Cho các số không âm a,b,c sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. CMR:

$\frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}} + \frac{1}{b^{2}-bc+c^{2}} + \frac{1}{c^{2}-ca+a^{2}} \geqslant \frac{12}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{5}-y^{5}-xy=32$

Cho tam giác $ABC$. CMR: $\sum \left ( \frac{1}{sinA}-cotA \right ) \geq \sqrt{3}$

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$a) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}\geq a+b+\frac{4(a-b)^2}{a+b}$

$b) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$ 

Theo giả thiết: $1=x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \Rightarrow xy+yz+zx=x^2+y^2+z^2-\frac{1}{x+y+z} $

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-2(x^2+y^2+z^2)+\frac{2}{x+y+z}$

$\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2) = (x+y+z)^2+\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+z} \geq 3 \Rightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 1 $

Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x+y+z=1 $ và $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có các đường cao $AD$,$ BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. $I$ là trung điểm $BC$. $IH$ cắt $EF$ tại $G$. $GD$ cắt $(O)$ tại $J$. CMR: $JA$ là phân giác góc $FJE$

Cho $a,b > 0$. Tìm $Min$ của $P=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a+b+1}$

Bài này phải có thêm điều kiện của a b nữa chứ vd như a+b hay ab chẳng hạn

Cô mình chỉ cho như thế thôi bạn.... 

sorry bạn mình nhầm giải đc nhưng thay vì trình bày cụ thể m sẽ chỉ cho bạn mẹo làm

từ phương trình thì ta thấy vai trò của a,b như nhau => dấu bằng 99% sẽ xảy ra khi a=b=x(x  là một số nào đó bí ẩn  

ta biến đổi pt như sau để có dấu bằng xảy ra tại a=b=x

A=$\frac{a}{x^{2}}+\frac{1}{a}+\frac{b}{x^{2}}+\frac{1}{b}+(1-\frac{1}{x^{2}})(a+b+1)+\frac{1}{a+b+1}-(1-\frac{1}{x^{2}})$

khi đó thì theo dấu bằng $(1-\frac{1}{x^{2}})(a+b+1)=\frac{1}{a+b+1}$  (1)

khi đó ta sẽ có thể tìm đc x bằng cách thay a=b=x vào pt (1) rồi giải ra nghiệm bn rồi quay ngược lại thế x vào rồi làm y như trên là tìm đc min

Cảm ơn bạn nhiều nha... Mà việc giải ra được cái pt theo $x$ ấy mình thấy có vẻ rất rắc rối ( 

Cho $0\leq x\leq 1$. CMR: $x(9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2}) \leq 16$

Cho $a,b,c>0$. CMR: $\sqrt{\frac{bc}{a(3b+a)}}+\sqrt{\frac{ac}{b(3c+b)}}+\sqrt{\frac{ab}{c(3a+c)}}\geq \frac{3}{2}$

ĐK: $x \geq \frac{1}{2}$

Cho tam giác $ABC$. Dựng bên ngoài tam giác $ABC$ các tam giác đều $BCM$, $CAN$, $ABP$. Chứng minh $AM$, $BN$, $CP$ đồng quy.

$x^2+3=(2x+1).\sqrt{x+3}$

Cho $a,b,c>0$. CMR: $\sum \frac{a^4}{a^3+b^3} \geq \frac{a+b+c}{2}$

\[a, b, c> 0\]

\[a+ b+ c= 1\]

CM: \[\sqrt{1+ \frac{a}{bc}}+ \sqrt{1+ \frac{b}{ca}}+ \sqrt{1+ \frac{c}{ab}}\geq 6\]

$\sum \sqrt{1+\frac{a}{bc}} = \sum \sqrt{\frac{a+bc}{bc}} = \sum \sqrt {\frac{(a+b)(a+c)}{bc}} \geq 3\sqrt[3]{\prod \sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{bc}}}=3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\geq3\sqrt[3]{8}=6$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Tìm $x,y \in \mathbb{N}$ thoả mãn $y^4+4 \vdots 85^x$

CMR $(x^2+y^2+z^2)^2>=3(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)$ với $x,y,z \in R$

Cho các số $a,b,c$ không âm và không có 2 số nào đồng thời bằng 0. CMR:
$(a^3+b^3+c^3+3abc)^2\geq4(\sum ab)(\sum a^2b^2)$

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:

$\sum \frac{a^3(a+b)}{a^2+b^2} \geq a^2+b^2+c^2$

Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{1}{2a+b+c} +\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c} \leq \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}$

Cho $a,b,c>0$. CMR: $\sum \frac{1}{2a+b+c} \leq \sum \frac{1}{a+3b}$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=1$. CMR:

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq4(a+b+c-abc)$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+y=z^2\\ x=2(y+z)\\ xy=z+1\\ \end{matrix}\right.$

Thay PT(2) vào PT(1): $2(y+z)+y=z^2$, suy ra $y=\frac{z^2-2z}{3}$. 

Thay vào PT(3):

$$2(\frac{z^2-2z}{3})(\frac{z^2-2z}{3}+z)=z+1$$

$$2(z^2-2z)(z^2+z)=9(z+1)$$

$$(z+1)(2z^3-4z^2-9)=0$$

Từ đây giải được $x,y$.

cho mình hỏi cái 2z^3-4z^2-9=0 xử lí sao vậy bạn?