Đặt $  a = x- y   (a < 2)  và b = xy $

Biến đổi phương trình thành:

tính đc góc BHC = 120 độ.  và góc EHC = 60 độ.
 kẻ tia phân giác HN của góc BHC
CM đc tam giác EHC = tam giác NHC (g.c.g)  => HE = HN

tương tự HN = HF
do đó: HE = HF 

áp dụng công thức: $ r =(p-a)tan\frac{A}{2} =(p-b)tan\frac{B}{2}=(p-c)tan\frac{C}{2} $

(tự làm hoặc tra goole nhé ^^!)

$ \Rightarrow p = \frac{r}{tan\frac{A}{2}} + a = \frac{r}{tan\frac{B}{2}} + b = \frac{r}{tan\frac{C}{2}} + c $

$ \Rightarrow 3p = \frac{r}{tan\frac{A}{2}} +  \frac{r}{tan\frac{B}{2}}  + \frac{r}{tan\frac{C}{2}} + a + b + c $

$ \Leftrightarrow 3p = r(\frac{1}{tan\frac{A}{2}} + \frac{1}{tan\frac{B}{2}}+\frac{1}{tan\frac{C}{2}}) + 2p $

$ \Leftrightarrow p =  r(\frac{1}{tan\frac{A}{2}} + \frac{1}{tan\frac{B}{2}}+\frac{1}{tan\frac{C}{2}})   $

Áp dụng công thức S= pr rồi thay p vào ta có:

$ S = r^{2}(\frac{1}{tan\frac{A}{2}} + \frac{1}{tan\frac{B}{2}}+\frac{1}{tan\frac{C}{2}}) $

BE/BC = 2/5

=> BE / CE = 2/3 

bốn điểm A , B , I , C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

=> tứ giác ABIC nội tiếp

=> góc AIB = góc ACB và góc AIC = góc ABC
mà góc ABC = góc ACB

=> góc AIB = góc AIC

=> IA là tia phân giác của góc BIC

theo t/c đường phân giác ta có BI/CI = BE/EC = 2/3

trước hết bạn chứng minh cái này:

$ a^{3}+b^{3}+c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) $

(biến đổi $a^{3}+b^{3} = (a+b)^{3} -3ab(a+b)$    )

từ giả thiết suy ra:

$1-3abc = 1(1-ab-bc-ca)$

$\leftrightarrow 3abc = ab+bc+ca$

lại có:

$1 = (a+b+c)^{2} = a^{2}+ b^{2}+c^{2}+ ab + bc+ ca$

$\rightarrow 1 = 1 + 2(ab+bc+ca)$

$\rightarrow ab +bc +ca = 0$

 do đó

$3abc = ab+bc+ca = 0$

$\rightarrow a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0$

xét a = 0  (b = 0 hoặc c = 0 tương tự )ta có:

b + c = 1

$b^{2} + c^{2} = 1$

$\rightarrow (b+c)^{2} = b^{2} + c^{2} + 2bc = 1$

=> bc = 0

=> hoặc b = 0 hoặc c = 0

.... tự làm tiếp nhé

ta có: $a +b \geq 2$ và $a^{2} + b^{2} \geq 2$

$ A = (a^{2}+b^{2})(a+b)+\frac{8}{a+b} + a^{2}+b^{2}-\frac{4}{a+b} $

$(a^{2}+b^{2})(a+b)+\frac{8}{a+b}\geq 2\sqrt{8(a^{2}+b^{2})} \geq  8$

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab = 2$

$\frac{-4}{a+b}\geq -2$

$\rightarrow A >= 8 + 2 - 2 = 8$

ta có:

Câu b t làm thế này:

ta co: 

$\frac{AB^{2}}{AC^2} =\frac{BH.BC}{CH.BC} =\frac{BH}{CH}$

Câu 1: 

viết lại phương trình như sau:

$\sqrt{4y-1}-\sqrt{2x+1} = 3y+2 -\frac{11x}{5}     (1) $

vì số chính phương ko viết đc dưới dạng 4k+3 nên $\sqrt{4y-1}$  là số vô tỉ

lại có VP của (1) là số hữu tỉ

do đó phương trình có nghiệm nguyên khi :

$\sqrt{4y-1}-\sqrt{2x+1} = 0 $ và $3y+2 -\frac{11x}{5} = 0$

từ đó x = 5 và y = 3

suy nghĩ đi các bạn.!!! đợi đáp án làm gì!!

