không biết đúng không nhé : 

$lim \frac{1}{x^{2}}-lim\frac{1}{x^{2}}.lim\frac{sinx}{x}=lim\frac{1}{x^{2}}-lim\frac{1}{x^{2}}$

Vì $lim \frac{sinx}{x}=1$ mà , $x->0$ nhé

Chưa biết đúng sai như thế nào. Nhưng theo mình, bài của bạn 0 điểm.

Bạn mắc một lỗi rất cơ bản, $\lim(u+v)=\lim u + \lim v$, khi và chỉ khi $\lim u$ và $\lim v$ là HỮU HẠN. ( Xin lỗi vì mình không viết biến số tiến tới đâu, lười ý mà ^^)

Bài này để "tránh" dùng L'Hospital, có thể dùng chính định nghĩa đạo hàm, được viết trong SGK 11. Bạn nào chém nốt đi nhé

Mình đang bí đoạn chứng mình $u_n>\frac{1}{3}$ bạn ạ, bạn có thể giải ra cụ thể cho mình được không?

Bạn quy nạp $u_n<1$ nữa là được.

Ban oi giai lam sao nua. Minh moi hoc. khong lam duoc.

Bạn đặt $h(t)=k(t).t^{\log_23}$ là ra được. Vì sao đặt như vậy thì do đặc trưng hàm $f(x.y)=f(x)f(y)$ có đặc trưng hàm là $f(x)=x^a$, từ đó suy ra phép đặt kia.

Chuyên Phan Ngọc Hiển chuyên cho kiểu cấp số cộng, cấp số nhân thì phải

Tìm giới hạn của dãy sau:

$u_1=\frac{1}{2}, u_{n+1}=\frac{4}{3}u_n-u_n^{2}$

Dạng $x_n=f(x_{n-1})$ quen thuộc. Bài này bạn có thể quy nạp cho $u_n>\frac{1}{3}$. Sau đó chứng minh dãy đã cho là dãy giảm ( chứng minh $u_{n+1}<u_n$). Rồi lấy giới hạn là ra thôi.

Cũng có thể xét $f(x)=\frac{4}{3}x-x^2$, tuy nhiên cách trên đơn giản hơn.

Tim cac ham so f thoa man:

$f(2x+1)=3f(x)$ moi x

Hướng giải: 

Đặt $x=t-1$, rồi đặt $f(t-1)=h(t)$, suy ra $h(2t)=3h(t)$, đây là phương trình dạng quen thuộc.

Bài dãy chỉ cần để ý rằng 

$$\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{\left ( 2n-1 \right )\left ( 2n+1 \right )}=\frac{1}{2}\left (  -\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1} \right ) \Longrightarrow S_n=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{2n+1} \right )$$

 

 

bài 2: cho dãy số (xn) được xác định bởi

$\left\{\begin{matrix} x_{1}=1\\ x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}+4x_{n}+1}{x_{n}^{2}+x_{n}+1}\\ \end{matrix}\right.$

$\forall n\geq 1$

chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

 

bài 3: cho dãy số (xn) được xác định bởi

$\left\{\begin{matrix} x_{1}=2011\\ x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}+(1-n)x_{n}+n^{2}+n+1}{n+1}\\ \forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$

đặt$y_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+x_{k}}$ chứng minh dãy số (yn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Bài 3: Biến đổi về dạng $$(n+1)(x_{n+1}-(n+1)) =(x_n+1)(x_n-n)$$

Bài 2: Sử dụng phương pháp hàm lặp, tìm CTTQ rồi chuyển qua giới hạn.

Cái này anh cũng gặp mấy lần rồi.

Có nghĩa là khi làm như vậy, em đã mặc định cho điều kiện của nó mà không để ý đến các biến $b;c$.

Theo anh, chỉ làm được như vậy khi biến $a$ là độc lập với $b;c$. Tức là, 3 biến hoàn toàn không liên quan đến nhau bằng quan hệ gì cả.

Thêm nữa, nếu làm như em thì rất nhiều bài toán rất khó trở nên tầm thường.

