CMR: $arctanx+arctany=arctan\frac{x+y}{1-xy}$

chứng minh một hàm số tuần hoàn và liên tục thì bị chặn

Với mỗi số tự nhiên n>1, kí hiệu v(n) là số nguyên tố lớn nhất không vượt quá n và l(n) là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn n. TÍnh giá trị biểu thức:

$S=\frac{1}{v(2).l(2)} + \frac{1}{v(3).l(3)} + ... + \frac{1}{v(396).l(396)}$

 

Với mỗi số tự nhiên n>1, kí hiệu v(n) là số nguyên tố lớn nhất không vượt quá n và l(n) là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn n. TÍnh giá trị biểu thức:

$S=\frac{1}{v(2).l(2)} + \frac{1}{v(3).l(3)} + ... + \frac{1}{v(396).l(396)}$

Cho 3 số nguyên dương a,b,c thỏa mãn mỗi số trong ba số a + 10b, b + 10c, c + 10a hoặc là lũy thừa của 2 hoặc là lũy thừa của 5. Chứng minh rằng abc chia hết cho 10 nhưng không chia hết cho 100

Lấy O' bất kì thuộc (O:R). OO' cắt (O';R) tại điểm thứ 2 là T. (T;TO) cắt (O) tại A. CMR góc TOA = 75 

Khi rải đều phần diện tích xung quanh mặt cầu lên một mặt phẳng ta sẽ nhận được hình gì? 

Câu hỏi này mới chợt nảy ra trong đầu mình, kiến thức về hình học không gian của mình không nhiều, nếu mọi người có ý tưởng nào liên quan thì hãy góp ý giúp mình ạ

Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho: $a^2 + ab +b^2|P(a)-P(b)$ với mọi $a,b\epsilon \mathbb{Z}$

Tìm $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x^2+f(y)-y)=f^2(x)$ với mọi $x,y\epsilon \mathbb{R}$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I). AI cắt BC tại D. N là điểm tiếp xúc của đường tròn A-mix và (O). ND cắt (O) tại điểm thứ hai là P. A đối xứng A qua O. A'I cắt (O) tại điểm thứ hai là M

a) CM M,P đối xứng nhau qua trung trực BC

b) Gọi Ia là tâm A-bàng của tam giác ABC. CM P,Ia,A' thẳng hàng

Cho $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$

Có $f(x)+f(y)=f(a)+f(b)$ với $x+y=a+b;a,b,x,y>0$ 

CMR khi đó $f(x)=mx+n$ với $m,n\geq 0$

Đoạn này mình có đọc trong một lời giải phương trình hàm mà ko hiểu lắm

Cho $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn 

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ với mọi $x,y>N$ ($N$ là hằng số dương nào đó)

Hỏi từ đây có suy ra được $f(x)=ax$ với mọi $x>T$ hay không? (T là hằng số dương nào đó)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ trực tâm $H$. CMR điểm liên hợp đẳng giác của điểm liên hợp đẳng cự của $H$ đối với tam giác $ABC$ nằm trên $OH$

Cho tam giác $ABC$. $M,N$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB,AC$ sao cho $BM=CN$. $H,K$ lần lượt là trực tâm các tam giác $AMN,ABC$. CMR $HK//$ đường phân giác trong góc $BAC$ 

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $M,N$ là trung điểm của $AB,AC$.$E',F'$ đối xứng $E,F$ qua $IN,IM$. $FF'$ cắt $EE'$ tại $A'$. CM $A'$ là trực tâm tam giác $BIC$

Cho tam giác ABC, P nằm trong tam giác sao cho góc PBA = góc PCA. Một đường thẳng d đi qua P cắt AB, AC tại F,E. Đường thẳng qua E song song BP cắt đường thẳng qua F song song CP cùng với BC tạo nên tam giác XYZ. CMR (XYZ) tiếp xúc (ABC)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $M$ là trung điểm $BC$. Kẻ $AD \perp BC$ ($D \in BC$). $K$ nằm trên đoạn $AD$ sao cho $\angle BKC=90^o$. $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. $KG$ cắt $OM$ tại $L$. $P,Q$ thuộc $BC$ sao cho $LP\parallel OB$ và $LQ\parallel OC$. $F,E$ lần lượt thuộc $AB,AC$ sao cho $PF\parallel OM \parallel EQ$. CMR $(AFE),(BFM)$ và $(CEM)$ cùng đi qua điểm $I$ thỏa mãn $A,O,I$ thẳng hàng

cột 1: 1 ,  2 , 3 , ... , n

cột 2: n+1 , n+2 , n+3 , ... , 2n

....

cột n: $n^2-n+1,n^2-n+2,...n^2$

viết như này thì hiệu hai số cùng một cột $\le n-1$

 

cột 1: 1 ,  2 , 3 , ... , n

cột 2: n+1 , n+2 , n+3 , ... , 2n

....

cột n: $n^2-n+1,n^2-n+2,...n^2$

viết như này thì hiệu hai số cùng một cột $\le n-1$

 

cột 1: 1 ,  2 , 3 , ... , n

cột 2: n+1 , n+2 , n+3 , ... , 2n

....

cột n: $n^2-n+1,n^2-n+2,...n^2$

viết như này thì hiệu hai số cùng một cột $\le n-1$

Xin lỗi vì sự sai sót này. Mình đã sửa lại đề bài

Cho (O) cố định, dây cung BC cố định và A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. K,H lần lượt là trực tâm tam giác IAC,IAB. M là trung điểm KH. CMR AM vuông góc BC và độ dài AM luôn là hằng số khi A di động trên (O)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), F là giao điểm của AD,BC. FP là đường đối trung đỉnh P của tam giác FCD (F thuộc CD), AC giao BD tại E.K là hình chiếu của E lên OF. CMR KP cắt FE tại 1 điểm thuộc (DEC)

Cho số nguyên dương n lớn hơn 3. Viết các số $1,2,...,n^{2}$ vào các ô vuông của bảng ô vuông cỡ $n\times n$ sao cho hai ô vuông khác nhau được viết hai số khác nhau. CMR tồn tại hai ô vuông nằm trên cùng một hàng hoặc cùng một cột sao cho hiệu của hai số được viết trên hai ô vuông đó lớn hơn $\frac{n^{2}}{2}$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. D' đối xứng D qua I. EF cắt BC tại A'. A'D' cắt (I) tại điểm thứ hai là A1. Định nghĩa tương tự B1,C1. CM DA1,EB1,FC1 và OI đồng quy

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AC cắt BD tại E. Đường tròn (w) tiếp xúc với AC,BD lần lượt tại H,G và tiếp xúc trong với (O) tại L. GH cắt AD,BC tại P,Q. CMR: (LPQ) tiếp xúc với AD,BC và tiếp xúc (O)  

 

Cho tập S gồm các xâu nhị phân có độ dài n sao cho với mọi X,Y thuộc S thì X,Y khác nhau ở ít nhất 3 vị trí. CMR:$|S|\leq \frac{2^{n}}{n+1}$

Tìm a,b là các số nguyên dương sao cho $(a^{3}+b)(a+b^{3})$ là một lũy thừa của 3