Cho các số thực $a,b,c>0$ thoả mản $ab+bc+ca=1$.

CMR:

$\frac{a}{(3b+5c)^3}+\frac{b}{(3c+5a)^3}+\frac{c}{(3a+5b)^3}\geq \frac{9}{512}$

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $ab+bc+ca=3$

Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^2+3} \geq \frac{3}{4}$

1. Cho:

$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ ab\geq 12, bc\geq 8 & \end{matrix}\right.$

Chứng minh: $A=a+b+c+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+\frac{8}{abc}\geq \frac{121}{2}$

2. cho $a,b,c>0$ và $a=max(a,b,c)$. Tìm min:

$B=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

$cot^2x+2tanx-1=\frac{1}{cos^2x}$

$\fbox{1}$ Cho $x,y,z>0$. chứng minh:

$P=\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}$

$\fbox{2}$ $x,y,z>0,xyz=xy+yz+xz$

chứng minh: $\frac{1}{x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+z}+\frac{1}{3x+y+2z}< \frac{3}{16}$

$\fbox{3}$ $x,y,z>0$, $x^2+y^2+z^2=1$.

cm: $\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{x^2+z^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Chỗ này sửa là ${\color{Red} \frac{1}{6}}$ nhé bạn

nhầm. dấu < chứ ko phải $\leq $ 

$\fbox{1}$.

Cho $a,b,c>0$ và $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=3$

Chứng minh:

$\frac{27a^2}{c(c^2+9a^2)}+\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}+\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}\geq \frac{3}{2}$

$\fbox{2}$

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=6$

chứng minh: $8^x+8^y+8^z \geq 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}$

Giả sử $a\geq b\geq c\rightarrow \frac{1}{2bc+1}\geq \frac{1}{2ac+1}\geq \frac{1}{2ab+1}$

Áp dụng BĐT Chebyshev ta có:

$3\sum \frac{a^2}{2bc+1}\geq (a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{2bc+1}+\frac{1}{2ac+1}+\frac{1}{2ab+1})\geq (a^2+b^2+c^2)(\frac{9}{2bc+2ac+2ab+3})\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)+3}=\frac{9}{5}$

$\rightarrow  ĐPCM$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$A=\sqrt{\frac{(x^{2}-3)^{2}+12x^{2}}{x^{2}}}+\sqrt{(x+2)^{2}-8x}$

$\sqrt{\frac{x^4+6x^2+9}{x^2}}+\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{x^2+6+\frac{9}{x^2}}=\sqrt{(x-2)^2}+\sqrt{(x+\frac{3}{x})^2}=\left | x-2 \right |+x+\frac{3}{x}$ (chú ý đk)

$\rightarrow A \in Z \leftrightarrow \frac{3}{x} \in Z.$

Ok r nhé!

Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$. Chứng minh:

$\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\leq \frac{7}{2}$

 

 

$\sum \frac{1}{a+3b} \geq \frac{9}{4.3}=\frac{3}{4}$

$\frac{3}{3+abc}\geq \frac{3}{4}$

Vậy  $\Rightarrow $ đpcm

 

Chỗ này gặp vấn đề rồi nhỉ?

$\frac{a^{2}}{a+bc}=\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}$

Áp dụng BĐT Cô si 3 số:

$\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+c}{4}\geq \frac{3a}{4}$

CMTT =>$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{a+b+c}{4}$ =>  đpcm

Cái đoạn bôi đỏ hình như có vấn đề thì phải.

Phải là $\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}$ chứ nhỉ?

Tìm nghiệm nguyên dương: $(x+y)^3=(x-y-6)^2$

$\fbox{1}$.

Chứng minh với mọi $0\leq x\leq 1$ ta có:

$x(9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2})\leq 16$

$\fbox{2}$.

Cho $a,b,c \geq 0$ và $a+b+c=1$.

CM: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{4}}+\sqrt{b+\frac{(c-a)^2}{4}}+\sqrt{c+\frac{(a-b)^2}{4}}<2$

$\fbox{3}$.

Giả sử a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng 1.

