Tính $\lim\frac{n^{4}+4^{n}}{n+4^{n+1}}$

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1 & \\ u_{n+1}=\sqrt{u_{n}\left ( u_{n}+1 \right )\left ( u_{n}+2 \right )\left ( u_{n}+3 \right )+1},\forall n\in \mathbb{N}^{*} & \end{matrix}\right.$

Đặt $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{u_{i}+2}$

Tính $\lim S_{n}$

Cho khai triển: $\left ( 1+x+x^{2}+...+x^{2010} \right )^{2011}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{4042110}x^{4042110}$

$a/$ Tính tổng $a_{0}+a_{2}+a_{4}+...+a_{4042110}$

$b/$ Chứng minh rằng: $C_{2011}^{0}a_{2011}-C_{2011}^{1}a_{2010}+C_{2011}^{2}a_{2009}-...+C_{2011}^{2010}a_{1}-C_{2011}^{2011}a_{0}=-2011$

Bài toán :Cho $(P):y=x^{2}-3x+1$ và $\Delta:y=-x+2.$ Tìm trên $(P)$ hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng $\Delta.$

 

p/s: Bạn nào làm bài này không dùng đến định lí Vi-ét là mình sẽ like 10 bài viết của bạn ấy .

Gọi $A,B$ là hai điểm cần tìm

$\Delta _{AB}\perp \Delta \Rightarrow \Delta _{AB}:y=x+c$

Hoành độ $A,B$ là nghiệm của pt: $x^{2}-4x+1-c=0$

$H$ là trung điểm của $AB$

Suy ra $H$ có hoành độ $\frac{1}{2}(x_{1}+x_{2})=2\Rightarrow H\left ( 2;0 \right )$

$\Rightarrow \Delta AB:y=x-2$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$

Tìm $\min P=\sum \frac{a^{2}+b}{b+c}$

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $u_{1}=u_{2}=1$, $u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}+2}{u_{n-1}}(n\geq 2)$

Chứng minh rằng $u_{n}=4u_{n-1}-u_{n-2}$

$1)$
Cho $a;b;c>0$. Cmr:

$$\sqrt{\sum a^4}+\sqrt{\sum a^2b^2}\geq \sqrt{\sum a^3b}+\sqrt{\sum ab^3}$$

 

Áp dụng BĐT Minkowski ta được:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{\sum a^{4}}+\sqrt{\sum a^{2}b^{2}}\geq \sqrt{\sum \left ( a^{2}+ab \right )^{2}} & \\ \sqrt{\sum b^{4}}+\sqrt{\sum a^{2}b^{2}}\geq \sqrt{\sum \left ( b^{2}+ab \right )^{2}} & \end{matrix}\right.$

Suy ra $2\left ( \sqrt{\sum a^{4}}+\sqrt{\sum a^{2}b^{2}} \right )\geq \sqrt{\sum \left ( a^{2}+ab \right )^{2}}+\sqrt{\sum \left ( b^{2}+ab \right )^{2}}\geq 2\left ( \sqrt{\sum a^{3}b}+\sqrt{\sum b^{3}a} \right )\Rightarrow dpcm$

Giải phương trình: $x^{3}+x=2(x+1)\sqrt{2x+1}$

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$

Chứng minh rằng $\sum \frac{\sqrt{a^{2}+2ab}}{\sqrt{b^{2}+2c^{2}}}\geq \frac{1}{\sum a^{2}}$

Cho các số thực không âm $a_{i}(i=\overline{1,n}), n\in N^{*})$, chứng minh rằng: $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{m}\geq \left ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^m$

Phải thêm $m\in N^{*}$ chứ !!!

Xét $2$ trường hợp 

$\bigstar$ Nếu $m$ chẵn ta có: 

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{m}\geq \frac{1}{n^{2}}\left ( \sum_{i=1}^{n}\sqrt{a_{i}^{m}} \right )^{2}\geq \frac{1}{n^{m}}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m}=\left ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m}$

$\bigstar$ Nếu $m$ lẻ ta có:

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{m}=\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}^{m+1}}{n.a_{i}}\geq \frac{1}{n.\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\left ( \sum_{i=1}^{n}\sqrt{a_{i}^{m+1}} \right )^{2}\geq \frac{1}{n^{m}\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m+1}=\frac{1}{n^{m}}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m}=\left ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i} \right )^{m}$

