Đề chính thức          

b, $\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=\frac{x+3}{5}$.

                                                                     

PTTĐ $<=> (x+3)(\frac{1}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}}-\frac{1}{5})=0$

2, Từ giả thiết $a+b>c$, $b+c>a$ , $c+a>b$ , mà a+b+c=2 => $0<a,b,c<1$ <=> $(1-a)(1-b(1-c)>0$

<=> $1>a+b+c-(ab+bc+ca)+abc$

<=> $2>2(a+b+c)-2(ab+bc+ca)+2abc$

do a+b+c=2 => $2>(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)+2abc$ 

=> $2>a^2+b^2+c^2$ (đ.f.c.m) 

Giải các phương trình sau đây:

 

1. $x^{4}+\sqrt{x^{2}+1999}=1999$

 

2. $\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{35}{12}$

 

3. $x^{2}-x-1000.\sqrt{1+8000x}=1000$

1 , PTTĐ $<=>(x^2+\frac{1}{2})^2=(\sqrt{x^2+1999}-\frac{1}{2})^2$

Dễ thấy $a^3+b^3+c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}{9}=3$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Thay $a=3$,$b=c=0$ $\Rightarrow a^3+b^3+c^3=27>9$

Chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a+b+c)^3}{9}$ kiểu gì hả anh ??????? 

g/$\frac{x^{2}}{(x+2)^{2}}=3x^{2}-6x-3$

PTTĐ $(x^2-6)(3x^2+6x+2)=0$

Từ Hệ bạn đầu ta có : 

$\left\{\begin{matrix} (1+y^2)+x(x-2y)=5x & \\ (1+y^2)(x-2y-2)=2x & \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix} \frac{1+y^2}{x}+(x-2y)=5 & \\ \frac{1+y^2}{x}(x-2y-2)=2 & \end{matrix}\right.$

Sau đó đặt $\frac{1+y^2}{x}=a,x-2y-2=b$ có hệ $\left\{\begin{matrix} a+b=3 & \\ ab=2 & \end{matrix}\right.$

Không đặt ẩn phụ ,làm chay luôn

PT đầu
$\Leftrightarrow (2\sqrt{x^{2}+1}-1)(\sqrt{x^{2}+1}-2y^{2}+1)=0$ 
tới đây là oke rồi
phần còn lại nhường cho bạn

Làm thế nào mà bạn phân tích phương trình đầu như thế này vậy @@  ?? 

Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^2=y+1\\ y^2=z+1\\ z^2=x+1 \end{matrix}\right.$

Đây là hệ hoán vị vòng quanh nên ta giả sử x>y ,x<y,x=y . Các Th còn lại tương tự 

TH1 : $x>y => x^2>y^2 <=> y+1>z+1<=>y>z$ Lại có Từ HPT $x+1>y+1 => z^2>x^2 <=>z>x$ . Từ đó ta có $z>x>y>z$ (vô lý) 

TH2 : $x<y$ .Cm tương tự ta có điều này k thể xảy ra 

TH3 : $x=y$ . Khi đó $x^2-x-1=0$. giải ra có $x=y=z=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Câu 3: Giải hệ 

                 $\left\{\begin{matrix} x^3+x^2-y^2=4-3x\\y^3-3x^2+3y^2=4-3y \end{matrix}\right.$

 

Trừ 2 phương trình của hệ ta có :$x^3-y^3+x^2+3x^2-y^2-3y^2=-3x+3y$ $<=>(x-y)(x^2+xy+y^2)+4(x-y)(x+y)+3(x-y)=0$ $<=>(x-y)(x^2+xy+y^2+7x+y)=0$  

Câu 2b .gợi ý:

ta có  : $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-4x+6$

ta có $y=(x-2)^2+2$$\geq 2$ đáu bằng xyả ra khi $x=2$

lại có $2(x-2+4-x)\geq (\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})^2<=>\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\leq 2$.

Giúp mình tiếp

PTTĐ

$<=> \frac{2(x+2)}{\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{2x^2+2x+3}}=\frac{-2(x+2)}{\sqrt{x^2-3x-2}+\sqrt{x^2-x+2}}$

$<=> \frac{2(x+2)}{\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{2x^2+2x+3}}+\frac{2(x+2)}{\sqrt{x^2-3x-2}+\sqrt{x^2-x+2}}=0$

$<=> \frac{(x+2)}{\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{2x^2+2x+3}}+\frac{(x+2)}{\sqrt{x^2-3x-2}+\sqrt{x^2-x+2}}=0$

$<=> (x+2)\left [ \left \frac{1}{\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{2x^2+2x+3}}+\frac{1}{\sqrt{x^2-3x-2}+\sqrt{x^2-x+2}} \right ]=0$

 

Bài 3:

1.Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $6x^{2}-5xy+25y^{2}-221=0$

............................................................................................................................................................

 

 

Phương trình $<=>(2x+5y)(3x-5y)=13.17$

2a ) với m=2 thì hệ $<=>\left\{\begin{matrix} x-2y=5 & \\ 2x-y=7 & \end{matrix}\right.$ .từ đó : $\left\{\begin{matrix} x=3 & \\ y=-1 & \end{matrix}\right.$

b, Hệ <=> $\left\{\begin{matrix} (m-1)x-my=3m-1 & \\ 2mx-my=m^2+5m & \end{matrix}\right.$

<=>$-(m+1)x=-(m+1)^2$

$m\neq -1=>x=m+1$ .Lại có đk $x>0=>m>-1 . Từ đó $m>-1$

thay $x=m+1$ vào phương trình dưới ta có $y=m-3$.lại có đk y<0 => $m<3$ 

Kết luận : $-1<m<3$

p/s : không biết đúng k ??? 

