bài toán đúng khi $AE=AD$ chắc đề thiếu thôi....mong mọi người chứng minh giúp ạ 

1. Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $ab+bc+ca\leqslant 3abc$. CMR:

$\sum \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+3\leq 2(\sqrt{a+b} +\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} )$

 

2. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn : $ab+bc+ca=1$. CMR:

$\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leq \frac{1}{abc}$

 

thi trắc nghiệm Toán thì đương nhiên dân toán không đồng tình rồi....Cơ mà e đi học thấy mấy bạn chuyên Xã hội có vẻ rất thích với sự thay đổi này....=((( Cả mấy bạn học Lí Hóa cx thế nữa....Đi thi cứ dựa vào hên xui thế này mà chọn ra cả một thế hệ tương lai thì......

nếu la tìm Min thì dùng trực tiếp am-gm cho dễ:

do $x+y+z=1$ nên :

$A=\frac{(x+x+y+z)(x+y+z+y)(x+y+z+z)}{xyz}\geq \frac{64\sqrt[4]{x^2yz.y^2xz.z^2xy}}{xyz}=64$

Bài 1

Cho a,b,c dương thoả mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh:

 

b)

$\frac{1}{a^2+b^2+k}+\frac{1}{b^2+c^2+k}+\frac{1}{c^2+a^2+k}\leq\frac{3}{2+k}, \forall k\geq 1$

 

b, bđt tđ với:

$\sum \frac{(2+k)^2}{a^2+b^2+k}\leq 6+3k$

ad BĐT Schwarz:

$\sum \frac{(3+(k-1))^2}{(a^2+b^2+1)+(k-1)}\leq \sum \frac{9}{a^2+b^2+1}+3(k-1)\leq 9+3k-3=6+3k$

suy ra đpcm

1.Cho $a,b,c$ là số thực không âm. CMR:
$a^3+b^3+c^3+9abc+4(a+b+c)$ $≥$ $8(ab+bc+ca)$
2. Cho $a,b,c,d$ dương thoả mãn $abcd=4$ và $a^2+b^2+c^2+d^2=10$ .
Tìm GTLN của $ab+bc+cd+da$

1.Cho $a,b,c$ là các số thực không âm.CMR:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}\geq 1$

2. Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $bc=1+a(b+c)$.Tìm GTLN của:

$P=\frac{6a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{4}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{3}{\sqrt{1+c^2}}$

 

1.Cho $x,y,z\geq 1$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$ . CMR:

$\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

 

2. cho $a,b,c$ thỏa mãn $0\leq a,b,c\leq 1$.CMR:

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

 

 

$(abc)^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{abc})^2$

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$.CMR:

$A=\frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^2}+\frac{b}{c(4a+15)(c+2a)^2}+\frac{c}{a(4b+15)(a+2b)^2}\geq \frac{1}{3}$

 

1. Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$. CM:

$a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$

2. Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$. CM:

$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{1}{ab+bc+ca+1}\geq 1$

3. Cho $a,b,c$ dương chứng minh:

$\sum (a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)\geq 3$

 

Tạo chặn thoi
Ta có $x^3+x^2 +x+1 > x^3$
          $x^3+x^2+x+1 < x^3+3x^2+3x+1 <=> 2x^2 +2x > 0 <=>  $x>0 ; x<-1 $
Khi $x>0 , x<-1 $ thì
$x^3 < y^3 < (x+1)^3 $ ( vô lý)
Do đó, chỉ cần xét $x=0; x=-1 $

Mình nghĩ là xét trước trường hợp $x=0;x=-1$
Xong thì xét TH $x#0;x#-1$ thì hợp lí hơn....

$(2x^2+x)^2$ nhỏ hơn $(2y)^2$ nhỏ hơn $(2x^2+x+2)^2$

Ôi
Mất cả tuần mới đọc xong
Toàn bỏ dở thôi.....

Đọc lúc đầu thấy mất thời gian
Cuối cùng thấy k hối hận vì đã đọc hết nó

Giật mình
Topic này hơn 4 năm rồi

10 năm
Topic siêu già r đọ.....

$c+ab=c(a+b+c)+ab=(c+a)(c+b)$
Dùng AM-GM phân số đầu cộng thêm với (c+a)/8a + (c+b)/8b
Tương tự vậy với hai phân số kia là ra
( latex đơ )

1. Cho $x,y,z$ dương. CMR:

$4(xy+yz+xz)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{x+z}+\sqrt{z+x})$

2. Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $6a+3b+2c=abc$

Tìm MAX của: $\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{b^2+4}}+\frac{3}{\sqrt{c^2+9}}$

 

Bài này khá đơn giản .

Theo bài ra ta có:

$x^{2}+y^{2}=2x^2y^2\geq 2xy\Leftrightarrow xy\geq 1$

Do đó:

$x^2y+xy^2=xy(x+y)\geq 2xy.\sqrt{xy}\geq 1$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$

phải là $2$ chứ...

ta có:

$x^2+y^2=2x^2y^2$

và $x^2+y^2\geq 2xy$

suy ra $2x^2y^2\geq 2xy$

mà $x,y$ dương nên $xy\geq 1$

suy ra $x^2y+y^2x\geq 2$ (theo Cauchy)

dấu $=$ xảy ra khi $x=y=1$

Kinh điển
Các bác toán hào hứng chém gió tình cảm hơn cả giải toán!!!!

Ta có
$(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)$ lớn hơn hoặc bằng $(a^2+b^2+c^2)^2$
Suy ra $3(a^3+b^3+c^3)$ lớn hơn hoặc bằng $(a^2+b^2+c^2)^2$
Mà $(a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2)$ lớn hơn hoặc bằng $(a^3+b^3+c^3)^2$
suy ra $a^4+b^4+c^4$ lớn hơn hoặc bằng 3
Đpcm

$(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$ suy ra $(x+y)^2$ lớn hơn hoặc bằng $4xy$
Suy ra đpcm

1.Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc\leq 4$ CMR

$a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$

2.Cho các số $x,y,z$ dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3xyz$.CMR

$\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\leq \frac{3}{2}$