Giải phương trình $\sqrt{x-1}+\sqrt{3x-2}+x^{4}-5x^{3}+12x^{2}-15x-57=0$

Nhận dạng tam giác $ABC$ biết $\widehat{B}=2\widehat{C}$ 

và $2(cosA+1)(cosB+1)(cosC+1)=cos(A-B)+cos(B-C)+cos(C-A)+cosA+cosB+cosC+2$

PT chỉ có nghiệm $x = 5 \pm \sqrt {33} $ thôi mà 

Chắc mình bấm máy nhầm, thử lại thấy không đúng thật 

Giải phương trình:

$\sqrt{2x-1}+x^{2}-3x+1=0$

ĐK: $x\geq \frac{1}{2}$

Pt tương đương $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3+\sqrt{5}}{2} & \\ 2x-1=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x+1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3+\sqrt{5}}{2} & \\ x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-8x+2=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3+\sqrt{5}}{2} & \\ (x-2-\sqrt{2})(x-2+\sqrt{2})(x^{2}-2x+1)=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3+\sqrt{5}}{2} & \\ \begin{bmatrix} x=2+\sqrt{2}(L) & \\ x=2-\sqrt{2} & \\ x=1 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

 

B. Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(-6; 7), tâm đường tròn ngoại tiếp I(1; 1) và D(0; 4) là hình chiếu vuông góc của Alên đường thẳng BC. Tìm tọa độ đỉnh A.

 

$AD:x+2y-8=0$

$K(6;1)$

Suy ra $R=IK=5\rightarrow C:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=25$

Tọa độ $A,K$ là nghiệm $\left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=25 & \\ x+2y-8=0 & \end{matrix}\right. \Rightarrow A(-2;5)$

Giải phương trình $3x \sqrt{x^3+1}=x^3+x^2-19x-16$

 

@MOD: chú ý cách đặt tiêu đề

Ta có: $x^{3}+x^{2}-19x-16-3x\sqrt{x^{3}+1}=0\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^{3}+1}-3x-3 \right )\left ( \frac{3}{2}\sqrt{x^{3}+1}+\frac{1}{2}x-\frac{13}{2} \right )=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{x^{3}+1}=3x+3 & \\ 3\sqrt{x^{3}+1}=x-13 & \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x\geq -1 & \\ \begin{bmatrix} x=-1\\ x=5\pm \sqrt{33} \end{bmatrix} & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x\geq 13 & \\ 9x^{3}-x^{2}+26x-160=0 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

Pt dưới vô nghiệm 

 

             b) Giải phương trình $2(x+1)^{2}=9x(\sqrt{x+2}-1)^{2}$

 

Đặt $\sqrt{x+2}=t(t\geq 0)\Rightarrow x=t^{2}-2$

Phương trình tương đương: $2(t^{2}-1)^{2}-9(t^{2}-2)(t-1)^{2}=0\Leftrightarrow -7t^{4}+18t^{3}+5t^{2}-36t+20=0\Leftrightarrow (t-2)(7t^{3}-4t^{2}-13t+10)\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=2 \rightarrow x=2& \\ t=\frac{-10}{7}(L) & \\ t=1 \rightarrow x=-1& \end{bmatrix}$

Bài $4$:

Cho ba số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Chứng minh: $\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}z^{2}}\geq \sum xy+1$

 

Áp dụng BĐT Mincowski ta được:

$\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}z^{2}}\geq \sqrt{(\sum x)^{2}+(\sum yz)^{2}}$

Lại có: $(\sum x)^{2}=\sum x^{2}+2\sum xy=1+2\sum xy\Rightarrow \sqrt{\left ( \sum x \right )^{2}+\left ( \sum xy \right )^{2}}= \sqrt{\left ( \sum xy \right )^{2}+2\sum xy+1}= \sum xy+1$

Câu $7$: 

Tọa độ $A$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} 4x+3y+1=0 & \\ 7x-y+8=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1 & \\ y=1 & \end{matrix}\right. \rightarrow A(-1;1)$

$cos(AM;AB)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Đặt $\overrightarrow{n}_{BC}=(a;b)\Rightarrow cos(BC;AB)=\frac{4a+3b}{5.\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \begin{bmatrix} a=-7b\rightarrow b=1;a=-7 & \\ a=\frac{1}{7}b\rightarrow b=7;a=1 & \end{bmatrix}$

Trường hợp thứ $2$ loại 

Suy ra $\Delta _{BC}:-7x+y+67=0\Rightarrow B:\left\{\begin{matrix} x=8 & \\ y=-11 & \end{matrix}\right. \Rightarrow B(8;-11)$

$\rightarrow M(\frac{59}{14};\frac{-75}{2})\rightarrow C(\frac{3}{7};-64)$

 

         

         1. Giải PT $9x^2+12x-2=\sqrt{3x+8}$

        

Thử cách dùng CASIO của anh Việt !

