$a+b+c=3 CMR \sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq 1$

 

theo cauchy-schwaz:

$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}$=$\sum \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a^{3} \right+b^{2}+c )\left ( \frac{1}{a} +1+c\right )}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$=$\frac{1+a+ca}{9}$

 

ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{1+a+ca}{9}\leq 1 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$

mà ta có:

$ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$

từ đay suy ra ĐPCM "=" <=> a=b=c=1

$a+b+c=3 CMR \sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq 1$

theo cauchy-schwaz:

\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq  \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a^{3} \right+b^{2}+c )\left ( \frac{1}{a} +1+c\right )}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a+b+c \right )^{2}}\leq \frac{1+a+ca}{9}

ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{1+a+ca}{9}\leq 1 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$

mà ta có:

$ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$

từ đay suy ra ĐPCM "=" <=> a=b=c=1

$a+b+c=3 CMR \sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq 1$

 

theo cauchy-schwaz:

$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}=\sum \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a^{3} \right+b^{2}+c )\left ( \frac{1}{a} +1+c\right )}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=\frac{1+a+ca}{9}$

 

ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{1+a+ca}{9}\leq 1 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$

mà ta có:

$ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$

từ đay suy ra ĐPCM "=" <=> a=b=c=1

đặt:

$\sqrt{x-2008}$=a

$\sqrt{y-2009}$=b

$\sqrt{z-2010}$=c

(a,b,c>0)

phương trình trở thành:

$\frac{a-1}{a^{2}}$+$\frac{b-1}{b^{2}}$+$\frac{c-1}{c^{2}}$=$\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{4} -\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}\right )$+$\left ( \frac{1}{4} -\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}\right )$+$\left ( \frac{1}{4} -\frac{1}{c}+\frac{1}{c^{2}}\right )$=0

$\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{a} \right )^{2}$+$\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{b} \right )^{2}$+$\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{c} \right )^{2}$=0

từ đây suy ra: a=b=c=2 <=> x=2012;y=2013 và z=2014

$\left ( \frac{2x-3}{14x-41} \right )^{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{7x-23}{19-x} \right )^{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{x+1}{17x-53} \right )^{\sqrt{2013}}$=$3^{1-\sqrt{2013}}$

phương trình nay có một nghiệm x=4. đây la một bài toán thách đố rất hay.

đk:$\frac{2}{3}\leq x\leq 7$

Phương trình đã cho tương đương với:

$\frac{3x-18}{\sqrt{3x-2}+4}+\frac{x-6}{\sqrt{7-x}-1}+\left ( x-6 \right )\left ( 3x^{2}+x-2 \right )$=0

$\Leftrightarrow \left ( x-6 \right )\left ( \frac{3}{\sqrt{3x-2}+4}+\frac{1}{\sqrt{7-x}-1} +3x^{2}+x-2\right )$=0

$\Leftrightarrow x=6$

vì với $\frac{2}{3}\leq x\leq 7$

thì: $\left ( \frac{3}{\sqrt{3x-2}+4}+\frac{1}{\sqrt{7-x}-1} +3x^{2}+x-2\right )$$>0$

$\left ( \frac{2x-3}{14x-41} \right )^{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{7x-23}{19-x} \right )^{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{x+1}{17x-53} \right )^{\sqrt{2013}}$=$3^{1-\sqrt{2013}}$

đây là dạng của bất đẳng thức holder cho 3 số, có thể chứng minh theo cauchy như thê này:

bdt đã cho tương đương với:

$\sqrt[3]{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}\leq 1+\sqrt[3]{abc}$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{1}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}+ \sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}\leq 1$  (*)

ma ta có:

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{1}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}\leq \frac{\sum \frac{1}{1+a}}{3}$  (1)

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}\leq \frac{\sum \frac{a}{1+a}}{3}$  (2)

từ (1),(2) =====> (*) đúng

cho x,y,z>0 và $x+y+z>0$

tìm Min P =$\frac{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}{\left ( x+y+z \right )^{3}}$

*)nếu có công cụ đạo hàm thì bài này quá dễ dàng để chứng minh. nhưng liệu không có đạo hàm thì bài này sẽ chứng minh được thì rất hay.

mình làm thế này không biết đúng không

áp dụng Holder ta có $(x^{3}+y^{3}+16z^{3})(1+1+\frac{1}{\sqrt[3]{4}})^{2}\geq (x+y+z)^{3}$

từ đó suy ra min P

bạn làm nhầm rồi đó: "=" <=> x=y=4z

còn của bạn là x=y=z

bài này khó ở chỗ đk: $x,y,z \epsilon \left [ \frac{1}{\sqrt{4+3\sqrt{2}}} ;\sqrt{4+3\sqrt{2}}\right ]$

còn nếu không bài này thì quá dễ nhỉ:

$3\left ( xy+yz+xz \right )\geq \left ( x+y+z \right )^{2}$

$3\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )$$\leq$ $\left ( x+y+z \right )^{2}$

