3. Ta có $3x - 7 = 4y \Leftrightarrow y = \frac{3x - 7}{4} \Leftrightarrow 3x - 7 \vdots 4 \Leftrightarrow 3x \equiv 3 (mod4) \Leftrightarrow  x \equiv 1 (mod4)$

             $\Rightarrow x = 4t + 1, y = 3t - 1, t \in \mathbb{Z}$ 

Cho $u_{1} = 1993, u_{n+1} = \frac{u_{n}^2 + 6}{2u_{n} + 1}$. Tìm $limu_{n}$

Psss : không biết có chứng minh được $u_{n} \geq 2$ không nhỉ ? Mắc mãi chỗ đó @@

Gọi tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ là $I$, các tiếp điểm với các cạnh $CB, BA, AC$ lần lượt là $D, E, F$.

Dễ thấy $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $AF = AE = m, CF = CD = n, BD = BE = p$.

Ta có tứ giác $AFIE$ có ba góc vuông $=> r = m$

Ta lại có $(m + n)^2 + (m + p)^2 = (n + p)^2 <=> (m + n)(m + p) = 2np <=> np = 6 $. Mà $n + p = 5 => n = 2$.

Suy ra $r = a = 1$

Nghiệm $x_{1}, x_{2} \geq \frac{-1}{2}$ nên

$x_{1} + x_{2} \geq 2.\frac{-1}{2}$

vô nghiệm thật @@

Điều kiện nghiệm là $x \geq \frac{-1}{2}$

Bình phương hai vế ta có $3x^2 + (4-m)x -1 = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt.

Để hai nghiệm thoả mãn đk trên thì $f(\frac{-1}{2}) \geq 0$ và $\frac{m-4}{3} \geq 2.\frac{-1}{2}$.

Giải rât được $m \geq \frac{9}{2}$

Dư lày hơi dài :v

Đặt $x - \frac{\pi}{4} = \alpha => 3x - \frac{\pi}{4} = 3\alpha + \frac{\pi}{2}$

Ta có $cos \alpha .sin(3\alpha + \frac{\pi}{2}) = cos\alpha (sin3\alpha .cos\frac{\pi}{2} + cos3\alpha .sin\frac{\pi}{2}$

                                                                       $= cos\alpha .cos3\alpha$  

                                                                       $= cos^2\alpha (4cos^2\alpha - 3)$

Lại có $cos^2\alpha = (sinx.sin\frac{\pi}{2} + cosx.cos\frac{\pi}{2})^2 = \frac{1}{2} + sinx.cosx$

           $=> cos^2\alpha (4cos^2\alpha - 3) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} sin2x)(2sin2x -1) = sin^22x + \frac{1}{2}sin2x -\frac{1}{2}$

           $=> cos(x - \frac{\pi}{4}) .sin( 3x - \frac{\pi}{4}) = sin^22x + \frac{1}{2}sin2x -\frac{1}{2}$

Suy ra $1 - \frac{1}{2} sin^22x + sin^22x + \frac{1}{2}sin2x -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = 0 <=> sin2x = 1 <=> x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$

Đáp án là $x = \frac{1}{7}$ nha bạn

Nên chia ra làm 2 trường hợp là có một số bằng 0 và không có số nào bằng 0 thì chắc hơn !

Mình nghĩ nếu làm được hai câu trên thì câu dưới cũng làm được mà.

Đặt $f(x) = ( 2 + x + 2x^{3} )^{15}$

a, $S = f(1) = 5^{15}$

b, $a_{0} = 2^{15} \rightarrow S = 5^{15} - 2^{15}$

c, $a_{45} = 2^{15} \rightarrow S = 5^{15} - 2^{16}$

Thôi làm nhanh cho nó lành.

Gọi hình chiếu vuông góc của A lên BC là H $\rightarrow BH = 12 cm, CH = 16 cm$.

Vì $\widehat{B} = 60^{\circ}$ nên $\frac{BH}{BA} = \frac{1}{2} \leftrightarrow AB = 24 cm$.

Áp dụng định lí Py-ta-go cho $\Delta ABH$ ta tính được $AH = 12\sqrt{3}$. Cũng tính được $AC = 6\sqrt{21}$.

Dùng tỉ số lượng giác của tam giác thì tính được các góc, dùng diện tích để tính chiều cao các cạnh tương ứng.

Không biết có sai không. Mấy bạn ngồi im mãi mình thấy sợ T~T

đưa lên top lại đã 

$\leq$ chứ bạn ?

