$3. \begin{cases}x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}=x^{2}+y  \\  y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}}=y^{2}+x\end{cases}$

Giải phương trình

$2x^{2}-11x+21-3\sqrt[3]{4(x-1)}=0$

Tìm tất cả các số nguyên a, b, c thoả mãn:

$3^{a}+2^{b}+2015=3(c!)$

Cho x,y,z là các số dương;x^2+y^2+z^2=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

A=$\frac{xy}{z}$+$\frac{xz}{y}$+$\frac{yz}{x}$

Cho a,b,c là các số dương. Tìm GTNN của:

P=(a+b+c)($\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$)

 Bài toán(HONGKONG TST ROUND 2-BẤT ĐẲNG THỨC)

    Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $abc=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$\frac{a^3+8}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+8}{b^3(a+c)}+\frac{c^3+8}{c^3(b+a)}$ 

Đề có phải là như thế này không bạn?

Cho $x, y, z> 0$ thoả mãn $x+y+z=xyz$. Tìm Max:

$P=\frac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$

P/s: Sao mãi không gõ được Latex vậy nhỉ?

Mọi người cho mình hỏi tại sao lại không dùng được trình soạn thảo công thức toán vậy?

Máy mình cũng bị nek, sao không gõ được Latex vậy nhỉ?

$\left\{\begin{matrix} x^{2} + xy - 3x +y=0 & \\ x^{4} + 3x^{2}y - 5x^{2} + y^{2}=0 & \end{matrix}\right.$

Pt(1)$\Leftrightarrow x^{2}+y=3x-xy$(3) 

Pt(2)$\Leftrightarrow (x^{2}+y)^{2}+x^{2}y-5x^{2}=0$(4)

Thay (3) vào (4) ta dc:

$x^{2}(3-y)^{2}+x^{2}y-5x^{2}=0 \Leftrightarrow x^{2}(y-1)(y-4)=0$

Đến đây dễ rồi

Giải pt
2) $x^2+x+12\sqrt{x+1}=36$

ĐK: $x\geq -1$

Pt$\Leftrightarrow 12(\sqrt{x+1}-2)+x^{2}+x-12=0$

$\Leftrightarrow 12.\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+(x-3)(x+4)=0$

$\Leftrightarrow (x-3)(\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}+x+4)=0$

$\Leftrightarrow x=3$ hoặc $\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}+x+4=0$(*)

Mà VT của (*) luôn dương với $x\geq -1$

$\Rightarrow x=3$ là nghiệm duy nhất của pt

CM $\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}+1}} \leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$ với x,y>=0, xy<=1

Ta có:

$\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})^{2}\leq \frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+x^{2}}=1+\frac{1-y^{2}x^{2}}{(1+y^{2})(1+x^{2})}\leq 1+\frac{1-y^{2}x^{2}}{(1+yx)^{2}}=\frac{2}{1+yx}$

$\Rightarrow$ đpcm

Cho $a, b, c> 0$. Tìm Min:

$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}$

1.Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$.

CMR:$\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\geq xy+yz+xz$

Đấy là tài liệu gì vậy ạ

không biết nữa mình lấy từ 1 bài viết bên AoPS

Cho $a,b,c > 0$. Tìm Max

$F = \frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c} + \frac{\sqrt{bc}}{b+c+2a} + \frac{\sqrt{ca}}{c+a+2b}$

Tương tự như bài này

Bạn sử dụng kiến thức trong chương trình phổ cập GD THCS giúm mình với , mình chưa học qua sigma

$\sum a=a+b+c$

Tương tự mấy cái còn lại

1. Cho a,b,c là các số thực dương. Thỏa mãn abc=1. CMR $\frac{a}{(ab+a+1)^{2}} + \frac{b}{(bc+b+1)^{2}} + \frac{c}{(ca+c+1)^{2}} \geq \frac{1}{a+b+c}$

 

2. Cho a,b,c > 0. CMR $\frac{a^{2}}{\sqrt{3a^{2}+8b^{2}+14ab}} + \frac{b^{2}}{\sqrt{3b^{2}+8c^{2}+14bc}} + \frac{c^{2}}{\sqrt{3c^{2}+8a^{2}+14ca}} \geq \frac{a+b+c}{5}$

1.

