Cho $n$ là một số nguyên dương, $n\geq 2$ và các số thực dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$

Chứng minh rằng

$\sum_{i=1}^{n}\sqrt[3]{\frac{a_{i}^{3}+a_{i+1}^{3}}{2}}\leq \sum_{i=1}^{n}\sqrt{\frac{a_{i}^{2}+a_{i+1}^{2}}{2}}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\left ( \sqrt{a_{i}}-\sqrt{a_{i+1}} \right )^{2}$

Chứng minh bổ đề sau: $\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\leq \sqrt{\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{2}\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}$

Cho x, y nguyên dương thỏa mãn: $x^{2}+2y^{2}+1\vdots 3xy+1$. CMR: xy=0 hoặc x=2y hoặc x=y

Bài này dùng viet-Jumping 

a,b khác tính chẵn lẻ thì ko thỏa mãn đk k chia hết cho n rồi bạn

Uk ,cảm ơn bạn,tại mình không đọc kĩ đề bài

Chứng minh rằng nếu $k=a^n-b^n$ chia hết cho $n$ với $a,b,k,n$ là các số nguyên thì $k$ chia hết cho $(a-b)n$.

Đè này sai,ví dụ cho $n=2$,chọn a,b khác tính chẵn lẻ.

Sao đề lại vậy.Nếu a,b,c không âm thì tổng a+b+c không âm mà

$a+b+c=0???$

Cho $xy+yz+xz=3$ với x, y, z là các số dương
Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

$A= x\sqrt{\frac{(3+y^2)(3+z^2)}{3+x^2}} + y\sqrt{\frac{(3+z^2)(3+x^2)}{3+y^2}} + z\sqrt{\frac{(3+x^2)(3+y^2)}{3+z^2}}$

$ x\sqrt{\frac{\left ( 3+z^{2} \right )\left ( 3+y^{2} \right )}{3+x^{2}}}= x\sqrt{\frac{\left ( z+x \right )\left ( z+y \right )\left ( z+y \right )\left ( x+y \right )}{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}}= x\left ( y+z \right ) $ Q.E.D

Chứng minh phương trình: $x^{2009}=y^{2}+y+2+x^{2007}$ không có nghiệm nguyên

Phương trình đã cho tương đương:$x^{2007}(x^{2}-1)=y^{2}+y+2$

VT chia hết cho 3,VP không chia hết cho 3 $\Rightarrow$ Q.E.D

Ch0 $a>0$ và $n$ là 1 số tự nhiên

Chứng minh rằng $a^n+\frac{1}{a^n}-2\geqslant n^2(a+\frac{1}{a}-2)$

Bất đẳng thức tương đương với $(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1\geq n^2a^{n-1}$ (hiển nhiên theo AM-GM)

Cho a,b,c>o và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c$. chứng minh rằng:

a+b+c$\geq$3abc

Từ giả thiết ta có:$abc\leq\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\leq\frac{a+b+c}{3}\Rightarrow$Q.E.D

Cho a,b,c,d>0. chứng minh rằng:

$(a^2+1)(b^2+2)(c^2+4)(d^2+8)\geq (ac+2)^2(bd+4)^2$

Sử dụng Cauchy-Schwarz $(a^2+1)(c^2+4)\geq(ac+2)^2$ và $(b^2+2)(d^2+8)\geq(bd+4)^2\Rightarrow $Q.E.D

Cho $a,b,c\geq 1$. Chứng minh rằng:

 

               $\frac{a^{3}+2}{b^{2}-b+1}+\frac{b^{3}+2}{c^{2}-c+1}+\frac{c^{3}+2}{a^{2}-a+1}\geq 9$

Ta có $a^{3}+2-3\left ( a^{2}-a+1 \right )= \left ( a-1 \right )^{3}\geq 0\Rightarrow a^{3}+2\geq 3\left ( a^{2}-a+1 \right )$,sau đó áp dụng AM_GM,ta có đpcm

Cho $x,y,z$ là các số thực dương  . Chứng  minh: $\cfrac{2x^2+xy}{\left ( y+\sqrt{zx}+z \right )^2}+\cfrac{2y^2+yz}{\left ( z+\sqrt{xy}+x \right )^2}+\cfrac{2z^2+zx}{\left ( x+\sqrt{yz}+y \right )^2}\geqslant 1$

bạn xem ở đây,trang cuối,#77 http://www.mathscope...ead.php?t=33820

Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2,chứng minh rằng đa thức $P\left ( x \right )= x^{n}+29x^{n-1}+2009$ không thể phân tích thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc =1.Chứng minh rằng:

$\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^3+1}\leq 3(a+b+c)$

Đề có sai không vây bạn ??? $c^{3}$ hay $c^{2}$

Cậu có thể giải thích tại sao :

$P\geq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)-\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{9}$

$\sum a^{2}\left ( b+2c \right )= ab\left ( a+b \right )+bc\left ( b+c \right )+ca\left ( c+a \right )+a^{2}c+ab^{2}+bc^{2}$

$\leq  ab\left ( a+b \right )+bc\left ( b+c \right )+ca\left ( c+a \right )+a^{3}+b^{3}+c^{3}= \left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )$

Cho n là số nguyên dương lẻ,chứng minh rằng:

$$C^{2n}_{4n}\equiv 0 \pmod{8n+4}$$ 

$2x+y+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=17$

$y\sqrt{x^{2}-y^{2}}=12$

Ta có :$2x+y+\sqrt{x^{2}-y^{2}}= 17\Leftrightarrow \left ( 17-2x \right )^{2}= x^{2}+2y\sqrt{x^{2}-y^{2}}$,từ đây ta dễ dàng giải được bài toán.

