A = $\frac{1}{2}[(x-y)^{2}+(y-1)^{2}+(x-1)^{2}+4]> 0$

2 số nguyên tố cùng nhau chứ???     

Áp dụng BĐT AM-GM ta có : $a^{3}+a^{3}+1\geq 3a^{2}$

Tương tự với các BĐT còn lại. Cộng vế theo vế được $2\sum a^{3}+3\geq 3\sum a^{2}=9\Rightarrow \sum a^{3}\geq 3$   (1)

Có $(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9\Rightarrow a+b+c\leq 3$   (2)

Từ (1) và  (2) suy ra đpcm

Cho a,b > 0 thỏa $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$. Chứng minh $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$

Cho các số thực x,a,b,c thỏa mãn x+a+b+c=7 và $x^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=13$. Tìm GTLN và GTNN của x

Cho a,b,c > 0. Chứng minh $\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

Cần CM $\frac{a+b+c+21}{4}\leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \Leftrightarrow a+b+c+21\leq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Mà ta có : 7(a²+b²+c²) $\geq 7(ab+bc+ca)\geq 21$   (1)

Lại có $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq (ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a+b+c$                                                                          (2)

Từ (1) và (2) suy ra 8(a²+b²+c²) $\geq$a+b+c+21 => Đpcm

Cho a, b > 0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=4$. Tìm GTLN của P = $\frac{ab}{a+b+2}$

Cho a,b >0. Chứng minh $(a+b)\left ( \frac{1}{\sqrt{a^{2}+3b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{b^{2}+3a^{2}}} \right)\leq 2$

THCS mà, ko  được dùng đạo hàm 

BĐT $\Leftrightarrow ab+bc+2\sqrt{abcd}\leq ab+ad+bc+cd\Leftrightarrow (\sqrt{ad}-\sqrt{cd})^{2}\geq 0$ (đúng)

$\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}=\sqrt{3+\sqrt{13+2\sqrt{12}}}=\sqrt{3+\sqrt{(1+\sqrt{12})^{2}}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}=\sqrt{3}+1$

cách tách hay hơn. Ví dụ $3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^{2} ; 6+4\sqrt{2}=(2+\sqrt{2})^{2}$

Tách để đưa biểu thức trong căn thành bình phương

Cho a,b,c > thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. Chứng minh $\sum \frac{a^{2}}{a+bc}\geq \frac{a+b+c}{4}$

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c=2. Tìm GTNN của $P=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Kiểm tra lại đề đi bạn

Ai giải giùm câu 3 với 

Cho 0 $\leq x,y,z\leq 1$, chứng minh $2(x^{3}+y^{3}+z^{3})-(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)\leq 3$

ai giúp với 

cách này ngắn gọn 

Chứng minh phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2010}$ luôn hữu hạn nghiệm tự nhiên.

cách này hơi khó hiểu

Từ 1 điểm A nằm ngoài (O;R), vẽ tiếp tuyến AM đến (O), M là tiếp điểm. Vẽ (A;AO) cắt (O) tại P và Q. Chứng minh PQ đi qua trung điểm của OM.

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) (AB<AC). Vẽ 2 đường cao AD, CE của tam giác ABC. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại M. Từ M kẻ tiếp tuyến thứ 2 của (O) (N là tiếp điểm). Vẽ CK vuông góc với AN tại K. Chứng minh DK đi qua trung điểm của đoạn thẳng BE.