Xét tính hội tụ của dãy số sau

$$x_{n}=1+\frac{1}{2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{n\sqrt{n}}$$

$x_{n}=1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^{\frac{3}{2}}}$ là hội tụ vì $\frac{3}{2}>1$ (dãy p)

f(0)=4; f(2)=2; f(5)=6; f'(0)=f'(2)=0
f'(x)>0 khi $\left | x-1 \right | >1$; f'(x) <0 khi $\left | x-1 \right | <1$
f''(x)<0 khi x<1 hoặc $\left | x-4 \right | <1$
f''(x) > 0 khi $\left | x-2\right | <1$ hoặc x>5

đề sai rồi cho a=3,b=5 ,n=2 thì vô lí 

đề phải là b chẵn mới làm được chứ

đã sửa lại đề

UCLN (a,b)=1; b là số lẻ. CMR UCLN($n^{a}+1, n^{b}-1$) $\leq 2$ với mọi số tự nhiên n

bạn chia ra là được 

$\frac{x^{2}+4x+5}{x-1}= \frac{(x-1)(x-3)+2}{x-1}=...$

Tìm miền hội tụ $\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{3n-2}{2n+1} \right )^{n}\left ( x-2 \right )^{n}$

ta có $\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \sqrt[n]{a_{n}} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{3n-2}{2n+1} (x-2)\right |=\frac{3}{2}\left | x-2 \right |$

để hội tụ, suy ra $\frac{-2}{3}< x-2< \frac{2}{3}$

tương đương $\frac{4}{3}< x< \frac{8}{3}$

xét x=$\frac{4}{3}$, dãy phân kì

x=$\frac{8}{3}$, phân kì, suy ra $x\epsilon (\frac{4}{3},\frac{8}{3})$

cách 1; đặt $S=x(1-x)+y(1-y)$

suy ra $P^{2}S\geq (x+y)^{3}$(Holder)

suy ra $P^{2}\geq \frac{(x+y)^{3}}{x(1-x)+y(1-y)}=\frac{1}{2xy}\geq 2$

suy ra P min=$\sqrt{2}$

cach 2

$\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{x^{2}}{\sqrt{x}\sqrt{xy}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{y}\sqrt{xy}}\geq \frac{(x+y)^{2}}{\sqrt{x}\sqrt{xy}+\sqrt{y}\sqrt{xy}}\geq \frac{1}{\sqrt{(x+y)2xy}}= \frac{1}{\sqrt{2xy}}\geq \sqrt{2}$

câu B

1. áp dụng bđt Cauchy Schwarz: $(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}})\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}$ 

do$(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}\geq \frac{9}{4}$ bđt nesbitt

suy ra VT$\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

câu b
bđt tương đương $\frac{a^{2}c}{a+b}+\frac{b^{2}a}{b+c}+\frac{c^{2}b}{a+c}\geq 1/2(ab+bc+ca)$

$\frac{a^{2}c}{a+b}+\frac{b^{2}a}{b+c}=\frac{a^{2}c^{2}}{ac+bc}+\frac{b^{2}a^{2}}{ab+ac}+\frac{c^{2}b^{2}}{bc+ab}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}$
P/S phải là lớn hơnhơn hoặc bằng $\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

ta có $M=\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}$

$\frac{1}{1-ab}-1=\frac{ab}{1-ab}$

suy ra M-3=$\frac{ab}{1-ab}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ac}$

ta có $2M-6=\frac{4ab}{2-2ab}+\frac{4bc}{2-2bc}+\frac{4ca}{2-2ca}=\frac{4ab}{(a-b)^{2}+c^{2}+1}+\frac{4bc}{(b-c)^{2}+1+a^{2}}+\frac{4ca}{(c-a)^{2}+1+b^{2}}\leq \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+c^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+a^{2}+c^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{c^{2}+b^{2}+a^{2}+b^{2}}\leq \frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=3$

suy ra $2M-6\leq 3$

suy ra $M\leq \frac{9}{2}$

$P\leq \sum \frac{ab}{\sqrt{ab+ac+bc+c^{2}}}=\sum \frac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}\leq \sum \frac{1}{2}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})=\frac{1}{2}\sum (\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c})=\frac{1}{2}\sum (a+b+c)=\frac{3}{2}$

$\sum \frac{3y}{x(y+1)}=\frac{x+y+1}{x^{2}(y+1)}+\frac{x+y+1}{y^{2}(x+1)}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{x(y+1)}+\frac{1}{y(x+1)}$

suy ra P=$\frac{1}{x(y+1)}+\frac{1}{y(x+1)}+\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}(2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}))=\frac{3}{2}$

suy ra max = 3/2

có $\sum \frac{1}{x^{3}(y+z)} = \sum \frac{yz}{x^{2}(y+z)}$; và  $\frac{yz}{x^{2}(y+z)} + \frac{y+z}{4yz} \geq \frac{1}{x}$
tương đương với $\frac{yz}{x^{2}(y+z)} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z} \geq \frac{1}{x}$
tương tự, ta thu được : $\sum \frac{yz}{x^{2}(y+z)} \geq \frac{1}{2}(\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{3}{2}$
dấu "=" khi x=y=z=1

