$\left\{\begin{matrix}

xy(2x+y-6)+y+2x=0 &  & \\ 

 (x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{xy})^{2}=8&  & 

\end{matrix}\right.$

 

  Nhìn pt2 là ta nghĩ tới phương pháp đánh giá!

 Có: $(x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{xy})^{2}\geq 2xy\cdot \frac{4}{xy}=8$

Dấu = khi x=y và xy=1$\Rightarrow x=y=+-1$

 Thay vào pt1 chỉ thỏa TH x=y=1

                                                                    KÌ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

                                                                         KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

                                                                                                LẦN THỨ X, NĂM 2017

                                                                                                                                            

                                                                                             ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC

                                                                                                        LỚP: 10     

 

 

Bài 1: Giải phương trình $x^{2}+2\sqrt{2x+7}=2\sqrt{3-2x}+5 (x\in R)$

 

Bài 2: Cho tam giác ABC (AB<AC) nhọn, không cân nội tiếp (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm BC. Đường tròn (J) ngoại tiếp tam giác AEF cắt (O) tại điểm thứ hai là K (K$\neq$A). Đường thẳng AM cắt (J) tại điểm thứ hai là Q (Q$\neq$A). EF cắt AD tại P. Đoạn PM cắt (J) tại N.

  a) CM các đường KF, EQ, BC đồng quy hoặc song song và K, P, Q thẳng hàng.

  b) CM đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC.

 

Bài 3: Tìm tất cả bộ 3 số nguyên (a,b,c) sao cho $\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2}+2$ là lũy thừa của 2016²⁰¹⁷

 

Bài 4: Cho a,b,c dương thỏa $\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}=2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

        CM a²+b²+c²+3$\geq$2(ab+bc+ca)

 

Bài 5: Cho 1 bảng ô vuông kích thước 10x10, trên đó đã điền các số nguyên dương từ 1 đến 100 vào các ô vuông con theo trình tự như hình a. Ở mỗi bước biến đổi người ta chọn tùy ý 3 ô vuông con liên tiếp theo hàng hoặc cột hoặc đường chéo của hình vuông 3x3 (hình b) rồi thưc hiện: Hoặc là giảm số ô nằm giữa đi 2 đơn vị đồng thời tăng số ở 2 ô liền kề lên 1 đơn vị, hoặc là tăng số ô nằm giữa lên 2 đơn vị đồng thời giảm số ở 2 ô liền kề đi 1 đơn vị. Giả sử sau hữu hạn lần biến đổi, tập hợp tất cả các số ghi trên bảng ô vuông vẫn là tập {1;2;3;....;100). CMR khi đó các số ghi trên bẳn theo đúng vị trí như trước khi biến đổi.    

 $\sqrt{x\left ( x+1 \right )}+\sqrt{x-2}\geqslant \sqrt{3\left ( x^{2}-2x-2 \right )}$

  BPT$\Leftrightarrow \sqrt{x(x+1)(x-2)}\geq (x^{2}-2x)-2(x+1)\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}-2x}+\sqrt{x+1})(\sqrt{x^{2}-2x}-2\sqrt{x+1})\leq 0\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-2x}\leq 2\sqrt{x+1}$

 

  Mk chỉ viết cái dàn thôi, bạn tự làm chi tiết nha.

    Sở Giáo Dục và Đào Tạo                                 Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 cấp THCS

            tỉnh Nghệ an                                                                   Năm học 2016-2017

 

Câu 3: (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=135^{\circ}$, $BC=5 cm$ và đường cao $AH=1 cm$. Tính độ dài các cạnh $AB$ và $AC$.

