Giải PT lượng giác:

$cos3x+11cosx=2(2sin2x+3cos2x+4)$

Giáo viên có 30 bài: 5 khó,10 trung bình và 15 dễ.Hỏi có thể lập được ? đề kiểm tra từ 30 bài trên,mỗi đề 15 bài,trong đề đủ 3 loại bài và số bài dễ $\geq 2$.

Giải các PT:

Giải HPT: $x-\frac{1}{x^{3}}=y-\frac{1}{y^{3}} \\ (x-4y)(2x-y+4)=-36$.

$PT(1)\Leftrightarrow (x-y).\frac{x^{3}y^{3}+x^{2}+xy+y^{2}}{x^{3}y^{3}}=0.$

Cái lằng nhằng phía sau em chưa biết xử lí thế nào.

Giả sử m,n là 2 số tự nhiên sao cho m không có ước nguyên tố $\leq n$.

CMR: $A=(m-1)(m^{2}-1)(m^{3}-1)...(m^{n}-1)\vdots n!$.

bài này ở trong THTT thì phải,mà hình như sai đề

Bài này trong THTT,lâu lắm rồi,cách "mười mấy" tháng . Không có giải,đề sai hay không mình cũng chịu.  Hay bạn CM sai đề đi.

Giải hệ PT:
$\left\{\begin{matrix}x^{3}+2x^{2}-5x-4=\frac{1}{y^{3}} \\ x^{2}+\frac{1}{y^{2}}-x+\frac{1}{y}=2 \end{matrix}\right.$

Giải phương trình:$2x+1+x\sqrt{x^2+2}+(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=0$

$PT\Leftrightarrow (2x+1)+(2x+1)\sqrt{x^{2}+2}+(x+1)(\sqrt{x^{2}+2x+3}-\sqrt{x^{2}+2})=0 \\\Leftrightarrow (2x+1)+(2x+1)\sqrt{x^{2}+2}+(x+1).\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+3}+\sqrt{x^{2}+2}}=0 \\ \Leftrightarrow (2x+1)\left [ 1+\sqrt{x^{2}+2}+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+3}+\sqrt{x^{2}+2}} \right ]=0.\Leftrightarrow x=-1/2.$

CM cái lằng nhằng trong ngoặc dương dễ thôi.Ta đi CM $x> -1$.

Thật vậy: Từ pt đã cho ta thấy nếu $x\leq -1\Rightarrow VT< -2+1+0+0< 0.$ Vô lý nên từ đó có ĐPCM.

Không đưa về đối xứng loại 2 được bạn à.Hình như là phương trình này vô nghiệm .

e/ ĐKXĐ: $x\geq \frac{4}{3}$

$PT\leftrightarrow 75x^2+3x-4-2.\sqrt{3x-4}+1-82x+31=0\Leftrightarrow (75x^2-82x+31)+(\sqrt{3x-4}-1)^2=0$

Xét trong ngoặc: $=75x(x-\frac{82}{75})\geq 75.\frac{4}{3}.\frac{6}{25}>0$

Vậy ptvn.

--------------------------------------------

(Bên lề câu d chút):

Đặt $\sqrt{\frac{2x+1}{5}}=a$

Ta được hpt: $\left\{\begin{matrix} 5x^2+1=2a & \\ 2x+1=5a^2& \end{matrix}\right.$?????

Câu d mình c/m nó vô nghiệm rồi.Câu c mình làm rồi.Bây h chỉ còn a,b,f.

e/ ĐKXĐ: $x\geq \frac{4}{3}$

$PT\leftrightarrow 75x^2+3x-4-2.\sqrt{3x-4}+1-82x+31=0\Leftrightarrow (75x^2-82x+31)+(\sqrt{3x-4}-1)^2=0$

Xét trong ngoặc: $=75x(x-\frac{82}{75})\geq 75.\frac{4}{3}.\frac{6}{25}>0$

Vậy ptvn.

--------------------------------------------

(Bên lề câu d chút):

Đặt $\sqrt{\frac{2x+1}{5}}=a$

Ta được hpt: $\left\{\begin{matrix} 5x^2+1=2a & \\ 2x+1=5a^2& \end{matrix}\right.$?????

tôi cũng đang băn khoăn :/ Bài trong THTT số tháng 7,trang thứ 2 ấy. 

