\[\int\limits_0^1 {f\left( { - t} \right)dt}  = \int\limits_0^1 {f\left( { - x} \right)dx} \,\,\,\,\,\left( * \right)\]

Chào bạn,

Lý do để sách đưa ra lời giải như vậy là dựa vào tính chất của tích phân xác định: Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số lấy tích phân, cận số mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu các biến số tích phân. Điều này có nghĩa là:

Với tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx$ thì ta cũng có được $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_a^b {f\left( z \right)} dz = \int\limits_a^b {f\left( v \right)} dv$, v.v...

Tính định thức

$D_{n}=\begin{vmatrix} \frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &0 &0 &\cdots &0 &0 \\ 1 &\frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &0 &\cdots &0 &0 \\ 0 &1 &\frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &\cdots &0 &0 \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 &0 &0 &0 &\cdots &1 &\frac{2}{x} \end{vmatrix}$

Với $x \ne 0$, khai triển định thức theo dòng (1):

Bạn /anh cho mình hỏi đáp số là $\frac{n+1}{x^{n}}$ phải không

Đáp số: $\boxed{{D_n} = \dfrac{{n + 1}}{{{x^n}}}}$

Cụ thể:

Phương trình sai phân có nghiệm kép $k = \frac{1}{x}$ do đó ${D_n}$ có dạng tổng quát:

\[{D_n} = \left( {{C_1} + n{C_2}} \right){\left( {\frac{1}{x}} \right)^n}\]

Hai hằng số ${C_1},{C_2}$ được xác định dựa vào điều kiện ban đầu. Tính trực tiếp ${D_1},{D_2}$ ta được:

Tính $\lim_{n\mapsto +\infty }\left ( 1+ \frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\right )$ sử dụng nguyên lý kẹp.

\[\mathop {\lim }\limits_{n \mapsto  + \infty } \left( {1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n}} \right) =  + \infty \]

Mình không biết sử dụng nguyên lí kẹp như thế nào 

Bạn có thể trình bày cách nào để suy ra \[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {1 + \ln \left( {1 + \frac{1}{2}} \right) + \ln \left( {1 + \frac{1}{3}} \right) + ... + \ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \right] = \infty \]

 

Ta chứng minh

$1+\ln (1+\frac{1}{2})+\ln (1+\frac{1}{3})+...+\ln (1+\frac{1}{n})< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$

Bạn ơi chứng minh điều này giúp mình với.

Cái này mới chặn trên thôi còn phải chặn dưới nữa. :3

Cái này chỉ mới chặn dưới thôi, còn phải chặn trên nữa

OK

Ta có

$1 + \ln \left( 1 + \frac{1}{2} \right) + \ln \left( 1 + \frac{1}{3} \right) + ... + \ln \left( 1 + \frac{1}{n}\right)=\ln \frac{n}{2}$

QED.

Rõ hơn xí đi bạn. Mình vẫn chưa rõ

bạn có thể làm cụ thể cách biến   đổi P về cái biểu thức đó được không.

Nếu bạn có thời gian thì làm cả bài cụ thể cho mình luôn nhé

Chắc bạn ấy làm thế này.

Nhân cả tử và mẫu của $P$ với $2$: $P = \frac{{4\left( {{x^2} + 6xy} \right)}}{{2 + 4xy + 4{y^2}}}$

Thay $2 = {x^2} + {y^2}$ vào $P$ ta được: $P = \frac{{4\left( {{x^2} + 6xy} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + 4xy + 4{y^2}}} = \frac{{4\left( {{x^2} + 6xy} \right)}}{{{x^2} + 5{y^2} + 4xy}}$.

Nếu bạn đang học lớp 12 và đang ôn thi Đại học thì chúng ta có một cách khá là đơn giản là dùng phương pháp lượng giác hóa.

 

Nhận xét rằng x, y là các số thực bất kỳ thỏa mãn $x^2+y^2=1$ nên ta đặt $\left\{\begin{matrix} x=\cos \varphi \\ y=\sin \varphi \end{matrix}\right.,\varphi \in \left [ 0;2\pi \right ]$

 

Từ đó bài toán sẽ phải được trình bày lại

Hãy tìm lỗi sai cho lời giải sau.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = \sqrt x \\ v = \sqrt {9 - x}  \end{array} \right.\,\,\left( {u,v \ge 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v + uv = m\\ {u^2} + {v^2} = 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v + uv = m\\ {\left( {u + v} \right)^2} - 2uv = 9 \end{array} \right.$

Khi đó ta được phương trình: \[{\left( {u + v} \right)^2} + 2\left( {u + v} \right) - 9 - 2m = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\]

Đặt tiếp $t = u + v \ge 0$. Phương trình $\left( * \right)$ trở thành: \[{t^2} + 2t - 9 - 2m = 0\,\,\,\,\left( {**} \right)\]

Ta tìm $m$ để phương trình $\left( ** \right)$ có nghiệm không âm. Điều này tuơng đương với:

Tìm m để phương trình có nghiệm:$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-m\sqrt{1-x^{2}}+m+2=0$

Gợi ý:

Điều kiện: $1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 1 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;1} \right]$

Đặt $t = \sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  \Rightarrow {t^2} = 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}}  \Rightarrow \sqrt {1 - {x^2}}  = \frac{{{t^2} - 2}}{2}$. Dựa vào $x$ để tìm điều kiện của $t$.

Khi đó: \[t - m\left( {\frac{{{t^2} - 2}}{2}} \right) + m + 2 = 0\]

Tham khảo tiếp tại đây.

