a, Xét $\triangle$MBH và $\triangle$NCK có:MB=CN(GT),$\angle$MBH=$\angle$NCK=$\angle$ACB

Suy ra $\triangle$MBH=$\triangle$NCK (ch-gnh) nên MH=NK

Mà MH$\parallel$NK suy ra MHNK là hình bình hành

Suy ra BC cắt MN tại trung điểm I của MN

b,Trên tia phân giác góc A lấy điểm O sao cho OB$\perp$AB ,OC$\perp$AC suy ra O cố định

Do AO phân giác $\angle$BAC suy ra OB=OC

Xét $\triangle$OBM và $\triangle$OCN có:

OB=OC(cmt), BM=CN(gt), OM$\angle$OBM =$\angle$OCN =90 độ

Suy ra $\triangle$OBM=$\triangle$OCN(cgc)

suy ra OM=ON nên O nằm trên đường trung trực MN(chính là đường thẳng vuông góc MN tại I)

Vậy đường thẳng vuông góc MN tại I đi qua điểm cố định O

a,b,c>0

$\frac{ab}{3a+4b+4c}+\frac{bc}{3b+4c+5a}+\frac{ca}{3c+4a+5c}\leq \frac{a+b+c}{12}$ 

Mình nghĩ đề phải là

a,b,c>0

$\frac{ab}{3a+4b+5c}+\frac{bc}{3b+4c+5a}+\frac{ca}{3c+4a+5c}\leq \frac{a+b+c}{12}$

chứ?

haizzz!!! $a,c\equiv 0(mod4)$

Ta chỉ có a$^{2}$$\equiv$0(mod 4) thì làm sao suy ra a$\equiv$0(mod 4)

Nếu a chẵn thì vẫn đúng chứ sao?

Mình cần cách giải càng chi tiết càng tốt của mấy bài này, mong các bạn giúp đỡ.....

 

3/$xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+3xyz$

Mình xin làm bài 3 như sau:

xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+3xyz

=xy(x+y)+xyz+yz(y+z)+xyz+zx(z+x)+xyz

=xy(x+y+z)+yz(x+y+z)+zx(x+y+z)

=(x+y+z)(xy+yz+zx)

Tìm a, b, c thuộc N biết: 99a + 27b + 63c = 123600

Do a,b,c$\in$N suy ra 99a$\vdots$9, 27b$\vdots$9,63c$\vdots$9 

Nên 99a+27b+63c$\vdots$9 mà 123600 không $\vdots$9 

Suy ra vô lí

Không có số tự nhiên a, b, c nào thoả mãn đề bài

Đề có cho x,y nguyên không vậy?

Họ và tên: Trần Nguyên Lân

Lớp 9A  trường THCS Đặng Thai Mai, thành phố Vinh, Nghệ An

Đề: Giải phương trình nghiệm nguyên:

$x^{3}+x^{2}+x+1=y^{3}$

Đáp án: Do $x^{2}+x+1> 0$ $\forall x$ (=$(x+\frac{1}{2})^{2}$+$\frac{3}{4}$)

Nên $x^{3}< y^{3}$ suy ra x< y

.)Với y=x+1 ta có:

$x^{3}+x^{2}+x+1=(x+1)^{3}$

Suy ra: $(x+1)(x^{2}+1-(x+1)^{2})=0$

            $-2x(x+1)$=0

Suy ra: x=0 hoặc x=1 tương đương y=1 hoặc y=2

.)Với x+1<y

Ta có: $x^{3}+x^{2}+x+1>(x+1)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$ 

nên $2(x^{2}+x)<0$ hay x(x+1)<0 tương đương với -1<x<0

Mà do x nguyên nên vô nghiệm

Vậy phương trình chỉ có duy nhất 2 cặp nghiệm(x;y)=(0;1)và(1;2)

Đề: có 5 chữ số, nếu ta đặt số 1 ở đầu, ta sẽ dc kết quả nhỏ hơn khi ta đặt số 1 ở cuối 3 lần.

Đây là đề gốc (tiếng anh):

"what 5-digit number has the following features:
if we put the numeral 1 at the beginning, we get a number three times smaller than if we put the numeral 1 at the end of the number."

 

Xin lỗi vì mình chỉ biết đề có nhiêu đó, mong mọi người giải dùm mình.