 Câu 3:

     Kẻ BK$\perp AC$$\Rightarrow AK=BK$

 $\Delta CAH\sim \Delta CBK\Rightarrow AC.BK=BC.AH=5$  (1)

 Mặt khác: BK²+CK²=BC²$\Rightarrow BK^{2}+AK^{2}+AC^{2}+2AK.AC=25\Rightarrow 2BK^{2}+AC^{2}+2BK.AC=25$   (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow AC=\sqrt{5}\rightarrow AB=\sqrt{10}$

$\left\{\begin{matrix} &8^x-4^{x+1} -5.2^x=2^y-6 & \\ & 7.4^x+9.2^x =4+8^y & \end{matrix}\right.$

 Đặt 2^x=a; 2^y=b

 Hệ viết lại thành:$\left\{\begin{matrix} a^{3}-4a^{2}-5a=b-6 & \\ 7a^{2}+9a=4+b^{3} & \end{matrix}\right.\Rightarrow a^{3}+3a^{2}+4a=b^{3}+b-2\Leftrightarrow (a+1-b)[(a+1)^{2}+(a+1)b+b^{2}+1]=0\Leftrightarrow a-b+1=0$

 Tới đây thế vào là được.

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{x}-8\sqrt{y}=\sqrt{x}+y\sqrt{y} & \\ x-y=5 & \end{matrix}\right.$

  Đặt $\sqrt{x}=a;\sqrt{y}=b$

 Hệ$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{3}-b^{3}=a+8b & \\ 5=a^{2}-b^{2}& \end{matrix}\right.\Rightarrow 5(a^{3}-b^{3})=(a+8b)(a^{2}-b^{2})\Leftrightarrow (a-b)(2a+b)(2a-3b)=0\Leftrightarrow 2a-3b=0$

 Đến đây chỉ cần rút thế là xong.

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{2x+y}{4x+2y+2}}+\sqrt{\frac{3x+1}{x-1}}=2\\ 12x+4y=5(x-1)(2x+y+1) \end{matrix}\right.$

  Đặt 2x+y+1=a; x-1=b thì a;b$\neq 0$

 Ta viết lại hệ thành:

       $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{a-1}{2a}}+\sqrt{\frac{3b+4}{b}}=2 & \\ 4a+4b=5ab& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{a-1}{2a}}+\sqrt{3+\frac{4}{b}}=2 & \\ \frac{4}{a}+\frac{4}{b}=5& \end{matrix}\right.$

   Thế pt2 vào pt1 ta được: $\sqrt{\frac{a-1}{2a}}+\sqrt{8-\frac{4}{a}}=2$   (*)

 Để dễ giải hơn ta đặt: $\sqrt{\frac{a-1}{2a}}=t$  (t$\geq 0)$

   (*)$\Leftrightarrow t+\sqrt{4+8t^{2}}=2\Leftrightarrow t=0$

 Khi đó a=1 và b=4$\rightarrow (x;y)=(5;-10)$

Sau khi cộng vào biến đổi tiếp ntn vậy

Cộng các phân số có cùng mẫu lại là được:-)

a,b,c>0. CMR:  \frac{ab}{a+3b+2c} + \frac{bc}{b+3c+2a} + \frac{ca}{c+3a+2b} \leq  \frac{a+b+c}{6}

 Áp dụng bđt quen thuộc:

        $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{9}{a+3b+2c}\Rightarrow \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{ab}{9}(\frac{1}{a+b}+\frac{2}{b+c})$

 Thiết lập các bđt tương tự rồi cộng lại là có đpcm

cho x, y, z >0 và x+y+z =1. tìm GTLN của biểu thức :$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

 Đặt P=$\sum \frac{x}{x+1}$

Có: 1-P=x+y+z-P=$\sum \frac{x^{2}}{x+1}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{x+y+z+3}= \frac{1}{4}$

  $\Rightarrow P\leq \frac{3}{4}$

  Dấu = xảy ra khi x=y=z=$\frac{1}{3}$

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\\ 3x-4y=5 \end{matrix}\right.$

   Xét pt1:   x²+y²$=x\sqrt{1-y^{2}} +y\sqrt{1-x^{2}}\leq 1$

 Ta sẽ đi chứng minh x²+y²$\geq 1$

 Từ pt2 thế vào ta có:   $x^{2}+y^{2}=(\frac{4y+5}{3})^{2}+y^{2}= \frac{(5y+4)^{2}+9}{9}\geq 1$