Câu 2b :

gợi ý : ta có $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ => $x^2+2=(x+1)+(x^2-x+1)$ 

Trước hết ta luôn có : Trong n (n>1) số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chia hết cho n (1) 

Từ đó với 19 STN liên tiếp bất kì luôn tồn tại 10 số liên tiếp có chữ số hàng chục như nhau ,các chữ số hàng đơn vị có giá trị từ 0 -> 9 

Vì thế tổng các chữ số của mỗi số trong 10 số này cũng tạo thành dãy số gồm 10 STN liên tiếp =>(1) =>  tồn tại 1 số chia hết cho 10 

Đặt $S=x+y,P=xy$ ta có hệ : $\left\{\begin{matrix} S^2-2P-P=19 & \\ S+P=-7 & \end{matrix}\right.$

                                            $<=>\left\{\begin{matrix} S^2-3P=19 & \\ P=-7-S & \end{matrix}\right.$

                                            $<=>\left\{\begin{matrix} S^2+3S+2=0 & \\ P=-7-S & \end{matrix}\right.$

                                            $<=>\left\{\begin{matrix} S=-1 & \\ P=-6 & \end{matrix}\right.$ hoặc $<=>\left\{\begin{matrix} S=-2 & \\ P=-5 & \end{matrix}\right.$

đến đây thì đơn giản hơn rồi  

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C', đáy ABC là tam giác vuông, cạnh huyền BC bằng 2a$\sqrt{3}$. góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt đáy (ABC)= 60.

1. Tính thể tích hình lăng trụ.

2. tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ và thể tích khối trụ tương ứng,

Bạn ơi đây là topic THCS mà bạn bạn có thể sang topic THPT để post bài này 

5) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & & \\ a+b+c\leq \frac{3}{2} & & \end{matrix}\right.$. Tìm Min $S=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Ta phân tích thành : $(a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1}{b})+(c+\frac{1}{c})=(4a+\frac{1}{a})-3a+(4b+\frac{1}{b})-3b+(4c+\frac{1}{c})-3c \geq 2.2+2.2+2.2-3(a+b+c)=12-\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$

dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

Gợi ý : 

Từ pt (1) ta có $2x^2+x(y-5)-y^2+y+2=0$ 

$\Delta =(y-5)^2-4.2(-y^2+y+2)=9(y-1)^2=[3(y-1)]^2$

..........

Cho pt : $(m-1)x^2-2(m-2)x+m+1=0$ . Tìm m để pt có 2 nghiệm thỏa mãn $\frac{x_{1}^{4}}{x_{2}^{4}}+\frac{x_{2}^{4}}{x_{1}^{4}}\leq 2$

Mình nghĩ thế này : Đặt S=x+y , P=xy ta có : $\left\{\begin{matrix} S^2-P=m & \\ S=m & \end{matrix}\right.$

<=.>$\left\{\begin{matrix} S=m & \\ P=m^2-m & \end{matrix}\right.$

=> x,y là nghiệm của pt : $X^2-mX+m^2-m=0$$X^2-mX+m^2-m=0$(1)

Để hệ có nghiệm => (1) có nghiệm <=> $\Delta =-3m^2+4m\geq 0 <=> 3m^2-4m\leq 0<=> m(3m-4)\leq 0$

Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x^3+y^3=x-y.$ Chứng minh: $x^2+y^2<1.$

Ta có : $x-y=x^3+y^3>0 => x>y>0$

$<=>$ $x-y=x^3+y^3>x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

$=>$ $1\geq x^2+xy+y^2=> x^2+y^2\leq 1$

Đặt $t=-y$ ta có hệ phương trình mới với ẩn t ,y $\left\{\begin{matrix} -ty+t+y=-3 & \\ t^2+y^2+t+y-ty=6 & \end{matrix}\right.$

Đặt $S=x+y$ , $P=xy$ có hệ $\left\{\begin{matrix} S-P=-3 & \\ S^2-3P+S=6 & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} P=S+3 & \\ S^2-2S-15=0 & \end{matrix}\right.$ 

$<=>$$<=>\left\{\begin{matrix} S=5 & \\ P=8 & \end{matrix}\right.$ hoặc $<=>\left\{\begin{matrix} S=-3 & \\ P=0& \end{matrix}\right.$

......

$(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})(x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3})=2x$

PTTĐ $<=>(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1})(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})(x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3})=2x(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1})$

$<=>2(x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3})=2x(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1})$

$<=>x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3}=x(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1})$

Đến đây ta đặt u=$\sqrt{x+3}$ v=$\sqrt{x+1}$ ta có pt mới: $x^2+uv=xu+xv <=> (x-u)(x-v)=0$ 

......

Cách khác : Lấy PT(1) + PT(2) ta có $(x+y-2)(3x+y-1)=0$ 

1,Cho Tam giác ABC có 3 cạnh là a,b,c . CM: a,$\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}\geq \frac{\pi }{3}$

2, cho tam giác $ABC$ . Chứng minh với mọi p,q sao cho p+q=1 thì $pa^2+qb^2\geq pqc^2$