Gọi số ban đầu là A(A là số tự nhiên có 5 chữ số)

Theo gt ta có 3(100000+A)=10A+1

tương đương với: 7A=299999

                             A=42857

Vậy số cần tìm là 42857

Giả sử phản chứng rằng $\exists a,b,c,d$ thỏa mãn $(a,b)\neq (c,d),\gcd (a,b)=\gcd (c,d)=1$ 

Sao cho $p=a^2+b^2=c^2+d^2$

Do $p|p(d^2-b^2)$

$\Rightarrow p|pd^2-pb^2\Rightarrow p|(a^2+b^2)d^2-(c^2+d^2)b^2$

$\Rightarrow p|(ad)^2-(bc)^2$

Do $p$ nguyên tố 

KMTTQ giả sử rằng $p|ad+bc$

Ta có $p^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ad+bc)^2+(ac-bd)^2$

$\Rightarrow ad-bc=0$

Mà $\gcd (a,b)=\gcd (c,d)=1$ 

Nên $a=d$,$b=c$

Hay cách biểu diễn trên là duy nhất

QED

Vì sao ad-bc=0?

Tìm tập nghiệm nguyên của bất phương trình $\sqrt{x+2}>x$

 

 

 

 

Tìm tập nghiệm nguyên của bất phương trình $\sqrt{x+2}>x$

 

 

 

 

ĐKXĐ:x$\geq$-2

Với x$\geq$0.Phương trình đã cho tương đương với:

$x+2>x^{2}$ hay$x^{2}-x-2<0$

Nên (x-2)(x+1)<0 và x$\geq$0

Suy ra 0$\leq$x<2 ,x nguyên

x={0;1}

Với -2$\leq$x<0 hay x={-1;-2} thì $\sqrt{x+2}>0>x$.

Vậy phương trình có tập nghiệm là S={-1;-2;0;1}

Cho a,b,c >0 và a+b+c=1. Tìm min
$\frac{1}{2+4a}+\frac{1}{3+9b}+\frac{1}{6+36c}$

Áp dụng bđt Bunhiacốpxki ta có:

($\frac{1}{2(2a+1)}+\frac{1}{3(3b+1)})(\frac{1}{6(6c+1)})$(a+\frac{1}{2}+b+\frac{1}{3}+c+\frac{1}{6})$)$\geq (\sqrt{\frac{1}{2(2a+1)}(a+\frac{1}{2})}+\sqrt{\frac{1}{3(3b+1)}(b+\frac{1}{3})}+\sqrt{\frac{1}{6(6c+1)}(c+\frac{1}{6})}$

Hay $\frac{1}{2(2a+1)}+\frac{1}{3(3b+1)})(\frac{1}{6(6c+1))}$$\geq (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}):(a+b+c+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})$=1:2

Min A =0,5 khi (2a+1=3b+1=6c+1)hay a=$\frac{1}{2}$,b=$\frac{1}{3}$,c=$\frac{1}{6}$.

 

Bài 1 : Chứng minh định lí sau : Đoạn thẳng nối trung điểm của 2 đường chéo trong hình thang bằng nửa hiệu hai đáy.

 

Bài 2 :   Từ ba đỉnh của một tam giác, hạ các đường vuông góc xuống một đường thẳng d 

không cắt cạnh nào của tam giác đó. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường vuông góc đó 

gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm tam giác xuống đường thẳng d.

 

Giải :

 

Giả sử tam giác ABC có ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại O; các đoạn thẳng 

AG, BH, OI, CK đều vuông góc với đường thẳng d. Ta phải chứng minh: AG + BH + CK = 3OI

 

Từ trung điểm M của BO và từ E, ta hạ MN và EP vuông góc với d. Ta có BH // MN // OI 

// AG // EP //CK ( chúng cùng vuông góc với d). Vì O là tọng tâm của tam giác ABC nên 

BM = MO = OE. Ta lại có HN = IN = IP (đường thẳng song song cách đều). Như vậy ta 

được ba hình thang vuông BOIH, MEPN, ACKG lần lượt có MN, OI, EP là các đường 

trung bình. Từ đó suy ra

MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI (1)

Nhưng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vào (1) ta được 

BH + OI + AG + CK = 4.OI suy ra AG + BH + CK = 3.OI

 

Cho hỏi tại sao MN + EP = 2OI vậy ? 

