Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm  nguyên dương:

$x^{4}-1=3y^{2}$

Chứng minh rằng hàm số $f(x)$ đơn điệu thì có hữu hạn điểm gián đoạn. Ngoài ra, nếu $f(x)$ đơn điệu trên $[a,b]$ thì có thể tồn tại $t$ thuộc $[a,b]$ sao cho $t$ là điểm gián đoạn loại I hoặc $t$ là điểm gián đoạn loại II hoặc $t$ là điểm gián đoạn bỏ được hay không?

Cho tập A = {a,b} cùng với phép toán nhân thông thường tạo thành tập đóng. Biết $a,b\in \mathbb{N}$;$0\leq a,b\leq 9$, a # b. Hỏi có tất cả bao nhiêu tập A thỏa mãn?

Cho V là một K - không gian vectơ

Cho S = {$v_{1},v_{2},...,v_{m}$} và T = {$u_{1},u_{2},...,u_{k}$}

$S,T\subset V$ và $T\subset SpanS$, T độc lập tuyến tính. 

CMR: $k\leq m$

Cho A,B là hai ma trận khả nghịch. Giả sử $A^{5}=I$, $AB^{2}=BA$ và B#I. Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho $B^{k}=I$, trong đó I là ma trận đơn vị.

Chứng minh rằng hệ phương trình tuyến tính có n phương trình n ẩn số thì hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0

Mọi người giúp mình bài này với ạ:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn $f(1)=0$ và $\int_{0}^{1}(f'(x))^{2}=\int_{0}^{1}(x+1)e^{x}f(x)dx=\frac{e^{2}-1}{4}$. Tính $\int_{0}^{1}f(x)dx$

 

Cho $\epsilon _{0}=1,\epsilon _{1},...,\epsilon _{2020}$ là 2021 căn bậc phức 2021 của 1. Tính A = $\prod_{i=1}^{2020}(1-\epsilon _{i})$

Cho $P_{2023}$ là tập các đa thức có bậc không vượt quá 2023 và $W=\left \{ p(x)\in P_{2023}|p(x-1)=-1) \right \}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

1) dimW = 2021

2) dimW < 2021

3) Một cơ sở của W là $\left \{ 1,x,x^{2},...,x^{2023} \right \}$

4) W không phải là một không gian vectơ

 

Cho $a_{0}=\sqrt{2}$,$b_{0}=2$,$a_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-a_{n}^{2}}}$,$b_{n+1}=\frac{2b_{n}}{2+\sqrt{4+b_{n}^{2}}}$

1. Chứng minh $(a_{n},b_{n})$ không tăng và hội tụ về 0

2. Chứng minh $(2^{n}a_{n})$ tăng và $(2^{n}b_{n})$ giảm và hai dãy đó hội tụ về cùng một giá trị

3. Chứng minh rằng tồn tại một số C sao cho với mọi n thì bất đẳng thức sau luôn đúng:

$0<b_{n}-a_{n}<\frac{C}{8^{n}}$

Cho 3 số nguyên dương a,b,c thỏa mãn mỗi số trong ba số a + 10b, b + 10c, c + 10a hoặc là lũy thừa của 2 hoặc là lũy thừa của 5. Chứng minh rằng abc chia hết cho 10 nhưng không chia hết cho 100

Cho $x = r\cos(a)$ và $y  = r\sin(a)$. Chứng minh $dx.dy = rdr.da$

Cho V là một K không gian vectơ và dimV = n. Xét hệ S = {v1,v2,...,vn}. Chứng minh rằng S là độc lập tuyến tính <=> S là hệ sinh của V

Mọi người giúp mình công thức tổng quát tính hệ số của một hạng tử của một đa thức mũ được không?

Ví dụ tính hệ số của $x^{t}$ trong khai triển đa thức $(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{k}x^{k})^{n}$

Cho khai triển Taylor của hàm số f(x) = tan(4+3x)  tại x=1 tới cấp hai ta được:

$tan(7)+3(1+tan^{2}(7))(x-1)+a(x-1)^{2}+o((x-1)^{2})$. Giá trị của a là:...

Có bao nhiêu cách viết số nguyên dương n thành tổng các số nguyên dương? (hai cách viết 1+3+1+2 và 2+1+1+3 được coi là giống nhau)

Tìm a,b là các số nguyên dương sao cho $(a^{3}+b)(a+b^{3})$ là một lũy thừa của 3

Cho ma trận A là ma trận vuông cấp n có đường chéo chính bằng không. Chứng minh rằng: $det(-A)=(-1)^{n}.det(A)$

Cho $f(x)=x+e^{x}$ và $g(x)=\frac{x+1}{2x-1}$. Tìm $f^{-1}(g^{-1}(g^{-1}(f(0))))$

Cho V là một K không gian vectơ và dimV = n. Xét $S=\left \{ v_{1},v_{2},...,v_{n} \right \}$ .Chứng minh rằng S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi SpanS=V

Cho a,b,m là các số nguyên dương thỏa mãn:

(a,m)=(b,m)=1

$a^{x}\equiv b^{x}$ (mod m)

$a^{y}\equiv b^{y}$ (mod m)

CMR $a^{gcd(x,y)}\equiv b^{gcd(x,y)}$ (mod m)

cái tính chất này mik ko bt có đúng hay ko nữa@@

Mình nghĩ là như thế này, không biết chuẩn không.

Ta chỉ cần xét trường hợp $x\neq y$.

Giả sử $x>y$.

Đặt $x=yq+r(r,q\in\mathbb N^*; r<y)$.

Nếu $r=0$ thì $\gcd(x,y) = y$ nên bài toán hiển nhiên đúng.

Nếu $r>0$ thì $(a^y)^q.a^r\equiv (b^y)^q.b^r\pmod m$.

Do $(a,m)=(b,m)=1$ và $a^y\equiv b^y\pmod m$ nên $a^r\equiv b^r\pmod m$.

Lúc này, $\gcd(x,y)=\gcd(y,r)$ nên lặp lại liên tục, ta có bài toán đúng theo giải thuật Euclid.

mik ko hiểu cái đoạn triệt tiêu thành a^r đồng dư b^r mod m lắm

Giả sử n là số nguyên dương mà 3^n - 2^n là lũy thừa của một số nguyên tố. CM n là một số nguyên tố

Tìm các hàm số f:$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2}) \forall x,y \mathbb{R}$$

Cho tam giác ABC có phân giác BE,CF cắt nhau tại I.(AIB) cắt BC tại M.IM cắt EF tại Q. CMR QA là tiếp tuyến của (AIB)