Từ $ k\equiv -1(mod p)\Rightarrow k+1\equiv 0( mod p)\Rightarrow k+1=mp$

Từ $ k\equiv -1(mod p)\Rightarrow$ k chia p dư -1

nên k= mp -  1  ( với m ∈N  )

$\Rightarrow$ k + 1 = mp

 

Câu 3 (4 điểm)

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi:

$$\left\{\begin{matrix}x_1&=&1\\ x_{n+1}&=&x_n(1+x_n^{2014}), \forall n \in \mathbb{N}\end{matrix}\right.$$

Tìm $\lim \left( \frac{x_1^{2014}}{x_2}+\frac{x_2^{2014}}{x_3}+...+ \frac{x_n^{2014}}{x_{n+1}}\right)$$

 

$x_{n+1}-x_n=x_n^{2015}$ $\Rightarrow x_{n}$ là dãy tăng

Giả sử $x_{n}$ có giới hạn trên => tồn tại $lim x_{n}=L (L>1)$

Chuyển qua giới hạn, ta có: $L=L(1+L^{2014})$ => L=0 ( vô lí)

$\Rightarrow lim x_n =$ + vô cực

$x_{n+1}-x_n =x_n^{2015}$

$\Rightarrow \frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{x_n^{2014}}{x_{n+1}}$$\Rightarrow lim \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k^{2014}}{x_{k+1}}=lim (\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{n+1}})=1$

đâu có phải phương trình nghiệm nguyên đâu mà chặn như vậy hả bạn

ko cần nghiệm nguyên cũng xét denta được mak` bạn. 

bài này từ pt (2) xét $\Delta$ theo x và y

Pt có nghiệm khi $\Delta \geq 0$. Từ đó chặn được x, y rồi thay vào pt (1) được VT<VP

=> hệ vô nghiệm

mình làm như vậy ko biết đúng ko 

Em làm cách liên hợp này không bít có đúng ko 

PT $(2)\Leftrightarrow x^2=\sqrt[3]{y+6}-2$

 

Thay vào PT $(1)$ ta có

 

$y^3+\sqrt[3]{y+6}-2=\sqrt{66-\sqrt[3]{y+6}}$

 

$\Leftrightarrow\sqrt[3]{y+6}-2=\sqrt{66-\sqrt[3]{y+6}}-y^3$

 

$\Leftrightarrow \frac{y-2}{\sqrt[3]{(y+6)^2}+2\sqrt[3]{y+6}+4}=\frac{66-\sqrt[3]{y+3}-y^6}{\sqrt{66-\sqrt[3]{y+6}}+y^3}$

 

$\Leftrightarrow \frac{y-2}{\sqrt[3]{(y+6)^2}+2\sqrt[3]{y+6}+4}=\frac{2-\sqrt[3]{y+3}+64-y^6}{\sqrt{66-\sqrt[3]{y+6}}+y^3}$

 

Ta có

 

$2-\sqrt[3]{y+6}+64-y^6=\frac{2-y}{\sqrt[3]{(y+6)^2}+2\sqrt[3]{y+6}+4}+(2-y)(y^5+2y^4+4y^3+...+2^5)$

 

Vậy phương trình có nhân tử chung là $y-2$ suy ra $y=2$ suy ra $x=1$

 

P/s: nhìn mấy dòng phân tích trên đã thấy nản không chịu đc không phân tích thêm đc nữa     

đề là $\sqrt{64-x^2y}$ chứ ko phải $\sqrt{64-x^2}$ 

Giải hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} x^3+y^2=2\\ x^2+xy+y^2-y=0 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} y^3+x^2=\sqrt{64-x^2y}\\ (x^2+2)^3=y+6 \end{matrix}\right.$

 

Cho dãy số $x_n$ xác định bởi $x_1   \in $  (1, 2) và $x_{n+1} = 1 + x_n –\frac{ x_n^2}{2}$.

a, CMR $|x_n- \sqrt{2}|< (\frac{1}{2}) ^n$ với mọi n >2

 

b,tìm lim $x_n$

 

Chứng minh được $x_n>0$

Giả sử $(x_n)$ có giới hạn. Gọi $lim x_n=L$

chuyển sang giới hạn, ta có: $1+L-\frac{L^2}{2}=L$$\Rightarrow L=\sqrt{2}$

$|x_{n+1}-L|=|1+x_n-\frac{x_n^2}{2}-1-L+\frac{L^2}{2}|$

$=|(x_n-L)(1-\frac{x_n+L}{2})|=|(x_n-L)\frac{2-x_n-L}{2}|<|x_n-L|.\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow |x_{n+1}-L|<(\frac{2-\sqrt{2}}{2}) ^n.|u_1-L|< (\frac{2-\sqrt{2}}{2}) ^n|2-\sqrt{2}|<\frac{\frac{1}{2}}{2^{n}}<\frac{1}{2^{n+1}}$ (đpcm)

=> $lim x_n =\sqrt{2}$

 

Câu 3: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$.