 

Do MNEP là hình thang vuông lại nhận OI làm đường trung bình(doOI //MN//EP và MO=OE=BE/3)

Nên MN+EP=2OI

Bài 1 : Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$; $BE$ là phân giác góc $B$. Kẻ $CD$ vuông góc $AB$ cắt $BE$ tại $O$. Qua $O$ kẻ $FG//AB$; $F$ thuộc $AC$; $G$ thuộc $BC$. Chứng minh rằng : $AF=CE$

Bài 2 : Cho tứ giác $ABCD$; $O$ là giao điểm của $BD;AC$. Một đường thẳng $d//BD$ cắt $AB;DC;BC;AD;AC$ lần lượt tại $M;N;R;S;K$. Chứng minh rằng : $KM.KN=KR.KS$

Các bạn sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh nhé

Mình xin giải bài 1:

(Các bạn tự vẽ hình nhé)

Do $\triangle$BEC đồng dạng $\triangle$ BOH(tự c/m)

Nên $\frac{CE}{OH}=\frac{BC}{BH}$(1)

Mà tương tự ta có $\frac{AC}{CH}=\frac{BC}{BH}$(2)

Do OF // AH nên $\frac{AC}{CH}=\frac{AF}{OH}$(3)

Từ (1),(2),(3) ta có $\frac{CE}{OH}=\frac{AF}{OH}$ hay CE=AF(đpcm)

Bài 1 : Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$; $BE$ là phân giác góc $B$. Kẻ $CD$ vuông góc $AB$ cắt $BE$ tại $O$. Qua $O$ kẻ $FG//AB$; $F$ thuộc $AC$; $G$ thuộc $BC$. Chứng minh rằng : $AF=CE$

Bài 2 : Cho tứ giác $ABCD$; $O$ là giao điểm của $BD;AC$. Một đường thẳng $d//BD$ cắt $AB;DC;BC;AD;AC$ lần lượt tại $M;N;R;S;K$. Chứng minh rằng : $KM.KN=KR.KS$

Các bạn sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh nhé

Bài 2:(các bạn tự vẽ hình)

Do KM//OB nên $\frac{AK}{AO}=\frac{KM}{OB}$

     KR//OB nên$\frac{CK}{CO}=\frac{KR}{OB}$

Vậy $\frac{KM}{KR}=\frac{AK.CO}{AO.CK}$(1)

Do KN//OD nên $\frac{KN}{OD}=\frac{CK}{OC}$

     KS//OD nên $\frac{KS}{OD}=\frac{AK}{OA}$

Vậy $\frac{KN}{KS}=\frac{AK.CO}{AO.CK}$(2)

Từ (1), (2) suy ra $\frac{KN}{KS}=\frac{KM}{KR}$ hay KM.KN=KR.KS(đpcm)

Mình nghĩ AH>ME+MK chứ vì nếu kẻ MI vuông góc BC thì:

S ABM=AB.ME/2

S AMC=AC.MK/2

S BMC=BC.MI/2

S ABC=BC.(ME+MK+MI)/2

mà S ABC=BC.AH/2

nên AH=ME+MK+MI>ME+MK

M thuộc BC mà bạn ơi

Có thể làm như sau

$S\left ( ABC \right )=\frac{BC.AH}{2}$

$S\left ( ABM \right )=\frac{BA.ME}{2}$

$S\left ( ACM \right )=\frac{CA.MK}{2}$

$S\left ( ABC \right )=S\left ( ABM \right )+S\left ( ACM \right )$ từ đó suy ra đpcm

Mình nhầm .Xin lỗi nha

S_n = $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ...+\frac{1}{n(n+1)}$

Ta dễ c/m được $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

Áp dụng vào Sn ta có

Sn=$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=$1-\frac{1}{n}$

Bạn giải chi tiết hơn được không

Ta có S(BOC)=$\frac{x.a}{2}$

S(ABC)=$\frac{h_{a}.a}{2}$

Nên $\frac{S(BOC)}{S(ABC)}=\frac{x}{h_{a}}$

Tương tự thì$\frac{S(AOC)}{S(ABC)}=\frac{y}{h_{b}}$

và$\frac{S(BOA)}{S(ABC)}=\frac{z}{h_{c}}$

Mà $\frac{S(BOA)}{S(ABC)}+\frac{S(AOC)}{S(ABC)}+\frac{S(BOC)}{S(ABC)}=1$

Suy ra$\frac{x}{h_{a}}+\frac{y}{h_{b}}+\frac{z}{h_{c}}=1$

1,$x+y+z=x.y.z$

2,$x^2+y+2=xy$

3,$x^3-y^3=xy+8$

4,$x^2+2x^2+1=y^2$

5,$x^3-3y^3-9z^3=0$

   nho cac ban giai jup nk.me cam on cac pan nhju

4, Ta có 2x^{2}+1>0 nên x^{2}<y{2} mà x, y>0 nên x<y

Với y=x+1 ta có

3x^{2}+1=(x+1)^{2}

2x(x-1)=0 nên phương trình có 2 ngiệm (x;y)={(0;1),(1;2)}

Với y>x+1 ta có

3x^{2}+1<(x+1)^{2}

2x(x-1)<0 tương đương với 0<x<1

Do x nguyên nên vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm (x;y)={(0;1),(1;2)}

