrt{6}<9$

$\Rightarrow \sqrt{6+\sqrt{6}}<3$

$\Rightarrow \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}<3$

Tương tự ta cũng có

$\sqrt{30}<6$

$\Rightarrow \sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30}}}}<6$

Như vậy suy ra được đpcm.

Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{2}-2x+y^{2}=0\\ 2x^{3}+3x^{2}-6y-12x+13=0 \end{matrix}\right.$

Hệ tương đương với 

$\left\{\begin{matrix} y^{2}=\frac{2x}{x^{2}+1}(1)\\ 2x^{3}+3x^{2}-12x+13=6y(2) \end{matrix}\right.$

Từ (1) ta có $x\geq 0;-1\leq y\leq 1$

Xét hàm số $f(x)=2x^{3}+3x^{2}-12x+13;x\geq 0$ ta có

$f'(x)=6x^{2}+6x-12;f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$

Vẽ bảng biến thiên ta suy ra $f(x)\geqslant f(1)\geqslant 6$

Suy ra $VT(2)\geq 6;VP(2)\leqslant 6$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x=y=1$

Cho đa thức: $P(x)=C_{2009}^{1}+2C_{2009}^{2}(2x)+3C_{2009}^{3}(2x)^{2}+...+2009C_{2009}^{2009}(2x)^{2008}$

Tính tổng của các hệ số bậc lẻ của đa thức đã cho.

Ta có:

$(1+2x)^{2009}=\sum_{k=0}^{2009}C_{2009}^{k}(2x)^{k}$

$(1-2x)^{2009}=\sum_{k=0}^{2009}C_{2009}^{k}(2x)^{k}(-1)^{k}$

Suy ra

$2009(1+2x)^{2008}=\sum_{k=0}^{2009}C_{2009}^{k}k(2x)^{k-1}$

$-2009(1-2x)^{2008}=\sum_{k=0}^{2009}C_{2009}^{k}k(2x)^{k-1}(-1)^{k}$

$\Rightarrow \frac{2009(1+2x)^{2008}-2009(1-2x)^{2008}}{2}=2C_{2009}^{2}(2x)+4C_{2009}^{4}(2x)^{3}+6C_{2009}^{6}(2x)^{5}+...+2008C_{2009}^{2008}(2x)^{2007}$

Vậy tổng của các hệ số bậc lẻ của P(x) là $\frac{2009(1+2.1)^{2008}-2009(1-2.1)^{2008}}{2}=\frac{2009(3^{2008}-1)}{2}$

Đặt ĐK và biến đổi pt trở thành: $4cot^{6}x+3(2-cot^{2}x)^{4}=7(1)$

Đặt t=cot²x (t$\geq$0), pt tro thanh

$4t^{3}+3(2-t)^{4}=7 \Leftrightarrow 3t^{4}-20t^{3}+72t^{2}-96t+41=0 \Leftrightarrow (t-1)^{2}(3t^{2}-14t+41)=0 \Leftrightarrow t=1$

đến đây thay t vào giải dễ rồi

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) sao cho:

$\frac{x^{29}-1}{x-1}=y^{12}-1$

ĐK: $x,y\neq 0$

Hệ đã cho tương đương với

$\left\{\begin{matrix} 4x^{2}+4xy-4y^{2}=20(1)\\ 20x^{2}-25xy-10y^{2}=20(2) \end{matrix}\right.$

Lấy (2) trừ đi (1) ta được

$16x^{2}-29xy-6y^{2}=0(*)$

Đặt $t=\frac{x}{y}$, (*) trở thành

$16t^{2}-29t-6=0\Leftrightarrow [\begin{matrix} t=2\\ t=-\frac{3}{16} \end{matrix}$