bài này Ptôlêmê chi, dùng diện tích cho lẹ

có $2S_{ABCD}= 2(S_{OAB}+S_{OBC}+S_{OCD}+S_{ODA})$

kẻ AH vuông góc với OB tại H $\Rightarrow 2S_{OAB}=AH.OB\leq OA.OB\leq \frac{OA^{2}+OB^{2}}{2}$

cmtt rồi cộng lại được $2S\leq OA^{2}+OB^{2}+OC^{2}+OD^{2}$

dấu "=" khi ....

Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(c+d)^{2}}\geq \frac{1}{ac+bd}$

a=d=1,b=c=2 thì  bđt sai

$a,b,c,d$ dương nên suy ra:

$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(c+d)^{2}}\geq \frac{1}{2(a^{2}+b^{2})}+\frac{1}{2(c^{2}+d^{2})}=\frac{1}{2}(\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{c^{2}+d^{2}})\geq \frac{1}{2}(\frac{4}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}})=$$\frac{2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}\geq \frac{1}{ac+bd}$ 

(Đpcm)

ngược dấu!

$\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+....+\frac{1}{(2n+1)^{2}}<\frac{1}{4}   (n\geq 3)$

từ đánh giá sau dễ dàng có được đpcm $\frac{1}{\left ( 2n+1 \right )^{2}}< \frac{1}{\left ( 2n+1 \right )^{2}-1}=\frac{1}{4n\left ( n+1 \right )}=\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\right )$

ai cần nguyên tố nếu $y^2\vdots x$ mà x ko là scp thì $y^2\vdots x^2$mà

không nguyên tố thì chả có cái định lí nào như thế cả

lấy VD:$6^{2} $ chia hết cho 12 nhưng không chia hết cho $12^{2}$

bài này đi-rích-lê

+)nếu tồn tại $a_{i}$ thỏa mãn $n< a_{i}< 2n thì n< a_{n+2}-a_{i}< 2n$

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)=(a^2b^2+a^2+b^2+1)(c^2d^2+d^2+1+c^2)\geqslant (1+ad+b+c)^2$

Vậy ta cần có $1+ad\geqslant a+d$, điều này có thể giả sử.

$1+ad+b+c$ và $a+d+b+c$ chưa chắc dương

Sai rồi . Bình phương của 4 cũng có chữ số tận cùng là 6

Sai rồi . Bình phương của 4 cũng có chữ số tận cùng là 6

quên mất

nhưng mà ai sửa lại bài viết của mình mà k ns j nhỉ

Bài 5: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: a² + b² + c² = 1. Tìm F_min = ab + bc + 2ca.

là bài này http://diendantoanho...24-minaxy2yzzx/

chắc 2 bạn post bài này là bạn của nhau

Đề bài: Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

 Tìm giá trị nhỏ nhất của  A=xy+2yz+zx

$\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 0\Rightarrow xy+yz+zx\geq -\frac{1}{2}\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )=-\frac{1}{2}(1)$

$\left | yz \right |=\left | y \right |.\left | z \right |\leq \frac{1}{2}\left ( y^{2} +z^{2}\right )\leq \frac{1}{2}\left ( x^{2}+y^{2} +z^{2}\right )=\frac{1}{2}\Rightarrow yz\geq -\frac{1}{2}(2) $

từ (1) và (2) có $ A\geq -1$

dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} y=-z & & & \\ x=0& & & \\ x+y+z=0& & & \end{matrix}\right.$ và $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

<=> $x=0,y=\frac{\sqrt{2}}{2},z=\frac{-\sqrt{2}}{2}$ hoặc $x=0,y=\frac{-\sqrt{2}}{2},z=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Cho a,b là hai số thỏa mãn hệ thức $a^{2}+b^{2}= 1$ , $a^{3}+b^{3}= 1$ . Tính giá trị biểu thức  $T= a^{2005}+b^{2006}$

từ giả thiết $=>a^{2}+b^{2}=a^{3}+b^{3}\Leftrightarrow a^{2}\left ( a-1 \right )+b^{2}\left ( b-1 \right )=0$

mặt khác $a^{2}+b^{2}=1\Rightarrow a\leq 1,b\leq 1$ => $ a^{2}\left ( a-1 \right )+b^{2}\left ( b-1 \right )\leq0$

dấu "=" khi $a=1,b=0 hoặc a=0,b=1$ =>$P=1$

Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số sao cho bình phương của số này là một số có hai chữ số tận cùng là 96

bình phương của số cần tìm có tận cùng là 6 nên số đó có dạng $\overline{a6} $ hoặc $\overline{a4}$ với $a\in N*,1\leq a\leq 9$

có $ \overline{a6} ^{2}=\left ( 10a+6 \right )^{2}=100a^{2}+120a+36\equiv 20a+36 (mod100)\Rightarrow 20a+36\equiv 96(mod100)$

