$2000y(x+z)=2000(2000-x-z)(x+z)=2000[-(x+z)^2+2000(x+z)]$

$11x(y+z)=11(2000-y-z)(y+z)=11[-(y+z)^2+2000(y+z)]$

mà $xz\geq 0\Rightarrow -1991xz\leq 0$

cộng lại ta được dòng thứ 2

Xem hộ mình có phải dấu "=" xảy ra khi:$x=0,y=z=1000$ không?

ta có $P=2000y(x+z)+11x(y+z)-1999xz$

            $\leq 2000[-(x+z)^2+2000(x+z)]+11[-(y+z)^2+2000(y+z)]$($-1991xz\leq 0$)

tới đây xét hàm $f(t)=-t^2+2000t$ với $0\leq t\leq 2000$

$\Rightarrow maxf(t)=f(1000)=10^6$

phần còn lại bạn tự làm vậy

Dòng thứ 2 bạn giải thích rõ hơn giúp mình được không?

Viết tách ra giúp mình càng tốt. Thanks

Mình đang vướng chỗ tìm giá trị lớn nhất. 

Cho: $x+y=2007$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:

       $P=x(x^{2}+y)+y(y^{2}+x)$

Cho các số tự nhiên x,y,z thoả mãn: x+y+z=2000. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

       $P=20xy+11xz+2000yz$

Cho $x,y,z> 0; x+y+z\geq 12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

   $P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}$

Cho a,b là các số nguyên dương thỏa $\frac{a+1}{a};\frac{b+1}{b}$ đều là số nguyên. Gọi d là ước của a và b. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$

Cho p là một số nguyên tố. Tìm p sao cho $\sqrt{1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}}$ là một số hữu tỉ

Cho $a,b,c,d> 0$ và $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$. Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{c}+\frac{b^{3}}{d}\geq 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

      A=$\sqrt{-x^{2}+5x+24}-\sqrt{-x^{2}+6x+7}$

Cách của mình. Hơi dài 

   Áp dụng hằng đẳng thức:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc$

                      $= (a+b+c)((a+b+c)^{2}-3(ab+bc+ca))+3abc$

                            $= 27-9(ab+bc+ca)+3abc$

  Lại có: $0\leq a,b,c\leq 2$ => $(2-a)(2-b)(2-c)\geq 0 <=> 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\geq 0$

                                    => $-2(ab+bc+ca)\leq -4-abc$

                                      $<=> -9(ab+bc+ca)+3abc\leq -18-\frac{3}{2}abc\leq -18$ do $abc\geq 0$

       Vậy: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 27-18=9$ (ĐPCM)

   Dấu "=" xảy ra <=> (a,b,c)=(0,1,2) hoặc các hoán vị của nó.

Cho 3 số a,b,c thỏa mãn:

      $0\leq a;b;c\leq 2$ và a+b+c=3

    Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 9$

Cho x,y$> 0$. Tìm Giá trị nhỏ nhất của:

          $A=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$

Thanks các bạn đã ủng hộ. Mình xin đưa ra lời giải bài 8 mong các bạn góp ý:

   Áp dụng BĐT cô-si, ta có:

 +) $a^{2}+\frac{1}{16a^{2}}\geq 2\sqrt{a^{2}*\frac{1}{16a^{2}}}= \frac{1}{2}$

Chứng minh tương tự, ta được:

     $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+\frac{1}{16}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})\geq 2$

 +) $\frac{63}{16}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})\geq \frac{63}{16}*4\sqrt{\frac{1}{abcd}}\geq \frac{63}{16}*4*\sqrt{\frac{1}{\frac{(a+b+c+d)^{4}}{4}}}=63$

 +) $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\geq 4$

  Vậy: P$\geq 2+63+4*4=81$

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=d=$\frac{1}{2}$

  Vậy là còn bài 1 và bài 7 mong các bạn góp ý tiếp. 

Thêm nhé:

 8)  Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn:

                a + b + c + d=2.

    Tìm GTNN của:

        P = $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+4(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})+4(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a})$

1) Tìm số tự nhiên n có tích các chữ số thoả mãn: n^2 -10n-12

2) Cho a,b là 2 số thực dương thoả:

   a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰    = a¹⁰¹ + b¹⁰¹ = a¹⁰² + b¹⁰²

Tính giá trị của: P = a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ 

3) Cho x + y = a + b

           x² + y² = a² + b²

 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, ta có:

         xⁿ + yⁿ = aⁿ + bⁿ 

4) Tìm số nguyên x, y thoả mãn:

      x² +2y² +2y=1 + 2xy +2x

5) Chứng minh rằng: x⁴ +64 là hợp số với mọi x thuộc N

6) Cho f(x)= ax² + bx + c. Tìm các số nguyên a,b,c biết:

        f(2009)=2015

        f(2005)=2010

7) Cho x,y,z thoả : xy + yz + zx=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

        A= 2x² +5y² +z² .