giải phương trình nghiệm nguyên 

$13x^{2}+2=y^{2}$

Mình xin làm như sau:

Xét x$\vdots$4 hay $x^{2}\equiv 0(mod 4)$

thì 13$x^{2}$+2$\equiv$2(mod 4)

Mà $y^{2}\equiv$0 hoặc 1(mod 4) nên vô lí

Xét x không chia hết cho 4 hay$x^{2}\equiv$1(mod 4)

Suy ra 13$y^{2}$+2$\equiv$3(mod 4) nên cũng vô lí

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Xét $x\vdots 2\Rightarrow x^{2}\Rightarrow 13x^{2}\vdots 8\Rightarrow 13x^{2}+2\equiv 2(mod8)$ vô lý (với x>2)

Xét $x$ ko chia hết cho 2 $\Rightarrow x^{2}\equiv 1(mod8)\Rightarrow 13x^{2}+2\equiv 7(mod8)$ vô lý

Làm sao mà x$\vdots$2 thì $13x^{2}\vdots8$ bạn có nhầm không?

Mình nghĩ là x$\vdots$2 thì $x^{2}\vdots4$

Ở đây ta chia 2 trường hợp $x^{2}\equiv 0(mod 8)$ thì 13$13x^{2}+2\equiv 2(mod 8)$

                                             $x^{2}\equiv 4(mod 8)$thì$13x^{2}+2\equiv 6(mod 8)$

Do số chính phương thì đồng dư với 0;1;4(mod 8) nên đều loại

CMR: Với mọi số nguyên tố p dạng 4k+1(k là số tự nhiên) thì luôn viết được p=$a^{2}+b^{2}$ với a,b$\in$ N

1, Cho a,b là các số nguyên. CMR: $2a+11b$ chia hết cho 19 khi và chỉ khi $5a+18b$ chia hết cho 19.

2. Cho số nguyên n>1. Tìm dư trong phép chia:$A=19n^n+5n^2+1890n+2006$ cho $B=n^2-2n+1$

Mình xin làm bài 1:

2a+11b$\vdots$19 khi và chỉ khi 7(2a+11b)$\vdots$19

hay 14a+77b$\vdots$19

Mà 19a+95b$\vdots$19

Suy ra 5a+18b$\vdots$19

Vậy 2a+11b$\vdots$19 khi và chỉ khi 5a+18b$\vdots$19

Cho tam giác ABC vuông tại A.Chứng minh: $tan \dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{AC}{AB + BC}$

Ta kẻ tia phân giác BD.Áp dụng tính chất đường phân giác thì

$\frac{DA}{BA}=\frac{DC}{BC}=\frac{DA+DC}{BA+BC}=\frac{AC}{AB+BC}$

Ta có tan$\angle \frac{ABC}{2}=tan\angle ABD$=$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AB+BC}$(Đpcm)

Đề bài:

một lớp có 40 học sinh, mỗi học sinh đều giỏi ít nhất hai trong ba môn toán, văn và anh văn. biết rằng có 25 học sinh giỏi ít nhất hai môn văn và toán, 30 học sinh giỏi ít nhất hai môn văn và anh văn, 5 học sinh giỏi đúng hai môn toán và anh văn. hỏi lớp có bao nhiêu học sinh giỏi cả 3 môn ?



các anh chị và các bạn giải dùm mình nhé!
cảm ơn nhiều.

Gọi số học sinh giỏi cả 3 môn là a,số hs giỏi toán văn là b,giỏi văn anh là c,giỏi toán anh là d(a,b,c,d$\in$N)

$\left\{\begin{matrix} & \\ a+b+c+d=40 & \\ a+b=25 & \\ a+c=30 & \\ d=5 \end{matrix}\right.$

Giải ra ta có a=20,b=5,c=10,d=5

Vậy có 20 hs giỏi cả 3 môn