$L$ không có Min ( có Max thì hiển nhiên ).Thật vậy ta thấy $L>0$ với mọi $a;b;c>0$ và nếu ta cho 1 biến dần tới 0 tổng của 2 biến còn lại dần tới 1 thì L dần tới 0.

TH 1:$ a;b \geq1 $ hoặc$a;b \leq1 $.Ta xét hiệu :

$(1+a^3)(1+b^3)-(1+ab^2)(1+a^2b)=(a+b)(a-b)^2 \geq0 $
$2(1+b^2)-(1+a)(1+b^2)=(b^2-1)(a-1) \geq0 $

$ \Rightarrow2(1+a^3)(1+b^3) \geq2(1+ab^2)(1+a^2b) \geq (1+a)(1+b^2)(1+a^2b) \Rightarrow$ đpcm
TH 2:$a \geq 1 \geq b$ hoặc $a \leq 1 \leq b$. Biến đổi tương đương ( nhân chéo ) ta có :

BDT $\Leftrightarrow(b^3+1)(a-1)^2+(b+a)(b-a)(b-1) \geq0 $.Điều này đúng !
ĐPCM

$a = \sqrt x ,b = \sqrt y $

$T = a^2 b - ab^2 = ab(a - b) \le \dfrac{1}{4}a^2 2b(2a - 2b) \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{{a + a + 2b + 2a - 2b}}{4})^4 \le \dfrac{1}{4}a^4 \le \dfrac{1}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $x = 1,y = \dfrac{1}{4}$

Hình như ngược dấu ở phép đánh giá đầu ! Bài này có thể giải như sau :$T= \dfrac{1}{4}x+y \sqrt{x}( \sqrt{x}-1)- \sqrt{y}-1)^2 \leq \dfrac{1}{4} $

Cho $x;y \in[0;1] $.Tìm Max của biểu thức :$T=x \sqrt{y} -y \sqrt{x} $
Đầy là 1 đề thi đại học ( đề dự bị ) được " biến tướng " để trông có vẻ.......... " khó " hơn !

có lẽ bạn giải thế này

ta có $a^2 + abc = (a+b)(a+c) $ nên $\dfrac{a^2}{a+bc} = \dfrac{ a^3}{ (a+b)(a+c) }$ sử dụng cô si

$ \dfrac{ a^3}{ (a+b)(a+c) } + \dfrac{ a+b}{8} + \dfrac{ a+c}{8} \ge \dfrac{3a}{4}$ thay vào có đpcm.

Có lẽ là LG của nó là thế ( mình cũng đã làm như thế này ).Bởi thi ĐH không đến nỗi phải dùng Trê-bư-sep như y chi. Với lại việc "phát hiện " ra đẳng thức :$ \dfrac{a^2}{a+bc}= \dfrac{a}{(b-1)(c-1)} $
cũng........lằng nhằng ( đến bây giờ mình vẫn chưa hiểu tại sao lại tìm ra nó )

Đặt $\ a=3^x,b=3^y,c=3^z$,rồi dùng B.C.S là ra.

Ta sẽ được :$a,b,c>0$ thỏa mãn :$ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}=1 $.Và cần CM:$ \dfrac{a^2}{a+bc} + \dfrac{b^2}{b+ca} + \dfrac{c^2}{ab} \geq \dfrac{a+b+c}{4} $
Bạn dùng BCS ? Mình nghĩ là không ra ! (BDT ngược chiều)

Bài này hình như thầy Trần Nam Dũng đã có 1 lời giải trên THTT dùng Côsi rồi (mình cần xem lại LG đó ).Cũng có 1 cách phân chia trường hợp khá phức tạp (không hay !):
Cho $x;y>0$ thỏa mãn:$x^2+y^3 \geq x^3+y^4$.Tìm Max của biểu thức : $T=x^3+y^3$

Em có bài này : (sưu tầm)
Cho tam giác ABC và các số thực x,y,z thỏa mãn :xyz>0.Chứng minh rằng :$ \dfrac{1}{x}cosA + \dfrac{1}{y}cosB + \dfrac{1}{z}cosC \leq \dfrac{x}{2yz} + \dfrac{y}{2zx} + \dfrac{z}{2xy} $