 Đây là một số bài toán của mình. Mong các bạn vào góp y cùng tiến bộ.

Ở bài bất đẳng thức của đề thi thử đại học trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 1 có đoạn này mình chưa hiểu:

        $\frac{1}{2a^{2}}+\frac{1}{3b^{2}}+\frac{1}{2c^{2}}\geq \frac{1}{2+3+2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}$

  Đáp án ghi theo bất đẳng thức Cauchy - Bunhiacopxki - Schwarz. Ai chỉ mình với

MOD: Chủ đề bị đóng do vi phạm tiêu đề

Mình mới học phần này nên có một số bài chưa làm được mong mọi người hướng dẫn:

1) $4^{log_{2}2x} -x^{log_{2}6} = 2.3^{log_{2}4x^{2}}$

2) $log_{7}x = log_{3}(\sqrt{x}+2)$

3)$2.log_{6}(\sqrt[4]{x}+\sqrt[8]{x}) = log_{4}(\sqrt{x})$

4)$3^{x}+2^{x}=3x+2$

Ta coi phương trình 2 là ẩn với x và y:

 - Với ẩn là x : $\Delta _{x}=y^{2}-4(y^{2}-y)=-3y^{2}+4y$

      Để phương trình có nghiệm thì $\Delta _{x}\geqslant 0<=>0\leqslant y\leqslant \frac{4}{3}$

 - Với ẩn là y: Viết lại phương trình: $y^{2}+y(x-1)+x^{2}=0$

            $\Delta _{y}=(x-1)^{2}-4x^{2}=-3x^{2}-2x+1$

      Để phương trình có nghiệm thì $\Delta _{y}\geq 0<=>-1\leq x\leq \frac{1}{3}$

Xét phương trình 1:

     Có $x^{3}+y^{2}\leq (\frac{1}{3})^{2}+(\frac{4}{3})^{2}< 2$

 Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

a/ Hai điểm cực trị nằm về hai phía $Ox \to$ hoành độ hai điểm cực trị trái dấu $(x_1<0<x_2)$

b/ Hai cực trị nằm về hai phía $Oy \to y_{CĐ}.y_{CT}<0$.

 Hai điểm cực trị nằm về hai phía $Ox \to$ thì $y_{CD}.y_{CT}<0$ chứ anh. Cái kia cũng ngược rồi.

Em đang mắc bài này nằm về 2 phía trục hoành. Không biết giải bpt kiểu gì.

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

   $x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=m(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x})$

Bài 1 nghiệm lẻ thì làm theo công thức nghiệm Cacđanô

Bài 2 và 3 chưa được chỗ nào vậy

Bài 1 nghiệm lẻ của phương trình bậc 3 đi thi có được dùng không vậy? Rồi phải phân tích thành phương trình bậc 2 dùng sơ đồ hoocne sao được.

Bài 2 và bài 3 giải phương trình trong ngoặc có chứa dấu " - "

Bài 1

$x^2-12=(x+2)^2(3x^2-6x-3) \Leftrightarrow 3x^4+6x^3-16x^2-36x=0$

Bài 2

$(\sqrt{2x+3}-3)+(\sqrt{x+1}-2)=(2\sqrt{2x^2+5x+3}-4x)+(7x-21) \Leftrightarrow (x-3)(\frac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{2(2x+1)}{\sqrt{2x^2+5x+3}+2x}-7)=0$

Bài 3

$(\sqrt{x}-1)+(\sqrt{3x-2}-1)+(\sqrt{6-4x-x^2}-x)=x^2-4x+3 \Leftrightarrow (x-1)(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{3}{\sqrt{3x-2}+1}-\frac{2(x+3)}{\sqrt{6-4x-x^2}+x^2}-x+3)=0$

Bài 1 nghiệm lẻ => Cách này không được

Bài 2 và bài 3 chưa được

Gợi ý bài 3 nhá

Phân tích thành 

$(\sqrt{x}-1)+(\sqrt{3x-2}-1)+(\sqrt{6-4x-x^2}-x)=x^2-4x+3$

trục căn thức rồi đưa về pt tích 

Đưa sang pt tích sao được bạn.

Còn bài 1

Giải các phương trình:

1.$\frac{x^{2}-12}{(x+2)^{2}}=3x^{2}-6x-3$

2.$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^{2}+5x+3}-16$

3.$\sqrt{x}+\sqrt{3x-2}+\sqrt{6-4x-x^{2}}=x^{2}-3x+5$