Giải PT:

$2\sqrt{x^{2}-3x+4}+\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x^{2}+16}$

Giả sử f(x) có hệ số nguyên và $0\leq f(c)\leq 2009$ với mọi c thuộc {0;1;2;...;2010}

Hỏi đẳng thức $f(0)=f(1)=f(2)=...=f(2010)$ có đúng không?

Em làm thế này,m.n nói xem sai hay đúng,sai thì sửa hộ em,đúng thì cũng cmt bảo đúng hộ em.

Chọn $f(x)=x(x-1)(x-2)...(x-2010).A(x)$ với A(x) có hệ số nguyên. Suy ra đẳng thức đó đúng.

Giả sử f(x) có hệ số nguyên và $0\leq f(c)\leq 2009$ với mọi c thuộc {0;1;2;...;2010}

Hỏi đẳng thức $f(0)=f(1)=f(2)=...=f(2010)$ có đúng không?

Em làm thế này,m.n nói xem sai hay đúng,sai thì sửa hộ em,đúng thì cũng cmt bảo đúng hộ em.

Chọn $f(x)=x(x-1)(x-2)...(x-2010).A(x)$ với A(x) có hệ số nguyên. Suy ra đẳng thức đó đúng.

Cho a,b,c>0.CMR: $\frac{a+b}{a+7b+c}+\frac{b+c}{b+7c+a}+\frac{a+c}{c+7a+b}\geq \frac{2}{3}$

Bài 1. 

Vì $2x+y\leq 2\Rightarrow y\leq 2-2x$ nên $2x^{2}+y^{2}\leq 2x^{2}+(2-2x)^{2}$

Do đó cần chứng minh $2x^{2}+(2-2x)^{2}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{5}{6}$ (đúng)

Vậy $2x^{2}+y^{2}\leq \frac{3}{2}$

 

Bài 2. 

Theo bđt AM-GM ta có:

$x^{3}+x^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}\geq \frac{3\sqrt{2}.x^{2}}{2}$

$y^{3}+y^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}\geq \frac{3\sqrt{2}y^{2}}{2}$

$\Rightarrow 2(x^{3}+y^{3})+\frac{\sqrt{2}}{2}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

 

Lại có: $x^{2}+y^{2}=1\Rightarrow x^{3}\leq x^{2};y^{3}\leq y^{2}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}=1$

Sao $\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{5}{6}$ lại đúng?

1,Cho $0\leq x\leq y\leq 1;2x+y\leq 2. \\ CMR: 2x^{2}+y^{2}\leq \frac{3}{2}.$

2,Cho x,y,z>0 và $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1. \\ CMR: \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}\geq 2.$

Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1. \\ CMR: \sum \sqrt{1-\frac{(x+y)^{2}}{4}}\geq \sqrt{6}.$

Giải các PT sau:

$a,12\sqrt{x}+2\sqrt{x-1}=3x+9 \\ b, 2008x^{2}-4x+3=2007\sqrt{4x-3}$

P/S: Cố gắng sử dụng cách làm càng đơn giản càng tốt nhé m.n.

Trừ vế:

${\text{PT}} \Leftrightarrow 3{x^2} + 3xy - 6x + 3{y^2} - 6y -5 = 0 \Leftrightarrow (x - y)(3{x^2} + 3xy - 6x + 3{y^2} - 6y + 13) = 0 \Leftrightarrow x=y.$

 

Còn $(3{x^2} + 3xy - 6x + 3{y^2} - 6y + 13)$...

Tính đenta: ${\Delta _x} =  - 27{y^2} + 36y - 120 =  - 3\left[ {{{\left( {3y - 6} \right)}^2} + 4} \right] <0 \forall y$ suy ra cái dài dài kia vô nghiệm

Cái này em hỏi thêm,nếu làm được anh làm luôn hộ em nhá,nó không liên quan cái trên đâu.Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix}3x^{3}-6x^{2}+4x=-9y \\ 3y^{3}-6y^{2}+4y=-9x \end{matrix}\right.$

Giải hệ PT:

$a, \left\{\begin{matrix} x^{2}+1+y(y+1)=4y \\ (x^{2}+1)(y+x-2)=y \end{matrix}\right.$

$b,\left\{\begin{matrix} 3x^{3}-6x^{2}+4x=9y \\ 3y^{3}-6y^{2}+4y=9x \end{matrix}\right.$

P/S: HPT b ai làm cách trừ vế thì giải quyết nốt hộ em PT bậc 2 lằng nhằng phía sau nhé.

bài 1 lúc ra phân số là sao vậy bạn ??? mình vẫn không hiểu

bạn nào giỏi chỉ mình bài 1+2 với thank nhiều nhiều.