Chứng minh rằng phương trình sau có duy nhất 1 nghiệm dương:$(x+1)^x=x^{x+1}$

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn :$ 3^{-x}+ 3^{-y} + 3^{-z} =1 $.Chứng minh rằng : $ \dfrac{9^x}{3^x+3^{y+z}}+ \dfrac{9^y}{3^y+3^{z+x}} + \dfrac{9^z}{3^z+3^{x+y}} \geq \dfrac{3^x+3^y+3^z}{4} $

Đúng Côsi được , gắn hệ trục tọa độ vào cũng được! Nhưng liệu....dồn biến được không ? .................2 biến đều rơi ra biên !

Chứng minh rằng trong 4 số 1930,1945,1975,2007 ta luôn co thể chọn được 2 số $ a,b(a \neq b) $ thỏa mãn:$0< \dfrac{a-b}{1+a+b+2ab}<2- \sqrt{3} $

Em gõ tổ hợp (chỉnh hợp) chập k của n thì .....kô có CT toán ạ?

Cho $x;y;z \in[0;1] $ thỏa mãn :$x+y+z= \dfrac{3}{2} $.Tìm Min của $T=cos(x^2+y^2+z^2)$

Thế tôi hỏi bạn giữa chuyện đúng và sai nó có khác nhau gì không ?
Vừa táy máy lên enwikipedia thì thấy định nghĩa của họ chả nhắc đến cái gì gọi là "phương trình chính tắc của elipse" cả (lướt qua, chưa xem kĩ lắm).
Vậy có chăng, cái "tên gọi" kia chẳng qua chỉ là qui ước của các thầy Việt Nam với nhau, để cho các cháu nó dễ học, dễ nhớ, để toàn dân Việt Nam ta đều được tiếng là giỏi, là học lắm, biết nhiều, nhưng hiểu thì chỉ sợ chả được bao nhiêu.
Những ai sau này theo toán thì thôi, còn như bạn, như tôi, việc chúng ta chỉ cần chuẩn theo cái SGK cũ kia rồi lấy điểm 10 toán, thắc mắc cái đó làm gì. Mà nếu có thắc mắc, cũng đừng nên thắc mắc 1 cái "chỉ mang tính tượng trưng" như thế, làm gì có đúng với sai ở đây,khi nó ko ảnh hưởng đến bản chất toán học của bài toán hay điểm thi của bạn ?
Ầy, bài viết hơi có màu sắc bức xúc với nên giáo dục, thật có lỗi

Thật buồn !
Chúng ta học chẳng nhẽ lại chỉ để "đối phó" với kì thi???Thật chẳng khác nào "múa rìu qua mắt thợ" khi nói câu này với những người như HUYVAN (CTV)......Mình không phải là người giỏi toán.Nhưng chẵng nhẽ thấy cái sai mà "khuất mắt trông coi".Ai bảo là nó không ảnh hưởng đến điểm của bài thi? Nếu bài thi cho là lập PTCT của Elip , khi làm ra KQ thấy a<b thì KL sao?không tồn tại à???Sai cơ bản !!!

Cứ theo SGK mà làm. Đơn giản chỉ vì đề thi Đại học do Bộ ra!

Ở đây, chúng ta đang bàn về việc :"ai đúng, ai sai ???"