2011 là số nguyên tố nên $a = 2011^{x}, b = 2011^{y}$

Do $x + y = 2012$ nên x, y cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Vì $2011 \equiv -1 (mod2012)$ nên $a + b$ chia 2012 dư 2 hoặc -2

có linh cảm chẳng lành :v chẳng lẽ lại giải theo cacha củ chuối này

Chưa làm được cho bác nhưng cứ gõ lại cái đề cái đã !

1. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn $a + b + c \geq ab + bc + ca$. Chứng minh $\sum \frac{a^{2}}{a + b^{2}} \geq \frac{a + b + c}{2}$

2. Cho các số thực $a, b, cabc \leq 0$ và $a + b + c = 0$. Tìm GTNN cùa

                                            $P = (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})(1 - ab - bc - ac) + \frac{12abc - 8}{ab + bc + ca}$

Không phải là mỗi pt có dạng $a + \frac{1}{a}$, đặt đk rồi quy đồng là dc à ?

Bài làm từ một thanh niên nát toán, khuyến cáo không nên dùng cách này :v

Gọi giao của NG, CG với AB lần lượt là E, X; của BG với AC và CD là Y và Z.

Áp dụng Ta-let cho $\Delta NGC$ ta có $EX= \frac{NC}{2}$ , suy ra $\frac{AX}{XB} = \frac{5}{7}$                                                        (1)

Tương tự cho $\Delta CYZ$ ta có $\frac{CY}{YA} = \frac{CZ}{AB} = \frac{2XB}{AB} $(Ta-let cho $\Delta GZC$) = $\frac{7}{6}$           (2)

Do I là giao AG và ND nên I nằm trên đoạn BC

Vì AI, CX, BY đồng quy tại G nên theo định lí Ceva ta có

$\frac{AX}{XB}. \frac{BI}{IC}. \frac{CY}{YA} = 1$                                                                                                                                     (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra $\frac{BI}{IC} = \frac{6}{5}$ suy ra $\frac{BC}{BI} = \frac{11}{6}$  

P/s : cách giải củ chuối này mà cũng ngốn 1 tiếng @@ lo cải thiên thôi :v Chiu khó tự vẽ hình nhá bạn.

cảm tạ đại nhân !

Với $ab+4 \leq  2b$, tìm max của $\frac{ab}{a^{2}+2b^{2}}$

Cho đường tròn (O), B,C nằm trên đường tròn sao cho BC không là đường kính. Chứng minh tồn tại duy nhất một điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho $\frac{MB}{MC} = k$, k là số thực dương.

P/s : Mình đang làm một bài toán chứng minh thẳng hàng thì gặp phải vấn đề này mà không biết nó đúng hay không nên tạo bài chứng minh này, nếu thiếu sót chỗ nào mong mọi người chiếu cố (~^ ^)~

Cho a,b,c > 0. CM $\frac{(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)}{abc(a+b+c)^{3}} \geq \frac{8}{27}$

áp dụng schwart  và ta có $xy\geq 4

Giải theo cách củ chuối này được không nhỉ ?

Ta có $5x^{2} + 7y^{2} \geq 10xy + 2y^{2} \geq 40 +2y^{2} \geq 8y +32$

Suy ra

    A = $\frac{1}{5x^{2} + 7y^{2}} + \frac{1}{5y^{2} + 7x^{2}} \leq \frac{1}{8x+32} + \frac{1}{8y+32}$

Mà $\frac{1}{8x+32} \leq \frac{1}{9}(\frac{1}{8x} + \frac{4}{32})$

  => A $\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{4} + \frac{1}{8x} + \frac{1}{8y}) \leq \frac{1}{9}(\frac{1}{4} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{24}$

A đạt GTLN tại x=y=2

Cho a,b,c,d >0, a+b+c+d=1. Tìm GTNN $\sum \sqrt[9]{(\frac{a}{b+c+d})^{10}}$

Hầy, chán thế, dễ mà..

Ta có

$9(\frac{a}{b+c+d})^{\frac{10}{9}}+1 \geq 10.\frac{a}{b+c+d}$

Từ đó giải ra thôi ..

Với x,y,z>0, x+y+z=3, chứng minh : $\sum \frac{y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}} \geq 1$

Cho a,b,c,d >0, a+b+c+d=1. Tìm GTNN $\sum \sqrt[9]{(\frac{a}{b+c+d})^{10}}$