2 BĐT này chắc ai cũng biết khỏi phải chứng minh nhỉ

nêud vậy thì bất đẳng thức này quá đơn giản nhưng nó lại nằm trong khoảng: $x,y,z \epsilon \left [ \frac{1}{\sqrt{4+3\sqrt{2}}} ;\sqrt{4+3\sqrt{2}}\right ]$

nên làm bài toán khó lên rất nhiều!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1

mà đây chỉ là bài phân tích thôi chứ không phải bài giải?

bài 2:

để vậy bình phương 2 vế được:

$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{1-x^{2}}+\frac{2}{x.\sqrt{1-x^{2}}}$=$\left ( \frac{35}{12} \right )^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}({1-x^{2})}}+\frac{2}{x\sqrt{1-x^{2}}}$=$\left ( \frac{35}{12} \right )^{2}$

đặt $\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}=a$

sau đó giải tiếp

Cho $a,b,c\geq 0.$ Tìm giá trị lớn nhất của :

   $A=\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{3b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{3c^2+(a+b)^2}$

bài này không khó nếu chúng ta tinh ý một chút:

phân tích: mẫu số: $3a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}$ tại sao hệ số lại bằng 3

còn hệ số còn lại bằng 1

tách hệ số 3 thành 2 và 1 để áp dụng cauchy để có hệ số chung là 2. mặt khác vì vai trò của a,,b,c như nhau nên biểu thức ta tìm được là hoán vị của chung. Vì đk a,b,c >=0 mà không có đk a+b+c hay $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ nên ta dự đoán rằng biểu thức tìm được sẽ rút gọn hết cho mẫu.

cách chứng minh:

 ta có:

$\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}$=$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\leq \sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+2a\left ( b+c \right )}$=$\sum \frac{a}{2a+2b+2c}$=$\frac{1}{2}$

vậy kết luận:

Max A=$\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow a=b; c=0$ hoặc hoán vị của chúng.!!!!!!!!!!1111

viết lại dễ nhìn:

$\sqrt{2-x^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}$=4-x-$\frac{1}{x}$

phân tích: tại sao  đề lại có 2-x^2 còn cái kia là 2-1/x^2 đều có dụng ý của nó hết trong khi đó VP không phải là x^2; 1/x^2 mà là x và 1/x trong đó có cả số 4. măt khác x^2 nằm trong căn, còn x không nằm trong căn?????????????????????????

cách giải:

theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta luôn có:

$\left ( \sqrt{2-x^{2}}+x \right )^{2} \leq2\left ( 2-x^{2} +x^{2}\right )$=4

==>$\sqrt{2-x^{2}}$+$\frac{1}{x}$$\leq 2$

tương tự ta cũng có:

$\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}$+$\frac{1}{x}$$\leq 2$

====>$\sqrt{2-x^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}$$\leq$4-x-$\frac{1}{x}$

"=" <=> x=1

từ phương trình (1) ==> $x+y+3=2xy+2x+2y+2
\Leftrightarrow x+y+2xy=0$

kết hợp phương trình (2) ==> $xy=-m$

===> $x+y=2m$ từ đây ta suy ra x;y la ngiem cua phuong trình: $t^{2}-2mt+m=0\rightarrow \Delta'=m^{2}-m$

để phương trình có nghiệm duy nhất ==> m=0 hoặc m=1

ồ cảm ơn bạn     phatthemkem,

 mình làm quên không nhìn điều kiên sorry tất cả moi người

Giải các phương trình sau đây:

 

1. $x^{4}+\sqrt{x^{2}+1999}=1999$

 

2. $\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{35}{12}$

 

3. $x^{2}-x-1000.\sqrt{1+8000x}=1000$

câu 3: đưa về hệ đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

$x^{2}-x-1000\sqrt{1+8000x}=1000
\Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})+\frac{1}{4}-1000\sqrt{1+8000x}=1000$

$\Rightarrow (2x-1)^{2}+1-1000\sqrt{1+8000x}=1000$

đặt: $\sqrt{1+8000x}$=2y+1

đưa VỀ HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II RÔI GIẢI TIÊP NHÉ:

$x^{2}-x-2000y=0;
       y^{2}-y-2000x=0
\Rightarrow x=y=2001$

Giải phương trình: $x^{2}+\left ( \frac{x}{x+1} \right )^{2}=1$

ĐK $x\neq -1$

bài này rất dễ nếu tinh ý một chút ta thấy rằng: có: 2 phần tử VT là bình phương. nên chúng ta phải làm sao để xuất hiện nhân tử chung?? đó không phải la một câu trã lời không phải đơn gianr đối với mỗi người!!!

cách giải:

$x^{2}+(\frac{x}{x+1})^{2}=1$

$\Leftrightarrow \left ( \frac{x^{2}}{x+1} \right )^{2}-\frac{2x^{2}}{x+1}-1=0$

đến đây đã quá rõ ràng khi xuất hiện nhân tử chung và đưa về phương trình bậc II rồi nhỉ

đặt:$\frac{x^{2}}{x+1} =a$  phướng trình trở thành: $a^{2}-2a-1=0 \Leftrightarrow a=1\pm \sqrt{2}$

đến đây rồi thay lần lượt giá trị vào rồi tìm nghiệm nhé!!!!!

ngai qua soan cai cong thuc lau qua trung voi y tuong nguoi khac roi

ta có BĐT:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3\left ( x+y+z \right )}=2\sqrt{3}$

==> Max P=$2\sqrt{3}$ "=" <=> a=b=c=$\frac{4}{3}$

các bạn kiểm tra lai nhé!!!!!!

chỗ này là 3 

dấu "=" không xảy ra nên sai

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ đúng sao sai?????