mà $20.1+36=56\leq 20a+36\leq 20.9+36=216$ nên $20a+36=96$ hoặc $20a+36=196$

=> $a=3$ hoặc $a=8$

Tương tự suy ra $a=1$ hoặc $a=6$

Các số cần tìm là $\{14,36,64,86\}$

Cho 2015 số thực dương a_1,a₂,.......,a₂₀₁₅ thỏa mãn

$\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\geq 89$

Chứng minh rắng trong 2015 số trên luôn tồn tại 2 số bằng nhau 

có bên này rồi http://diendantoanho...2-số-bằng-nhau/

giả sử trong 2015 số trên không tồn tại 2 số nào bằng nhau thì $VT\leq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2015}}$

ta sẽ chứng minh $VT<89$

thật vậy có $\frac{1}{\sqrt{k}}< \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$ với mọi $k\in \mathbb{N}$*

$\Rightarrow VT< 2\left [ \left ( \sqrt{2015}-\sqrt{2014} \right )+\left ( \sqrt{2014}-\sqrt{2013} \right )+..+\left ( \sqrt{2}-\sqrt{1} \right ) +\left ( \sqrt{1}-\sqrt{0} \right )\right ]=2\sqrt{2015}-2< 89$ => điều   trái với giả thiết

vậy điều giả sử là sai => KL...

Giải phương trình $2\sqrt {{x^2} - 7x + 10}  = x + \sqrt {{x^2} - 12x + 20}$

giống bài này http://diendantoanho...-xxsqrt2-x10-x/

đặt $x+y=S,xy=P$. đk $S^{2}\geq4P$

từ giả thiết suy ra $S(S^{2}-3P)-3P(S^{2}-2P)+4P^{2}S-4P^{3}=0\Leftrightarrow (S-2P)(S^{2}-SP+2P^{2}-3P)=0$

có $\frac{1}{4}S^{2}-SP+P^{2}=(\frac{1}{2}S-P)^{2}\geq 0,\frac{3}{4}S^{2}\geq \frac{3}{4}.4P=3P => S^{2}-SP+2P^{2}-3P>0$

$\Leftrightarrow S=2P\leq \frac{S^{2}}{2}\Rightarrow S\geq 2$ 

dấu $"=" <=> x=y=1$

những bài đối xứng như thế này thì thường đưa về tổng và tích 

đăng bài này lâu lắm rồi mà chưa có ai giải

đặt $\sqrt[3]{1+7x}=a,\sqrt[3]{2x-1}=b,3\sqrt[3]{x}=c$

suy ra $\left\{\begin{matrix}a+b=c & \\  3(a^{3}+b^{3})=c^{3}& \end{matrix}\right.$

đến đây dễ rồi, nhác giải

Ngược dấu hàng thứ 3 thì phải ?

thật ra là nhầm dấu hàng đầu tiên

ta cm bđt phụ sau $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a) (*)$

BĐT(*)$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geq 2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$ => dễ cm đc = AM-GM

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ (vì $a+b+c=3$)

Bài 1: Tìm các số nguyên x để biểu thức

$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3$ là 1 số chính phương.

bài này kẹp

có $x^{2}+x+3> 0\Rightarrow x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3> x^{4}+2x^{3}+x^{2}=\left ( x^{2}+x \right )^{2}(1)$

Giải hệ : $\left\{\begin{array}{l} x^2-(x+y)y+1=0 \\(x^2+1)(x+y-2)+y=0 \end{array}\right.$

$PT(1)\Rightarrow x^{2}+1=\left ( x+y \right )y$

câu 2.2

tính $x,y$ theo m được $x=\frac{3m^{2}-3m+2}{m^{2}+1},y=\frac{4m^{2}+m+1}{m^{2}+1}$

$x_{0},y^{0}$ là nghiệm của hệ

$\Rightarrow x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-5\left ( x_{0}+y_{0} \right )=x_{0}\left ( x_{0} -my_{0}\right )+y_{0}\left ( y_{0}+mx_{0} \right )-5\left ( x_{0} +y_{0}\right )=x_{0}\left (2-4m  \right )+y_{0}\left ( 3m+1 \right )-5\left ( x_{0} +y_{0}\right )=-3\left ( x_{0} -my_{0}\right )-4\left ( mx_{0} +y_{0}\right )=-3\left ( 2-4m \right )-4\left ( 3m+1 \right )=-10 $ 

$\Rightarrow$ đpcm

1) Xét  $x>y$ thì $\frac{1}{x}< \frac{1}{y}$ 

$(1)\Rightarrow x-y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$

Nên VT>0 và VP<0 (loại)

Tương tự xét $x<y$ thì VT<0 và VT>0 (loại)

Do đó x=y 

Thay vào pt (2) tương đương

$(x^2+x-1)(x-1)=0$

Đến đây dễ rồi nha

x,y chưa chắc dương!