 Đến đây thì dễ rồi

tìm tất cả các cặp số nguyên dương m,n sao cho 2m+1 chia hết cho n và 2n+1 chia hết cho m

 Vì vai trò m, n như nhau, giả sử m$\geq n$

 Xét các trường hợp:

• Nếu m=n thì $2m+1\vdots m\Rightarrow m=n=1$
• Nếu m>n, đặt 2n+1=pm (p$\in N*$)

             Vì 2m>2n$\Rightarrow 2m> 2n+1=pm\Rightarrow p<2\Rightarrow p=1$

           Khi p=1 thì: 2n+1=m$\Rightarrow 2(2n+1)+1= 2m+1\vdots n\Rightarrow 4n+3\vdots n\Rightarrow 3\vdots n\Rightarrow n=1;3$

      Với n=1 thì m=3

      Với n=3 thì m=7

 Vậy (m;n)={(1;1); (3;1); (7;3)}

Bài 6: Giải hpt

     $\left\{\begin{matrix} x^{3}-2y^{3}=x+4y& \\ 6x^{2}-19xy+15y^{2}=1 & \end{matrix}\right.$

Bài 7: Với x,y$\in$R⁺ thỏa mãn xy>2013x+2014y chứng minh:

                    x+y$> (\sqrt{2013}+2014)^{2}$ 

Hôm nay mình lập ra topic này nhằm cũng các bạn ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi HSG cấp tỉnh sắp tới. Chúng ta cùng làm bài tập tổng hợp hoặc luyện đề thôi nhé

Mở đầu, mình đăng một số bài sau. À mà khi đăng bài tập thì các bạn đánh số tiếp theo nhé, còn đăng đề thi ghi rõ đề của huyện, tỉnh, tp nào nhé!

---------------------------

Bài 2. Cho các số thực không âm a và b. Chứng minh rằng: $\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^8\geq 64ab\left ( a+b \right )^2$

   Bài 2: 

        $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{8}=[(a+b)+2\sqrt{ab}]^{4}\geq [2\sqrt{(a+b)\cdot 2\sqrt{ab}}]^{4}= 64ab(a+b)^{2}(QED)$    

cho x + y = 1; x, y $\geq 0$. tìm GTNN  của $\left ( x^{2} + \frac{1}{y^{2}} \right )\left ( y^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right )$

  Có: $(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})=x^{2}y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}+2= x^{2}y^{2}+\frac{1}{256x^{2}y^{2}}+\frac{255}{256x^{2}y^{2}}+2\geq 2\cdot \sqrt{\frac{1}{256}}+\frac{255}{256(\frac{x+y}{2})^{4}}+2= \frac{289}{16}$

  Dấu = xảy ra khi x=y=$\frac{1}{2}$

b, $\left\{\begin{matrix} x^2=xy+1\\ y^2=3(y-2x) \end{matrix}\right.$

Lấy pt1*4+pt2 rồi đặt ẩn t=2x-y ta được: t^2+3t-4=0
#Dùng dt không viết được công thức :-)#

$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{y+5}=1\\ y+\sqrt{x+5}=1 \end{matrix}\right.$

Đây là một hpt đối xứng loại 2  nên phương pháp giải là trừ hai phương trình theo vế.

 Trừ 2 pt theo vế có: $x-y+\sqrt{y+5}-\sqrt{x+5}=0\Leftrightarrow (x-y)(1-\frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}})=0\Leftrightarrow x=yor\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}=1$

 Nếu x=y thay vào pt1 có: $x+\sqrt{x+5}=1$  (dễ rồi)

 Nếu $\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}=1\Leftrightarrow \sqrt{x+5}=1-\sqrt{y+5}$

     Thay vào pt2 có: $y-\sqrt{y+5}=0$ (dễ rồi)

 Vậy..............