Cho mình hỏi tại sao tổng cuối lại bằng 1/2 vậy?

biến đổi đẳng thức thôi

$\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}=\frac{bc}{b+bc+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{ab}{a+1+ab}=\frac{bc}{bc+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{1+bc+b}=1$

$\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{n}=e^{\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\ln n}=e^\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=e^{0}=1$

Ở đây nha: Lim

bài đấy là n!, ở đây là n thôi mà bạn

giải: có 2 cách làm bài này, cách 1 là thay $b^{2}+c^{2}=1-a^{2}$ và tương tự rồi chứng minh

cách 2: $\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}}{ab^{2}+c^{2}a}+\frac{b^{2}}{bc^{2}+a^{2}b}+\frac{c^{2}}{a^{2}c+b^{2}c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab(a+b)+bc(c+b)+ca(c+a)}$

do $2(a+b+c)^{3}\geq 9(ab(a+b)+bc(c+b)+ca(a+c))$

suy ra $P\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{2}{9}(a+b+c)^{3}}=\frac{9}{2(a+b+c)}$

mặt khác $1=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$

suy ra $a+b+c\leq \sqrt{3}$

suy ra $P\geq \frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Dạ cám ơn thầy em không biết rõ lắm

Mong thầy tha lỗi vì em tưởng nhầm là $n\rightarrow \infty$ thì số càng bé không tới $2013$ ạ

dãy này là harmonic series, mình cũng không rõ tên tiếng việt nó là gì

chứng minh dãy này phân kì thì làm thế này: $\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}+\frac{1}{8} > \frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
cứ tương tự như vậy, sẽ được vô hạn các cặp $\frac{1}{2}$ cộng vào nhau nên dãy phân kì 

$\frac{x^{2}(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}= \frac{(\frac{x}{z}+\frac{x}{y})}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\geq 2\frac{(\frac{x}{\sqrt{yz}})}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}= 2\frac{x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$
suy ra vế trái lớn hơn hoặc bằng 2$\sum \frac{x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$
đặt $x\sqrt{x}=a; y\sqrt{y}=b; z\sqrt{z}=c$
có bài toán quen thuôc 
$2(\frac{a}{b+2c}+ \frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b})\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{3ab+3bc+3ca}\geq 2$

Cho dãy số {a_n} được xác định bởi

$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$

Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}-a_{n}}{\sqrt{2n+2}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{2n+2}+\sqrt{2n}}{2a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{2n}}{a_{n}}$

do lim a= lim $\frac{1}{a}$, suy ra lim a =1 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sum a_{n}}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}\left [ (n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n} \right ]}{3n(n+1)+1}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}2n\sqrt{n}}{3n(n+1)}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{\sqrt{2n+2}}\frac{\sqrt{2n+2}2\sqrt{n}}{3(n+1)}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2}{3}\sqrt{2}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Giải:

 

Mình làm ntn có đúng nữa không? Làm bừa..

 

$$L=\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{\sqrt{2(n+1)}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n}$$

 

$$\to L^2=\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{a_n}{\sqrt{2n}}\: \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n} \right )=1\to L=1$$

 

$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \left ( \frac{\sqrt{2n}}{a_n}\: \frac{1}{\sqrt{2n}\left ( (n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n} \right )} \right )=0$$

sử dụng stolz sai ở phần 2 

em chỉ cần đổi lại 1 tí là được $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ suy ra$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

từ đây thì dễ rồi

đề thi toán cao cấp 1

bài 4 $\sum \frac{n+\ln n}{n^{3}+\ln ^{2}n}< \sum \frac{2n}{n^{3}+\ln ^{2}n}< \sum \frac{2n}{n^{3}}=2\sum \frac{1}{n^{2}}$

do $2\sum \frac{1}{n^{2}}$ hội tụ, (p>1), suy ra dãy hội tụ

bài 5

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{1}{5+(n+1)\sqrt{n+1}}(x-2)^{n+1} (5+n\sqrt{n})\frac{1}{(x-2)^{n}}\right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | (x-2)\frac{5+n\sqrt{n}}{5+(n+1)\sqrt{n+1}} \right |=\left | x-2 \right |$

để dãy hội tụ thì $\left | x-2 \right |< 1$

tương đương $1< x< 3$

Xét x=1, dãy tương đương $\sum \frac{1}{5+n\sqrt{n}}(-1)^{n}$ là dãy hội tụ vì đây là alternating series; đi đến 0, và giảm

Xét x=3, dãy tương đương $\sum \frac{1}{5+n\sqrt{n}}< \sum \frac{1}{n\sqrt{n}}=\sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ là dãy hội tụ vì p>1

suy ra $x$ thuộc $\left [ 1,3 \right ]$

Vậy giới hạn $\lim_{x\to \infty} xsin\frac{1}{x}$ thì làm ntn?

$\lim_{x\rightarrow \infty }x\sin \frac{1}{x}$ có dạng $0.\infty$
suy ra $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}= \lim_{x\rightarrow \infty }\cos \frac{1}{x}=1$