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ đúng sao sai?????

chỗ này là 3 

dấu "=" không xảy ra nên sai

nhung cung cam on ban tim ra cho

ta có BĐT:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3\left ( x+y+z \right )}=2\sqrt{3}$

==> Max P=$2\sqrt{3}$ "=" <=> a=b=c=$\frac{4}{3}$

 

các bạn kiểm tra lai nhé!!!!!!

nay xin cam on vi minh viet nham

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}\leqslant \frac{2+a+b+a^2+b^2}{3}$

           $\Rightarrow \frac{(a+b)^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}}\geqslant \frac{3(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

          $\sum \frac{(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}\geqslant 4$

Áp dụng Bất đẳng thức Holder dạng $\frac{x^3}{a}+\frac{y^3}{b}+\frac{z^3}{c}\geqslant \frac{(x+y+z)^3}{3(a+b+c)}$

     $\Rightarrow \sum \frac{(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}\geqslant \frac{8(a+b+c)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+6(a+b+c)+18}$

Đặt $t=a+b+c \geqslant 3$ $\Rightarrow a^2+b^2+c^2=t^2-6$

Do đó chỉ cần chứng minh $\frac{8t^3}{6(t^2-6)+6t+18}\geqslant 4\Leftrightarrow (t-3)(t^2-3)\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq t^{2}-6
\Rightarrow \frac{8\left ( a+b+c \right )^{3}}{6\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+6\left ( a+b+c \right )+18}$

$\leq \frac{8t^{3}}{6\left ( t^{2} +6\right )+6t+18}$

ngoài cách đặt ẩn phụ như trên bạn cũng có thể đặt như thế này:

Phân tích:

ta thấy tổng của (2x+3) và (x+1) là:3x+4. phân tử 3x trungd với phần tử bên VP ta được phép bình phương để đặt nhân tử chung: và ta thấy tích của chúng lại bằng: $2x^{2}+5x+3$.

đặt: $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=t\Rightarrow 2\sqrt{2x^{2}+5x+3}+3x+4=t^{2}$

từ đây ta được phương trình: $t^{2}-t-20=0 \Rightarrow t=5; t=-4$

sau đó bạn hay tự nhé!!!!!!!!!!!!

cách này có thể khắc phục không đưa về hệ.......... nhưng độ dài cách giải thì đặt hệ hay không thì cũng như nhau thôi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Một số bài tập về dạng tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất, hai nghiệm phân biệt 

Tìm $m$ để hệ 

a, $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=m \\ x+y+xy=m \end{matrix}\right.$ có đúng hai nghiệm

b, $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2(m+1) \\ (x+y)^{2}=4 \end{matrix}\right.$ có đúng hai nghiệm phân biệt

c, $\left\{\begin{matrix} \sqrt{1-x}+\sqrt{y}=m \\ \sqrt{1-y}+\sqrt{x}=m \end{matrix}\right.$ có nghiệm duy nhất 

a.

từ phương trình đâu suy ra: $\left ( x+y \right )^{2}-2xy=m$$\left ( x+y \right )^{2}-2xy=m$ (1)

từ phuơng trinh2 suy ra :$x+y=m-xy$

đặt: x+y=a; xy=b

(1)  ==> $(m-b)^{2}-2b=m \Leftrightarrow b^{2}-2(m-1).b+m^{2}-m=0 \Rightarrow \Delta'=3m+1$

từ đây suy ra phuơng trình có nghiệm khi|:$m\geq \frac{-1}{3}$

b.bạn

duaconcuachua98

đã làm.

c.

từ phương trình đâu và 2 ta suy ra:

$\left ( y-x \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}} +\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}\right )=0 \Rightarrow x=y$ vì với ĐK x;y\leq 1

thì: $\frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \geq 0$

từ x=y thế vào phương trình đâu ta được rồi thu gon bình phương ta được:

$x^{2}-4y+m^{2}-2m+1=0 \Rightarrow \Delta' = (1-m)(3+m)$

 vậy để phương trình có nghiệm duy nhất <=> m=1 và m=-3

trên đây la bài làm của mình chắc chắn sẽ có sai sót trong việc soạn ra, mong các bạn thông cảm và gửi ý kiến cho mình nhé!!!!!!!!!!!!!!!!!!