Trong SGK hình giải tích 12 có ghi : phương trình $ \dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} =1 ( a>b>0)$ được gọi là PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC của Elip.Còn mọi pt không có dạng trên hoặc có dạng trên nhưng không thỏa mãn đk $a>b>0$ thì không được gọi là phương trình chính tắc của Elip.Khi đọc quyển :"Các phương pháp giải ba đường Cônic" của Lê Hồng Đức (chủ biên) thì khi bài yêu cầu lập phương trình chính tắc của Elip thì vẫn xét 2 trường hợp $ a>b$ và$a<b$.Khi gọi đến SDT ghi trong sách thì thầy Lê Hồng Đức nói rằng:" đây là 1 hạn chế của SGK cũ.SGK mới bây giờ và những sách nâng cao người ta vẫn xet 2 trường hợp .Trong TH $a<b$ thì tiêu điểm nằm trên Oy còn không khác gì cả, chỉ là 1 hình thức "xoay đồ thị" đi thôi.Và khi thi ta vẫn phải chấp nhận xét 2 TH (mặc dù đang học SGK cũ)".
Thêm nữa, trong quyển "Giải toán hình học" (của trường chuyên Lê Hồng Phong_thầy Nguyễn Thành Minh chủ biên) họ cũng coi TH $a<b$ là phương trình chính tắc của Elip.
Trong khi đó cô giáo mình thì khăng khăng khẳng định chỉ TH $ a>b$ mới được gọi là phương trình chính tắc của Elip.Mong mọi người cho ý kiến.SGK sai hay.......các thầy viết sách sai?

Mình cần 1 lời giải của trường hợp cụ thể này.Còn tất nhiên nó là trường hợp đặc biệt của định lí Ơle, vì mình lấy từ nó mà ra mà

CMR phương trình sau có duy nhất nghiệm $ x=0$:$ (sinx)^{(cosx)} =tgx$

tại sao lâu rồi không vào được trang chủ của diễn đàn?Mà chỉ vào được Forum luôn ?

Tìm $m$ để :$2^x+3^x+4^x \geq3+mx ( \forall x \in R) $

A.Lập phương trình đường tròn: 1.Viết pt đường tròn(C₁) tâm I₁ đi qua điểm (0;1) tiếp xúc với đường thẳng(d₁):$x+y- \sqrt{2}=0 $ tại điểm có hoành độ:$x= \dfrac{ \sqrt{2} }{2} $
2.Viết pt đường tròn(C₂) tâm I₂ đi qua 3 điểm (3;5) , (5;3) , (1;3)
3.Viết pt đường tròn(C₃) tâm I₃ nằm giữa I₁ và I₂ và tiếp xúc ngoài với (C₁) và (C₂).
B.Một số vấn đề liên quan :
1.Viết pt tiếp tuyến của (C₁) và (C₂) (nếu có) đi qua A(3;2).
2.Tìm $m$ để đường thẳng (d₂) :$(m^3+2m)x-(2m^3+3m)y+2m^3+m=0$ tiếp xúc với (C₂).
3.
a) CMR (C₁) và (C₂) ngoài nhau.
b)Viết pt tiếp tuyến chung và pt trục đẳng phương của (C₁) và (C₂).
4.Tính diện tích phần được giới hạn bởi 2 tiếp tuyến chung ngoài và (C₁) ; (C₂).
5.Giả sử (C₁) và (C₂) là 2 bánh xe cần được quấn kín bởi 1 sợi dây cua-roa.Tính chiều dài ngắn nhất của sợi dây đó.
6.Có nhiều nhất bao nhiêu đường tròn có bán kính $r= \dfrac{1}{ \sqrt{7}-2 } $ tiếp xúc ngoài với (C₂).
7.Cho M(2;1).Hãy viết pt đường thẳng $( \delta) $ sao cho :
a) $( \delta) $ chia hình tròn 2 ( sinh bởi (C₂)) thành 2 phần có diện tích tỉ lệ 2:1.
b)$( \delta) $ chia (C₁) thành 2 phần có chiều dài tỉ lệ 2:1.

Đề bài yêu cầu : CM pt này có đúng 3 nghiệm

CMRpt:$2^x=x^2+1$ có đúng 3 nghiệm.

Trên bàn có 2007 hòn bi gồm 667 bi xanh,669 bi đỏ và 671 bi vàng .Cứ mỗi lần lấy đi 2 viên bi khác màu người ta lại đặt thêm 2 viên bi có màu còn lại.Hỏi có thể đến 1 lúc nào đó, trên bàn chỉ còn các bi cùng màu ?