Cho a,b,c >0 thỏa: $9(a^4+b^4+c^4)-25(a^2+b^2+c^2)+48 = 0$

Tìm giá  trị nhỏ nhất của biểu thức:

$F = \frac{a^2}{b+2c}+ \frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}$

Bạn xem ở đây :http://www.artofprob...p?f=51&t=538252

Tìm :

$lim_{n\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{1!} +\frac{1}{2!}++...+\frac{1}{n!}\right )$

Cho $a,b,c$ dương, chứng minh

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt{a^2+b^2-ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}+\sqrt{c^2+a^2-ac}$$

Ta có:

$\sum \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}\doteq \sum \sqrt{\frac{1}{4}\left ( a+b \right )^{2}+\frac{3}{4}\left ( a-b \right )^{2}}\geq \sum \left ( \frac{1}{2} \left ( a+b \right )\right )= a+b+c$

Sử dụng Cauchuy-Schwarz:

$\sum \frac{a^{2}}{b}= \sum \frac{a^{2}-ab+b^{2}}{b}\geq \frac{\left ( \sum \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}} \right )^{2}}{a+b+c}\geq \sum \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}$

Giải phương trình sau:

$\sqrt[4]{x- \sqrt{{x}^{2}-1}} + \sqrt{x+ \sqrt{{x}^{2}-1}} = 2$

Em giải ra biết là đáp số x = 1 nhưng trong quá trình giải phải chứng minh 1 nghiệm khác là vô nghiệm. Giả sử như mình đặt ẩn là:

$x- \sqrt{{x}^{2}-1}$

thì khi giải sẽ ra nó bằng 1 và bằng $\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$ . Chứng minh cái nghiệm xấu ở sau là vô nghiệm ( không tìm ra x ) khá là lâu với cách bình phương hì hục. Không biết có ai tìm được cách giải khác hay hơn không?

Xin cám ơn trước

@Mod:Chú ý tiêu đề nhé !

Điều kiện của x là $x\geq 1$.

Ta có :$x-\sqrt{x^{2}-1}= \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}}\leq 1\Rightarrow \sqrt[4]{x-\sqrt{x^{2}-1}}\geq \sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}$

Do đó :

VT=$\sqrt[4]{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}\geq \sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}\geq 2$=VP

Do đó $x=1$

Cho $n$ số nguyên dương khác nhau. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ sao cho tổng ba số bất kì trong $n$ luôn là một số nguyên tố.

Giả sử $n\geq 5$.Ta chọn 5 số tuỳ ý trong n .Gọi các số đó là $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ (chú ý rằng tổng ba só bất kì trong chúng đều lớn hơn 3)

Trong ba số bất kì thì chỉ có duy nhất hai số đồng dư mod 3 (vì nếu cả ba đều có số dư khác nhau hoặc giống nhau khi chia cho 3 thì tổng của chúng chia hết cho 3 suy ra mâu thuẫn theo đề bài )

.Xét $a_{1},a_{2},a_{3}$ ,theo lập luận trên ít nhất có hai số đòng dư mod 3,giả sử $a_{1}\equiv a_{2}$ (mod 3).

Xét $a_{2},a_{3},a_{4}$ thì$a_{3}\equiv a_{4}$ (mod 3) (vì nếu $a_{2}\equiv a_{3}$ hoặc $a_{2}\equiv a_{4}$ thì ($a_{1}+a_{2}+a_{3}\equiv 0$ (mod 3) hoặc $a_{1}+a_{2}+a_{4}\equiv 0$ mod 3 suy ra vô lí ) (1)

Xét $a_{2},a_{4},a_{5}$ thì tương tự suy ra $a_{4}\equiv a_{5}$ (mod 3) (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

$a_{3}\equiv a_{4}\equiv a_{5}\left ( mod 3 \right )\Rightarrow a_{3}+a_{4}+a_{5}\equiv 0$ (mod 3) ,mâu thuẫn đè bài,vậy giả sử sai suy ra $nn\leq 4$

Bộ 4 số (1,3,7,9) thoả yêu cầu bài toán.Vậy n lớn nhất bằng 4.

cho các số thực a,b,c thoả mãn a+b+c=0

Cm:(ab-c²)(bc-a²)(ca-b²)=(ab+bc+ac)³

$a+b+c=0$ nên$ab+bc+ca= a\left ( b+c \right )+bc= bc-a^{2}$,tương tự rồi nhân lại ta có đẳng thức cần chứng minh

Số thực a được chọn sao cho phương trình

$4^{x}-4^{-x}= 2cos\left ( ax \right )$ có 2010 nghiệm.Hỏi phương trình

$4^{x}+4^{-x}= 2cos\left ( ax \right )+4$ có bao nhiêu nghiệm?

Cho A là tập hợp các số thực dương phân biệt.Định nghĩa các tập B,C như sau :

$B= \left \{ \frac{x}{y};x,y\in A \right \}$,$C= \left \{ xy;x,y\in A \right \}$

Chứng minh rằng : $\left | A \right |\left | B \right |\leq \left | C \right |^{2}$