 

a,Hằng đẳng thức sau: $a-b=\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}$. OK?

c, Đặt ẩn phụ và tìm mối liên hệ với biến x thôi mà?
b,Cứ mũ 3 lên,thay thế là xong,chứ có gì khó khăn lắm đâu.? :/

chứng minh rằng $\forall x,y,z\epsilon \mathbb{R}+$ thì

$\frac{x^5+y^5+z^5}{xy+yz+zx}\geq xyz$

thank    

CM BĐT sau bằng BĐ tương đương: $3(\sum x^{5})\geq (\sum x^{2})(\sum x^{3}) \\\Rightarrow \frac{\sum x^{5}}{\sum xy}\geq \frac{(\sum x^{2})(\sum x^{3})}{3(\sum xy)}\geq \frac{(\sum xy).3\sqrt[3]{x^{3}y^{3}z^{3}}}{3(\sum xy)}=xyz. (Q.E.D)$

$\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}=2\sqrt{x}+\sqrt{2x+2}$

$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}$

$\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^{2}-4}-2x+2$

em cảm ơn nhiều

$a, PT\Leftrightarrow (\sqrt{2x+2}-\sqrt{x+3})+(2\sqrt{x}-\sqrt{3x+1})=0\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{2x+2}+\sqrt{x+3}}+\frac{x-1}{2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1}}=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1 \\ c, \sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}=a< 0\Rightarrow a^{2}=2x-2\sqrt{x^{2}-4} \\ PT\Rightarrow a=2-a^{2}\Leftrightarrow (a-1)(a+2)=0\Leftrightarrow ...$

$b,PT\Leftrightarrow 4x+2+3\sqrt[3]{(x+1)(3x+1)}(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1})=x-1\Rightarrow 3x+3+3\sqrt[3]{(x+1)(3x+1)(x-1)}=0\Rightarrow x+1=-\sqrt[3]{(x+1)(3x+1)(x-1)}\Leftrightarrow (x+1)^{3}=-(x+1)(3x+1)(x-1)\Leftrightarrow ...$

cho $x,y,z\epsilon \sqsubset 1;2\sqsupset$ .Tìm Max :

$A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

$A=3+\sum_{sym}\frac{x}{y}.$

Không mất tính TQ giả sử $1\leq x\leq y\leq z\leq 2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}\leq 1;\frac{y}{z}\leq 1 \\ \frac{y}{x}\geq 1;\frac{z}{y}\geq 1 \end{matrix}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} (1-\frac{x}{y})(1-\frac{y}{z})\geq 0 \\ (\frac{y}{x}-1)(\frac{z}{y}-1)\geq 0 \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1+\frac{x}{z}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z} \\ 1+\frac{z}{x}\geq \frac{z}{y}+\frac{y}{x} \end{matrix}\right. \\ \Rightarrow A\leq 2+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$

Có : $2x\geq 2\geq z\Rightarrow \frac{x}{z}\geq \frac{1}{2};\frac{z}{x}\leq 2$$z\geq x\Rightarrow \frac{z}{x}\geq 1\Rightarrow (\frac{x}{z}-\frac{1}{2})(\frac{z}{x}-1)\geq 0\Leftrightarrow 1+1/2\geq \frac{z}{2x}+\frac{x}{z}\Rightarrow \frac{z}{x}+\frac{x}{z}\leq \frac{3}{2}+\frac{z}{2x}\leq \frac{3}{2}+2.1/2=\frac{5}{2}$

$\Rightarrow A\leq 3+2+5=10.$

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1,z=2 hoặc x=1,y=z=2 và các hoán vị.