CM: $\frac{ab+bc+ca}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\geq 8(a^2+b^2+c^2)$

1 Bài Bất..
Cho a,b,c là các số dương.

CM: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}$ 

2. $\frac{(a+b)^{2}}{a+b-c}$ + $\frac{(b+c)^{2}}{-a+b+c}$ + $\frac{(c+a)^{2}}{a-b+c}$ $\geq 4(a+b+c)$

Do a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên  mẫu số của các biểu thức thuộc vế trái luôn dương.

Áp dụng BDT BCS dạng phân thức cộng mẫu ta được:

$VT\geq \frac{[2(a+b+c)^2]}{a+b-c+b+c-a+a-b+c}=\frac{4(a+b+c)^2}{a+b+c}=4(a+b+c)$ (dpcm)

Rút gọn được: $p=\sqrt{x}+\sqrt{xy}-\sqrt{y}=2\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}+1)=1$

Tiếp bài này:

$\rightarrow x=\frac{(\sqrt{y}+2)^2}{(\sqrt{y}+1)^2}$

do $x \in Z \rightarrow k(\sqrt{y}+1)^2=(\sqrt{y}+2)^2$ ( $k \in Z$)

Thay $k=0;1 \rightarrow$ pt vô nghiệm nguyên.

$k=2 \rightarrow$ pt có nghiệm $y=2;x=2$

$k\geq 3 \rightarrow k(\sqrt{y}+1)^2 \geq 3(\sqrt{y}+1)^2$

$\rightarrow (\sqrt{y}+2)^2 \geq 3(\sqrt{y}+1)^2$

$\rightarrow 2y+2\sqrt{y}-1\leq 0$

mà: $y>0,y \in Z \Rightarrow$ $2y \geq 2; 2\sqrt{y} \geq 2$

$\Rightarrow 2y+2\sqrt{y}-1\geq 3>0\rightarrow$ pt vô nghiệm.

Vậy $P=2$ khi $x=y=2$

p/s: Sai thì thôi nhé cậu. :v . 

Bước đầu bạn tìm điều kiện nhé

Ta thay $x=\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}$ vào M có

$M=\frac{2b\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}}{x-\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}}=\frac{2b.\left | \frac{\sqrt{a}}{b}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right |}{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}-\left | \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right |}$

Xét $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}>\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$ thì $a>b$

Biểu thức M trở thành:$\frac{\frac{2\sqrt{b}(a-b)}{\sqrt{a}}}{2\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}}$=$a-b$

Xét trường hợp còn lại tương tự có:$b>a$

M=$b-a$

 

 

Mình nghĩ bài toán trên nên có $a,b$ là hắng số .Điểm mấu chốt là xử lý $\sqrt{x^2-4}$ .Nếu để thế này mọi người sẽ nghĩ là không có bình phương nhưng khi thay vào ta lại suốt hiện được bình phương.Đây là bài toán cũng rất hay 

$M=\frac{2b\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}}{x-\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}}=\frac{2b.\left | \frac{\sqrt{a}}{b}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right |}{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}-\left | \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right |}$

Bị sai từ dòng này rồi hay sao ấy. T ra số rất không đẹp.

TH1: $M=\sqrt{ab}-b$

TH2: $M=\frac{b\sqrt{ab}-a}{a}$

4 bài này tặng pic. 

10. Cho $a,b,c \in [1;2]$.

CM: $\frac{(a+b)^2}{2c^2+2ab+3c(a+b)}+\frac{c^2}{(a+b)^2+6c(a+b)+4c^2}\geq \frac{3}{11}$

11. Cho $a,b,c>0; a+b+c=1$.

CM: $\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\geq 2+\sqrt{22+\frac{1}{abc}}$

12. Cho x,y,z là các số thực lớn hơn -1.

CM: $\frac{1+x^2}{1+y+z^2+}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq 2$

13. cho $x,y,z>0; x^2+2y^2+3z^2=1$.

Tìm min: $A=\frac{1}{1-\sqrt{6}yz}+\frac{1}{1-\sqrt{3}xz}+\frac{1}{1-\sqrt{2}xy}$

Đây là một trường hợp nhỏ của phương trình mordell. Dạng tổng quá $x^2+k=y^3 (k,x,y \in Z)$

Bạn chỉ cần chứng minh được bổ đề: Mọi số nguyên có dạng $A=4t+3$ đều có ít nhất 1 ước nguyên tố có dạng $p=4s+3$.