 

Tìm min của $P=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}$

 

 

$\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}= \frac{x+y+z}{2}$

Mà $(x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+zx)=3$

$\Rightarrow P\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$4S= 1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+...+n(n+1)(n+2)(n+3-n+1) =1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4 +.... + n(n+1)(n+2)(n+3) -n(n+1)(n+2)(n-1)$

     $= n(n+1)(n+2)(n+3) = (n^{2}+3n)(n^{2}+3n+2)=(n^{2}+3n+1-1)(n^{2}+3n+1+1)$

     $= (n^2 +3n+1)^2 -1$

$\Rightarrow 4S+1 = (n^2 +3n+1)^2$ => đpcm

$VT = (21a+\frac{3}{a})+(3b+\frac{21}{b})\geq 2\sqrt{21.3}+2\sqrt{3.21}=12\sqrt{7}> 31$ (AM-GM)

$VT = 1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc \geq 1+3\sqrt[3]{abc} + 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}+abc$   (AM-GM)

      $=(1+\sqrt[3]{abc})^{3} = VP$

Cho 3 số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: trong 3 số $(a-b)^{2}$, $(b-c)^{2}$, $(c-a)^{2}$

có ít nhất một số không vượt quá  $\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

còn bài 2 chứng minh thế nào ???

tại sao $\frac{a^{2}}{\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}}+ \frac{b^{2}}{\sqrt{2(c^{2}+a^{2})}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}$ vậy bạn? bạn giải thích cho mình? ý bạn có phải là $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum \sqrt{2(b^{2}+c^{2})}}$

$(a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2}) \Rightarrow a+b\leq \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

Ta có: $\sqrt{a^{2}+1}= \frac{\sqrt{3}}{4}.2\sqrt{(a^{2}+1).\frac{4}{3}}\leq \frac{\sqrt{3}}{4}.(a^{2}+\frac{7}{3})$ ( theo AM-GM)

Tương tự : $\sqrt{b^{2}+1}\leq \frac{\sqrt{3}}{4}.(b^{2}+\frac{7}{3})$

                  $\sqrt{c^{2}+1}\leq \frac{\sqrt{3}}{4}.(c^{2}+\frac{7}{3})$

Cộng theo vế: $VT \leq \frac{\sqrt{3}}{4}.(a^{2}+b^{2}+c^{2}+7)=\frac{\sqrt{3}}{4}.8=\sqrt{12}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

nhầm dấu phải không bạn ??

Ta đặt: $3n=27x^{3}; 2n=4y^{2}$

$\Rightarrow 9x^{3}=2y^{2} \Rightarrow x\vdots 2 \Rightarrow x^{3}\vdots 8$

$\Rightarrow 3n$ có dạng $27.8k $

$\Rightarrow n=72k$

Xét n=1. thay vào ta thấy thỏa mãn 

Vì vậy, n=72 

Cho các số dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$. Chứng minh bất đẳng thức: $(1+x_{1})(1+x_{1}+x_{2})...(1+x_{1}+x_{2}+...+x_{n})\geq \sqrt{(n+1)^{n+1}}. \sqrt{x_{1}.x_{2}.....x_{n}}$

MOD: Chú ý tiêu đề

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$. Trong đó $x,y$ là các số thực thỏa mãn $2x-y=2$

Chứng minh rằng nếu $2^{n}+1$ là số nguyên tố thì $n$ là lũy thừa của 2

Cho $a, b ,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{5}{2}$

Cho tam giác $ABC$ có M là một điểm nằm trong tam giác. Lấy $H,K,L$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng: $MA+MB+MC\geq 2(MH+MK+ML)$

Cho $a,b,c$ thoả mãn $0< a,b,c< 1$ và $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{a^{2}(1-2b)}{b}+\frac{b^{2}(1-2c)}{c}+\frac{c^{2}(1-2a)}{a}$

Bạn có thể tham khảo đáp án trong bài viết : ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN LÓP 10 TRƯỜNG LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH 2013 - 2014 trên diễn đàn .

bạn gửi cho mình cái link được không? mình tim không thấy