Cuối cùng cũng đã ra .
Coi biểu thức trên là hàm số theo biến $b$ với $b\in [0;2]$ còn $a,c$ là hằng số ta có:
$f(b)=2b^2+(a^2+3c^2-2a-24c+2060)$
có $f'(b)=4b\geq 0$ nên hàm số đồng biến nên :$f(0)\leq f(b)\leq f(2)$
 

Bài này có vẻ không ổn, vì $a;b;c$ ràng buộc với nhau bởi điều kiện $a+b+c=3$ nên không thể xét hàm riêng lẻ như vậy được.

Bước cuối có thể dùng BĐT Cauchy - Schwarz chắc nhàn hơn  

$$x^3+y^3 \geq \frac{\left ( x^2+y^2 \right )^2}{x+y} \geq \frac{\left ( \frac{(x+y)^2}{2} \right )^2}{x+y}=\frac{(x+y)^3}{4}$$

Cũng có thể chứng minh trực tiếp bằng Holder.

Chú ý là $x+y \geq 2$. 

Bài 1: (Belarus 2001) Cho $a>0$ và $n\in \mathbb{N^*}$, chứng minh rằng $$a^n+\frac{1}{a^n}-2 \geq n^2\left ( a+\frac{1}{a}-2 \right )$$

Bài 2: (Czech MO 2000) Cho $a;b >0$, chứng minh rằng $$\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}} \leq \sqrt[3]{2(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )}$$

Bài 1 có thể dùng hàm lõm hoặc phương pháp $UCT$ để chứng minh.

1) Cho $a,b,c$ dương. CMR : $\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(a+c)^3}\geq \frac{3}{8}$.

 

Lời giải:

$\bullet$ Trước tiên, thực hiện phép đổi biến $$\left ( \frac{b}{a} ; \frac{c}{b};\frac{a}{c} \right ) \to \left ( x;y;z \right ) \Rightarrow xyz=1$$

Viết lại điều phải chứng minh dưới dạng $$\sum \frac{1}{\left ( 1+a \right )^3} \geq \frac{3}{8}$$

$\bullet$ Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có đánh giá 

$$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{8} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(1+a)^6.8}} =\frac{3}{2}.\frac{1}{(1+a)^2}$$

Điều phải chứng minh trở thành $$\sum \frac{1}{(1+x)^2} \geq \frac{3}{4}$$

Do tính đối xứng của BĐT, ta giả sử $xy \geq 1$.

Chứng minh bất đẳng thức phụ sau $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2} \geq \frac{1}{1+xy} \ \ \forall xy \geq 1$

Bài toán đưa về chứng minh $\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2} \geq \frac{3}{4}$. Điều này đúng. 

Vậy ta có đpcm.

Thực ra bài $(1)$ có thể thông qua bài toán tìm hàm $f: R \to R$ thỏa $f(x+1)=f(x)$ thì có vẻ đơn giản hơn

Cảm ơn bạn nha .

 

Tim: $\lim_ {x\to{1}}{\dfrac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}}$

Tim:  [TeX]\lim_ {x\to{1}}{\dfrac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}}[/TeX]

Lời giải: 

$$\lim_{x\to 1}\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\lim_{x\to 1}\frac{\left(x^{100}-1\right)-2\left(x-1\right)}{\left(x^{50}-1 \right)-2\left( x-1 \right) } = \lim_{x \to 1}\frac{x^{99}+x^{98}+........+1-2}{x^{49}+.......+1-2}=\frac{49}{24}$$

Đây là tài liệu tổng hợp nhỏ của mình gồm hơn 20 bài toán dãy số lấy từ đề đề nghị của các trường năm 2012. Mọi người làm rồi chúng ta cùng thảo luận nhé

Cái mình thắc mắc là dự đoán số $\frac{3}{2}$ như thế nào ?

Bài viết hay quá ạ Latex rất đẹp nữa

Sửa điều kiện thành không âm được không nhỉ

Ở đấy làm gì có chứng minh định lí đâu