CHo hàm số f: Z--->R thoả

$f(n)=\left\{\begin{matrix} n-10 &(n>100) & \\ f(f(n+11)) & (n\leqslant100) & \end{matrix}\right.$

Chứng minh f(n)=91 với n<=100

x,y>0, x+y=1 tìm min,max

$\sqrt{x^{2014}+1} + \sqrt{y^{2014}+1}$

Tô màu các số nguyên dương từ 1 đến 2010. SỐ nào chia 24 dư 17 tô xanh, số nào chia 40 dư 7 tô đỏ. Còn lại tô vàng.

a) Có bao nhiêu số tô vàng?

b) Tìm các cặp (a,b) thỏa a tô xanh, b tô đỏ và khoảng cách giữa a,b là 2 .

Tô màu các số nguyên dương từ 1 đến 2010. SỐ nào chia 24 dư 17 tô xanh, số nào chia 40 dư 7 tô đỏ. Còn lại tô vàng.

a) Có bao nhiêu số tô vàng?

b) Tìm các cặp (a,b) thỏa a tô xanh, b tô đỏ và khoảng cách giữa a,b là 2 .

Tìm hàm số f: N--->N thoả f(1)>0 và

$f(m^{2}+n^{2})=f^{2}(m)+f^{2}(n)$

Tìm f(x)

À không giải quy nạp nhá, cách khác !

TÌm CTTQ

u1=1

$u_{n}= u_{1} + 2u_{2} +....+(n-1)u_{n-1}$

Tìm hàm số f: N*---------->N* thỏa:

N* ---> N* thỏa f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n)=3n mọi n thuôc N*

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1+2x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+2xy}} & & \\\sqrt{x(1-2x)} +\sqrt{y(1-2y)}=\frac{2}{9} & & \end{matrix}\right.$

tìm hàm số f Q+ ------> R+

f(x+1) = f(x)+1 và $f(x^{3}) = f^{3}(x)$ mọi x thuộc Q+

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R). Gọi D,E,F lần lượt là chân đường cao hạ từ A,B,C.

1> Xét tứ giác nội tiếp BFEC,AEDB,ÀDC, chứng minh rằng:

cosA+cosB+cósC+cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA = $\frac{ab+bc+ca}{4R^{2}}$

2> Gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm BC,CA,AB. Xét tứ giác OMCN,OPBM,OPAN, cm/r:

OM.(b+c) + ON.(a+c) + OP.(a+b)=(a+b+c).R

a.(BH+CH) + b(CH+AH) + c(AH+BH)=2R.(a+b+c)

Cho đường tròn tâm I bán kính 1. Kẻ 2 đường vuông góc AB và CD. Lấy điểm M trên cung nhỏ BD không trùng B,D. MA cắt CD tại E, MC cắt AB tại F. Chứng minh:

OM đi qua trung điểm của EF khi và chỉ khi EF có độ dài nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi i là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC. Chứng minh

$S\Delta _{ABC} = IB.IC$

Cho tam giác ABC vuông tai A. Gọi I là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC. Chứnh minh

$S\Delta _{ABC} = IB.IC$

cho abc=2. Chứng minh:

a³+b³+c³ >= 2a$a\sqrt{b+c} + b\sqrt{a+c} + c\sqrt{a+b}$2ab+c−−−−√+2ba+c−−−−√+2cb+a−−−−√

Qua đỉnh D của tứ giác ABCD kẻ các đường thẳng a,b,c lần lượt vuông góc với DA, DB,DC. Gọi E,F,I lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng a và BC, b và CA, c và AB. Chứng minh E,I,F thằng hàng.

Qua đỉnh D của tứ giác ABCD kẻ các đường thẳng a,b,c lần lượt vuông góc với DA, DB,DC. Gọi E,F,I lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng a và BC, b và CA, c và AB. Chứng minh E,I,F thằng hàng.

CHo tứ diện ABCD và bốn điểm M,N,P,Q lần lượt nằm tren các cạnh AB,BC,CD,DA.

a) Biết rằng MA=3MB, 2NB=3NC, PC=2PD, QA=mQD. Hãy xác định m đề M,N,P và Q đồng phẳng.

b) Giả sử MA=xMB, NB=yNC, PC=zPD và QD=tQA. Hảy tìm hệ thức liện hệ giữa x,y,z,t biết M,N,P,Q đồng phẳng

CHo tứ diện ABCD và bốn điểm M,N,P,Q lần lượt nằm tren các cạnh AB,BC,CD,DA.

a) Biết rằng MA=3MB, 2NB=3NC, PC=2PD, QA=mQD. Hãy xác định m đề M,N,P và Q đồng phẳng.

b) Giả sử MA=xMB, NB=yNC, PC=zPD và QD=tQA. Hảy tìm hệ thức liện hệ giữa x,y,z,t biết M,N,P,Q đồng phẳng

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm các mặt đối diện với các đỉnh A,B,C,D lần lượt là A',B',C',D'. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,BC,AD,BD,AC. Chứng minh:

a) AA',BB',CC' đồng quy,\. Gọi điểm đòng quy là G.

b) C/m G là trung điểm của các đoạn MN,PQ,RS

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1, M tùy ý.

Chứng minh:

$\large a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}).MA + b^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2}).MB + c^{2}(b^{2}+a^{2}-c^{2}).MC >= (abc)^{2}$

cho M là điểm tùy ý trong tam giác ABC đều. Gọi a1,b1,c1 là hình chiếu của M lên BC,AC,AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của

P=$\large \frac{MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}}{MA_{1}^{2}+MB_{1}^{2}+MC_{1}^{2}}$

Em nghe nói LHP không đăng cai nữa

Nghe thầy mình nói là còn mà không biết sao nữa ...

mà hình như cũng chỉ tổ chức nội bộ tp hcm thôi

cho abc=2. Chứng minh:

a³+b³+c³ >= 2a$2a\sqrt{b+c}+ 2b\sqrt{a+c}+ 2c\sqrt{b+a}$