Áp dụng bđt Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

$\left [ \sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}} \right ](\sum a)\geq (\sum \frac{a}{ab+a+1})$

Mà $abc=1$ nên $\sum \frac{a}{ab+a+1}=1$(chứng minh dễ dàng)

$\Rightarrow đpcm$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

2.

Ta có:

$\sqrt{3a^{2}+8b^{2}+14ab}=\sqrt{(3a+2b)(a+4b)}\leq \frac{3a+2b+a+4b}{2}=2a+3b$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{\sqrt{3a^{2}+8b^{2}+14ab}}\geq \frac{a^{2}}{2a+3b}$

$\Rightarrow VT\geq \sum \frac{a^{2}}{2a+3b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{5(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{5}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $min\left \{ a,b,c \right \}\geq \frac{1}{4}max\left \{ a,b,c \right \}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biếu thức: $P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}$

P/s: Mọi người làm nhanh kẻo trôi ạ      

P/s: ai dịch được không?

8/     $\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$

$VT=\sqrt{3(x+1)^{2}+4}+\sqrt{5(x+1)^{2}+9}\geq \sqrt{4}+\sqrt{9}=5$

$VP=5-(x+1)^{2}\leq 5$

$VT=VP\Leftrightarrow x=-1$

$\left\{\begin{matrix} x^3+3xy^2=-49 & \\x^2-8xy+y^2=8y-17x^2 & \end{matrix}\right.$

Lấy pt(1)+3.pt(2) ta được:

$x^{3}+3xy^{2}+49+3(x^{2}-8xy+y^{2}-8y+17x)=0$

$\Leftrightarrow (x^{3}+3x^{2}+3x+1)+3(x+1)(y^{2}-8y+16)=0$

$\Leftrightarrow (x+1)^{3}+3(x+1)(y-4)^{2}=0$

$\Leftrightarrow (x+1)\left [ (x+1)^{2}+3(y-4)^{2} \right ]=0$

Đến đây dễ rồi

Giải phương trình

$x^{3}+3x^{2}+4x=\sqrt{2x-1}-1$

ĐK: $x\geq \frac{1}{2}$

Pt$\Leftrightarrow (x+1)^{3}+x-\sqrt{2x-1}=0$

$\Leftrightarrow (x+1)^{3}+\frac{(x-1)^{2}}{x+\sqrt{2x-1}}=0$(1)

Vì $x\geq \frac{1}{2}$ nên VT của (1) luôn $> 0\Rightarrow Vô nghiệm$

Cho $a, b, c\geq 0$ thoả mãn $a+2b+3c=4$. CMR: $ab-bc+ca\leq 2$

Giải phương trình: 

$ 16x^2+10x+1=\sqrt{2x+3} $

theo mình thì đề phải là "-" mới đúng 

Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số $\overline{abc}$ sao cho: $\left\{\begin{matrix} &\overline{abc}=n^{2}-1 & \\ &\overline{cba}=(n-2)^{2} & \end{matrix}\right.$ với n là số nguyên lớn hơn 2

$\left\{\begin{matrix} &100a+10b+c=n^{2}-1 \\ &100c+10b+a=n^{2}-4n+4 \end{matrix}\right.$ 

$\Rightarrow 99(a-c)=4n-5\vdots 99$ 

$\Rightarrow 4n-5\geq 99\Leftrightarrow n\geq 26$ 

Từ pt(1)$\Rightarrow n\leq 31$ 

Từ pt(2)$\Rightarrow n\leq 33$ 

$\Rightarrow 26\leq n\leq 31$ Đến đây thay vào là được

Cho 3 số dương $a$,$b$,$c$ thỏa mãn điều kiện: $a+b+c=\frac{1}{abc}$

Chứng minh rằng: $\frac{\sqrt{(1+b^{2}c^{2})(1+a^{2}c^{2})}}{\sqrt{c^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}}}=a+b$

$\frac{\sqrt{(1+b^{2}c^{2})(1+a^{2}c^{2})}}{\sqrt{c^{2}(1+a^{2}b^{2})}}$

Thay $1=abc(a+b+c)$ vào rồi phân tích thành nhân tử