Tìm m để phương trình $x^4+bx^3+x^2+bx+1$ có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt

đầu bài sai rồi thì phải tìm b chứ nhỉ?

Bài này có 2 chỗ nhầm hơi vô duyên.

ER1: Đề bài cho không phải là phương trình mà là đa thức.

Phải là: \[{x^4} + b{x^3} + {x^2} + bx + 1 = 0\]

ER2: Như bạn đã nói, đề cho là $b$, nhưng bảo tìm $m$.

Với đề bài: Tìm $b$ để phương trình ${x^4} + b{x^3} + {x^2} + bx + 1 = 0$ có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt.

Hướng dẫn:

Bước 1: Nhận thấy $x \ne 0$. Chia 2 vế của phương trình cho ${x^2} \ne 0 $ ta được:

\[{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Bước 2: Đặt $t = x + \frac{1}{x}$, tìm điều kiện cho $t$ thoả mãn $x$ đầu bài.

Bưóc 3: Khi đó ta có phương trình: ${t^2} + bt - 1 = 0\,\,\left( 2 \right)$

Bước 4: Tìm $b$ để phương trình $(2)$ có nghiệm $t$ thoả mãn điều kiện đã tìm.

Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

\[x + \sqrt {4 - {x^2}}  = m + x\sqrt {4 - {x^2}} \]

Gợi ý:

Điều kiện: ${x^2} \le 4 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;2} \right]$

Đặt $t = x + \sqrt {4 - {x^2}} $. Từ điều kiện của $x$ suy ra điều kiện của $t$ (bạn tự làm nhé, có thể dùng khảo sát hàm,...)

Khi đó: \[{t^2} = {x^2} + 2x\sqrt {4 - {x^2}}  + 4 - {x^2} = 2x\sqrt {4 - {x^2}}  + 4 \Rightarrow x\sqrt {4 - {x^2}}  = \frac{{{t^2} - 4}}{2}\]

Phương trình đã cho trở thành: \[t = m + \frac{{{t^2} - 4}}{2} \Leftrightarrow 2t = 2m + {t^2} - 4 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 2m - 4 = 0\,\,\,\left( * \right)\]

Đến đây tìm $m$ để phương trình $\left( * \right)$ có ... nghiệm (kết hợp điều kiện để suy ra số nghiệm của $t$). Từ đó suy ra $m$.

Tìm m để bpt $log_{2}\sqrt{x^{2}+2} < log_{2}(mx - m)$ có nghiệm thực

Hướng dẫn:

Từ phương trình đã cho suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l} mx - m > 0\\ \sqrt {{x^2} + 2}  < mx - m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} mx - m > 0\\ {x^2} + 2 < {m^2}{x^2} - 2{m^2}x + {m^2}\,\,\,\,\,\left( * \right) \end{array} \right.\]

Tìm tất cả các hàm số f: R->R thoả mãn:

$xf(y)-yf(x)=f(\frac{y}{x})$ $\forall x,y \in R$

Tham khảo ở đây.

Ba

 

Bạn gõ lại cho rõ hơn đi được không ?

Đề đã rõ rồi đó bạn. Cùng thảo luận nhé.

Tìm các số nguyên dương m, n sao cho các số $m^2+8n$ và $n^2+8m$ đều là số chính phương 

Em tham khảo thêm ở topi này nhé: http://diendantoanho...phương-thi-hsg/

Cho $u_{1} = 1993, u_{n+1} = \frac{u_{n}^2 + 6}{2u_{n} + 1}$. Tìm $limu_{n}$

 

 

 

 

 

Psss : không biết có chứng minh được $u_{n} \geq 2$ không nhỉ ? Mắc mãi chỗ đó @@

Hi bạn,

Dạng bài này bạn có thể tham khảo thêm tại topic này.

Có ai có tài liệu về hàm sinh và chuỗi lũy thừa hình thức thì cho em xin ạ.

ai có tài liệu hình học phẳng ôn thi VMO+TST cho em xin được không???

ĐK: $x\geq 1, y\geq 1$

Pt(1)$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{\frac{x}{y+1}}-\sqrt{\frac{x+y}{x+y+2}} \right )+\left ( \sqrt{\frac{y}{x+1}}-\sqrt{\frac{x+y}{x+y+2}} \right )=0$

...

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)=(2;2)$

Bài này còn một số cách giải khác và có lẽ là "đẹp" hơn lời giải của bạn đấy. 

Sol1: Đánh giá phương trình (1) theo cách khác

Sol2: Đánh giá phương trình (2) trước

Góp một bài cho topic.

Bài 479. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{\sqrt {xy + x} }} + \frac{y}{{\sqrt {xy + y} }} = 2\sqrt {\frac{{x + y}}{{x + y + 2}}}  \hfill \\ x\sqrt {y - 1}  + y\sqrt {x - 1}  = \frac{{{x^2} + 4\left( {y - 1} \right)}}{2} \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Thảo luận tại đây mọi người nhé. Vui lòng gửi bài đúng Box + chú ý tiêu đề.

Topic đã bị khóa.

Bài này bạn đã gửi ở một topic khác. Mình xin chuyển sang đây.

Bài 5

$cos^{2}2x+3(sinx+cosx)^{3}-3sin2x-1=0$

Trích: $cos^{2}2x+3(sinx+cosx)^{3}-3sin2x-1=0$

Khi bị lỗi, các bạn thử xóa bộ nhớ Cache của trình duyệt rồi vào lại xem thế nào nhé.