Đặt $\sqrt{3x+8}=t(t\geq 0)$

Suy ra $x=\frac{t^{2}-8}{3}$

Thế vào phương trình ta được $9\left ( \frac{t^{2}-8}{3} \right )^{2}+12\left ( \frac{t^{2}-8}{3} \right )-2-x=0\Leftrightarrow t^{4}-12t^{2}-t+30=0\Leftrightarrow (t-3)(t^{3}+3t^{2}-3t-10)=0\Leftrightarrow (t-3)(t+2)(t^{2}+t-5)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=3\\ t=\frac{-1+\sqrt{21}}{2} \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{1}{3}\\ x=\frac{-5-\sqrt{21}}{6} \end{bmatrix}$

Giải phương trình: $3tan^{2}x+\frac{3(tanx+1)}{cosx}-4\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=1$

CGo tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), BE và CF là các đường cao. Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại S, các đường thẳng BC và OS cắt nhau tại M.

a. Chứng minh $\frac{AB}{AE}= \frac{BS}{ME}$

b. Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS

c. Gọi N là giao điểm của AM và EF, P là giao điểm của Á và BC. Chứng minh NP vuông góc với BC

$a/$ $\Delta ABE\sim \Delta BSM\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{BS}{BM}= \frac{BS}{ME}$ $(1)$

$b/$ $\widehat{ABS}+\widehat{ACB}=180^{0}\Rightarrow \widehat{ABS}+\widehat{MEC}=180^{0}=\widehat{AEM}+\widehat{MEC}\Rightarrow \widehat{ABS}=\widehat{AEM}(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra đpcm

$c/$ $\frac{AS}{AM}=\frac{AB}{AE}$

$\left\{\begin{matrix} \widehat{BAP}=\widehat{NAE} & \\ \widehat{ABP}=\widehat{AEN} & \end{matrix}\right. \Rightarrow \Delta ABP\sim \Delta AEN\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{AP}{AN}=\frac{AS}{AM}\Rightarrow NP\parallel MS\Rightarrow NP\perp BC$

$tan(2x-\frac{\pi}{4})tan(2x+\frac{\pi}{4})=\frac{4(cos2x)^{2}}{tanx-cotx}$

Phương trình tương đương $\frac{tan^{2}2x-tan^{2}\frac{\pi }{4}}{1-tan^{2}2x.tan^{2}\frac{\pi }{4}}=\frac{2cos^{2}2x}{cot2x}\Leftrightarrow 2sin2xcos2x=-1\Leftrightarrow sin4x=-1\Leftrightarrow 4x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{-\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$

 

  Câu II (1,0 điểm) Giải phương trình $2sin2x+\frac{1}{sin2x}-cot2x=2tanx$ 

 

Điều kiện: $sin2x.cos2x\neq 0$

Phương trình tương đương $2sin2x+\frac{1-cos2x}{sin2x}=2tanx\Leftrightarrow 2sin2x+\frac{sinx}{cosx}=\frac{2sinx}{cosx}\Leftrightarrow 4sinxcosx=\frac{sinx}{cosx}\Leftrightarrow 4cosx=\frac{1}{cosx}\Leftrightarrow 4cos^{2}x-1=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} cosx=\frac{1}{2}\rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi & \\ cosx=-\frac{1}{2}\rightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi & \end{bmatrix}$

Giải phương trình: $1+ sin2x + 2cos3x (sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x$

Phương trình tương đương

$2cos3x(sinx+cosx-1)+1-cos2x+sin2x-2sinx=0\Leftrightarrow 2cos3x(sinx+cosx-1)+2sin^{2}x+2sinxcosx-2sinx=0\Leftrightarrow (2cos3x+2sinx)(sinx+cosx-1)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 2cos3x+2sinx=0\\ sinx=1-cosx \end{bmatrix}$

$\bigstar cos3x=-sinx=sin(-x)=cos\left ( \frac{\pi }{2}+x \right )\Rightarrow \begin{bmatrix} 3x=\frac{\pi }{2}+x+k2\pi \rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi & \\ 3x=-\frac{\pi }{2}-x+k2\pi \rightarrow x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2} & \end{bmatrix}$

$\bigstar sinx=1-cosx\Leftrightarrow sin^{2}x=1+cos^{2}x-2cosx\Leftrightarrow \begin{bmatrix} cosx=0\rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi & \\ cosx=1\rightarrow x=k2\pi & \end{bmatrix}$