 

1.    $\left\{\begin{matrix} x^{2}+4y^{2}=5& \\ 4x^{2}y+8y^{2}x+5x+10y=1 & \end{matrix}\right.$

 

 Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+2y)^{2}=(4xy+5) & \\ (x+2y)(4xy+5)=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow (x+2y)^{3}=1\Leftrightarrow x=1-2y$

  Phần còn lại dễ rồi@

 

 

 

2.   $\left\{\begin{matrix} \frac{2}{x}+\frac{y}{3}=3 & \\ \frac{x}{2}+\frac{3}{y}=\frac{3}{2}& \end{matrix}\right.$

 

   ĐK:x,y khác 0

Nhân 2 pt lại được:

    $\frac{5}{xy}+\frac{xy}{5}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow 2(xy)^{2}-25xy+50=0\Leftrightarrow (xy-10)(2xy-5)=0$

 Phần còn lại dễ rồi@

a+b+c=18 $\sqrt{2}$

   Đề bài thiếu một dấu căn nhé

Áp dụng bđt Schwarz có:

  $VT\geq \frac{9}{\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+a)}+\sqrt{c(a+b)}}$

Ta phải đi CM: $\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+a)}+\sqrt{c(a+b)}\leq 36$

   Có: 2a+(b+c)$\geq 2\sqrt{2}\sqrt{a(b+c)}$

  Thiết lập các bđt tương tự rồi cộng theo vế là OK   

cho a,b,c la cac so thuc duong thoa man dieu kien a+b+c=1.chung minh rang

$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

    Bài làm

 Ta có: $a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\leq \frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{a}{3}+ab)+\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{b}{3}+bc)+\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{c}{3}+ca)= \frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{1}{3}+ab+bc+ca)\leq \frac{\sqrt{3}}{2}[\frac{1}{3}+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}]= \frac{1}{\sqrt{3}}$

  Dấu = xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{3}$ 

Câu2:
Đặt x+1=a; căn(2x+1)=b
Pt trở thành: a+b=căn(3a^2+b^2)
Bình phương,chuyển bế được pt tích: a(a-b)=0
Phần còn lại bạn làm tiếp nhé mk dùng đt không viết được công thức =))

Biết $\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}=2016$ thì giá trị biểu thức $P=\frac{y^{2}}{x+y}+\frac{z^{2}}{y+z}+\frac{x^{2}}{z+x}=?$

 Xét hiệu: $(\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x})-(\frac{y^{2}}{x+y}+\frac{z^{2}}{y+z}+\frac{x^{2}}{z+x})= \frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}-z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}-x^{2}}{z+x}= x-y+y-z+z-x=0\Rightarrow \frac{y^{2}}{x+y}+\frac{z^{2}}{y+z}+\frac{x^{2}}{z+x}=\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}=2016$ (đpcm)

Cho 3 số x,y, z bất kì.CMR 

$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+xz+z^{2}}\geq \sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}$

  Ta có: VT=$\sqrt{(x+\frac{y}{2})^{2}+\frac{3y^{2}}{4}}+\sqrt{(-x-\frac{z}{2})^{2}+\frac{3z^{2}}{4}}$

 Áp dụng bđt Minkowxki: VT$\geq$$\sqrt{(\frac{y}{2}-\frac{z}{2})^{2}+(\frac{y\sqrt{3}}{2}+\frac{z\sqrt{3}}{2})^{2}}= \sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}$  (đpcm)

 

cho x;y >0 và x+y≤1

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}+4xy$

 

 Nhận thấy dấu = xảy ra khi x=y=$\frac{1}{2}$

Ta có: BT=$(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy})+(\frac{1}{4xy}+4xy)+\frac{1}{4xy}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}+2+\frac{1}{(x+y)^{2}}\geq 7$

Bạn ra thiếu nghiệm rồi, có 6 nghiệm cơ, hình như cậu sai vài nghiệm rồi

Nhầm chút, mk sửa lại rồi đấy