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant \frac{9abc}{a+b+c}+\left ( c-a \right )^{2}$

biến đổi:

$ M = x^{3} + y^{3} + 2xy = (x+y)^{3} -3xy(x+y) + 2xy = 2014^{3} -6040xy$

Tìm min:

để M $min$ thì $xy$ phải $max$. ta có $xy \leq \frac{(x+y)^{2}}{4}$

do đó min $M = 2014^{3} - \frac{6040.2014^{2}}{4}$

Tìm $max$:

M đạt max thì $xy$ phải $min$

giả sử xy đạt min . ta sẽ chứng  2 số $x,y$ không  đồng thời lớn hơn 1

thật vậy, giả sử $ y \geq x \geq 2$

ta chọn 2 số $x - 1$ và $y+1$  (vì nó có tổng bằng 2014) 

ta có  $(x-1)(y+1) > 0$ và $xy - (x-1)(y+1) = y-x + 1 > 0$

tức là ta tìm đc tích mới nhỏ hơn tích xy , trái với $xy$ min. 

vậy phải có 1 số = 1 và số còn lại bằng 2013

khi đó min $xy$ = 2013

và max $M = 2014^{3}- 6040*2013 $

Ta có:

$M=x^3+y^3+2xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+2xy=2014^3-6042xy+2xy=2014^3-6040xy$

Ta lại có:

$(x+y)^2\geq 4xy\Rightarrow xy\leq \frac{2014^2}{4}$

Do $x,y$ là các số tự nhiên nên $xy\geq 1$

Vậy ta có:

$1\le xy \le \frac{2014^2}{4}\\\Rightarrow -6040\geq -6040xy\geq -1510.2014^2\\\Rightarrow 2014^3-6040\geq 2014^3-6040xy\geq 2014^3-1510.2014^2\\\Rightarrow 2014^3-6040\ge M \ge 2014^3-1510.2014^2$

Bận bịu quá!Làm gấp nên khg chắc!Bạn tự tìm dấu bằng nhé!

sai rồi bạn!! $x + y = 2014$ mà

 bác bỏ 6040 làm cảnh à 

tks bác!! để em sửa. 

ta có:

$z^{2} = xy $

do đó $xyz = z^{3}$

$\rightarrow z^{3} = z + x+ y \geq z + 2\sqrt{xy} = 3z $

$\Leftrightarrow z(z^{2} - 3) \geq 0$

vì $ z > 0 $ nên  $ z^{2} - 3 \geq 0 \rightarrow z \geq \sqrt{3}$

Bạn ơi mình cũng thử qua cách này rồi! Nhưng không được, hệ này thầy mình bảo ra nghiệm vô tỉ. Mình đã thử rất nhiều cách và cũng rất lâu nhưng không tìm ra. ( thầy lấy trong đề thi HSG của mấy tỉnh miền Bắc gì đó. Thầy bảo khi nào tụi mình có hướng đi thì thầy mới sửa )

hì, mình  tưởng nghiệm đẹp nên ko giải nữa   , giờ giải lại thì thấy nghiệm vô tỉ   .giờ t cũng đang nghĩ đây  . khi nào thầy sửa thì nhắn cho t nhé!! t cũng muốn biết thầy giải như thế nào!! 

1) Cho $x+y\geq 1;x>0$ Tìm Min $D=\frac{8x^{2}+y}{4x}+y^{2}$

Em chém bừa vậy   

$D \geq \frac{8x^{2} + 1 - x }{4x} + y^{2} $

xét $x < 1 \rightarrow y > 0 $

do đó: $ y \geq 1- x \rightarrow y^{2} \geq (1-x)^{2}$ 

$\rightarrow  D \geq \frac{8x^{2} + 1 - x }{4x} + (1-x)^{2} $

.....