 

 

b)Gọi m là giá trị nhỏ nhất trong ba số: $(x-y)^2, (y-z)^2, (z-x)^2$. Chứng minh bất đẳng thức:

 

 

$$m \le\frac{x^2+y^2+z^2}{2}$$$a\geq b\geq c$

 

Giúp mình câu b là được

 

Giả sử  $a\geq b\geq c$ mà $m \geq 0$. Ta có:

$\left\{\begin{matrix}

Ta chứng minh BĐT sau bằng quy nạp theo $k$ nguyên dương

$${\left( {1 + {1 \over n}} \right)^k} \le 1 + {k \over n} + {{{k^2}} \over {{n^2}}}$$

Với $n=3$ thì BĐT đã cho đúng

Giả sử BĐT đúng với $k=m$, tức là 

$${\left( {1 + {1 \over n}} \right)^m} \le 1 + {m \over n} + {{{m^2}} \over {{n^2}}}$$

Ta chứng minh BĐT cũng đúng với $k=m+1$.

Thật vậy, ta có 

$${\left( {1 + {1 \over n}} \right)^{m + 1}} = {\left( {1 + {1 \over n}} \right)^m}\left( {1 + {1 \over n}} \right) \le \left( {1 + {m \over n} + {{{m^2}} \over {{n^2}}}} \right)\left( {1 + {1 \over n}} \right) = 1 + {1 \over n} + {m \over n} + {m \over {{n^2}}} + {{{m^2}} \over {{n^2}}} + {{{m^2}} \over {{n^3}}}$$

$$ = 1 + {{m + 1} \over n} + {{nm + n{m^2} + {m^2}} \over {{n^3}}} \le 1 + {{m + 1} \over n} + {{n{{\left( {m + 1} \right)}^2}} \over {{n^3}}} =$$ $$1 + {{m + 1} \over n} + {{{{\left( {m + 1} \right)}^2}} \over {{n^2}}}$$

Suy ra BĐT đã cho đúng với mọi $k$

Ta cho $k=n$, thu được $${\left( {1 + {1 \over n}} \right)^n} \le 3$$

Giải thích hộ cái phần này bạn ơi.

                                CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

1.Chứng minh bất đẳng thức với a,b không âm

    $\frac{\left ( a+b\right )^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$

2.Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác.Chứng minh

   $\sqrt{2}\left ( a+b+c \right )\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}\left ( a+b+c \right )$

3. Chứng minh bất đẳng thức Côsi với ba số a,b,c không âm

   $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

4.Cho các số dương a,b,c,d biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$

       Chứng minh $abcd\leq \frac{1}{81}$

5.Chứng minh BĐT

       $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ (với các số x,y,z dương )

  bằng cách áp dụng BĐT ôssi và Bu-nhi-a-cốp-xki

6. Cho $a=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}},b=2\sqrt[3]{3}$

      Chứng minh $a< b$

7.a,Chứng minh với mọi số nguyên dương n,ta có $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}< 3$

   b,Chứng minh rằng trong các số có dạng $\sqrt[n]{n}$(n là số tự nhiên ,$n\geq 2$),số $\sqrt[3]{3}$ có giá trị lớn nhất

8.Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của

       $\sqrt{o,999...9}$(20 chữ số 9)

9.Cho hai dãy số sắp thứ tự:$a\geq b\geq c và x\leq y\leq z$

      Chứng minh bất đẳng thức $\left ( a+b+c \right )\left ( x+y+z \right )\geq 3\left ( ax+by+cz \right )$

10. Chứng minh rằng:

    a,Số$\left ( 8+3\sqrt{7} \right )^{7}$ có bảy chữ số 9 liền sau dấu phẩy

    b,Số $\left ( 7+4\sqrt{3} \right )^{10}$ có mười chữ số 9 liền sau dấu phẩy

             

               Còn nhiều lắm ,anh chị cố giải rùm em nhe.Hi Hi

Mấy bài này quen quen. Mình nhớ không nhầm thì mấy bài này có hết cả trong quyển NC&PT toán 9 tập 1.