$ => min D = 1,5$

xét $x >= 1$ thì ta có: $y^{2} \geq 0$ . do đó:

 $D \geq  \rightarrow \frac{8x^{2} + 1 - x}{4x} $

cm đc lúc này $min D = 2$ đạt tại $ x = 1$

suy ra $min$ $D = 1,5$

Chỗ nhân có vấn đề hay sao ấy?Đây nhé:
$(y-x)\geq 1-2x\Rightarrow (y-x)(y+x)\geq (1-2x)(y+x);(y+x)\geq 1\Rightarrow (1-2x)(y+x)\geq 1-2x(????????)$  Biết 1-2x âm dương ra sao?

ukm, t quên. phải xét $x < 1$ và $x >= 1$. sửa rùi đó. xem thử đc hok 

$1$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Cmr $\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\geq \frac{3\sqrt{3}+9}{2}$

Sử dụng phương pháp tiếp tuyến ta tìm được:

$\frac{1}{1-a} \geq \frac{9+6\sqrt{3}}{4}a^{2} + \frac{3}{4} $
(Chứng minh cái này bằng cách khảo sát biến thiên của hàm số)

tương tự với mấy cái kia rồi cộng lại  ta đc dpcm

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm và $a+b+c=3$

Tìm GTNN của $P=\frac{b+c}{2a^2+bc}+\frac{a+c}{2b^2+ac}+\frac{a+b}{2c^2+ab}$

$P \geq \sum \frac{b+c}{2a^{2}+\frac{(b+c)^{2}}{4}} $ 

$\Leftrightarrow P \geq  \sum \frac{3-a}{2a^{2}+\frac{(3-a)^{2}}{4}} $ 

$\Leftrightarrow P \geq  \sum \frac{4(3-a)}{9a^{2}-6a+9}$ 

xét hàm số $g(t) = \frac{4(3-t)}{9t^{2}-6t+9} + t$

chứng minh đc $g(t) \geq \frac{5}{3} $ 

suy ra: $ \frac{4(3-t)}{9t^{2}-6t+9} \geq \frac{5}{3} - t$

do đó: $ P \geq \sum (\frac{5}{3} - a) = 2$

cho $a,b,c,d \in  \mathbb{R}$ thỏa:

$P = a^{6} + \frac{a^{2}b^{2} + ab + 1 }{ a^{2}}$ 

$\Leftrightarrow P = a^{6} + \frac{(ab+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}{a^{2}}$

$\Rightarrow P \geq a^{6} +  \frac{3}{4a^{2}} $

 tới đây áp dụng bđt cô si cho 4 số:  $(\frac{1}{4a^{2}} ; \frac{1}{4a^{2}} ;  \frac{1}{4a^{2}} ; a^{6} )$

ta có $ac= \frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{3}{2}a\frac{1}{\sqrt{2}}c$

$\leq \frac{\sqrt{2}}{3}(\frac{9}{4}a^{2}+\frac{1}{2}c^{2})$

tương tự ta có

ac+bd+cd$\leq \frac{3\sqrt{2}}{4}(a^{2}+b^{2})+$$(\frac{\sqrt{2}}{6}c^{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}cd+\frac{\sqrt{2}}{6}d^{2})+(1-\frac{\sqrt{2}}{3})cd$

$\leq \frac{3\sqrt{2}}{4}+\frac{3\sqrt{2}}{2}+(1-2\sqrt{3})\frac{9}{4}$

hi. mò ra dấu "=" hay thế   !!
đây là cách của t
đặt $y = ac + bd + cd = ac + b(3-c) + c(3-c) = -c^{2} + (a-b+3)c + 3b$

ta có: $ y \leq \frac{-\bigtriangleup }{4a}$ 

hay $y \leq \frac{-(a-b+3)^{2}-12b}{-4}  = \frac{(a+b)^{2}-4ab + 6(a+b)+9}{4} $

ta có: $2ab = (a+b)^{2} - (a^{2}+b^{2}) = (a+b)^{2} - 1$ và $a+b \leq \sqrt {2(a^{2}+b^{2})} = \sqrt {2}$

do đó:

$y \leq  \frac{-(a+b)^{2} + 6(a+b)+11}{4} $

xét $f(t) = \frac{-t^{2} + 6t+11}{4} $ 
từ đó chứng minh đc $y \leq f(t) \leq f(\sqrt {2})= \frac{9+6\sqrt {2}}{4}$  

Cách giải này tự nhiên hơn !!!