Làm lại bài này:
Số nghiệm nguyên không âm của pt: $x+2y+5z=n$ là
$S_n=\sum_{y=0}^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}\sum_{z=0}^{\left\lfloor\frac{n-2y}5\right\rfloor} 1 \quad \left(\textsf{hoặc }S_n=\sum_{z=0}^{\left\lfloor\frac n5\right\rfloor}\sum_{y=0}^{\left\lfloor\frac{n-5z}2\right\rfloor} 1\right)$
$S_n=\sum_{y=0}^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor} \left\lfloor\dfrac{n+5-2y}5\right\rfloor$
Đặt $n=10m+r; \;(0\le r \le 9)$
Đặt $y=5p+q;$ với $\,(0\le p\le m-1) \textsf{, và } (0\le q\le 4)$
Khi đó $\max y=5m-1$ còn thiếu đoạn cần lấy tổng $y=5m+t;\;\;\left(0\le t\le \left\lfloor\frac r2\right\rfloor\right) $
\begin{align*}S_n&=\sum_{p=0}^{m-1}\sum_{q=0}^4 \left\lfloor \dfrac{10m+r+5-10p-2q}{5}\right\rfloor +\sum_{t=0}^{\left\lfloor\frac r2\right\rfloor} \left\lfloor \dfrac{10m+r+5-10m-2t}{5}\right\rfloor \\ &= \sum_{p=0}^{m-1}\sum_{q=0}^4 \left(2m-2p+1+\left\lfloor \dfrac{r-2q}5 \right\rfloor \right)+ \sum_{t=0}^{\left\lfloor\frac r2\right\rfloor} \left\lfloor\dfrac{r+5-2t}5\right\rfloor \\ &= \sum_{p=0}^{m-1} (10m-10p+5+r-6)+S_r\qquad\textsf{(Hermite)}\\ &=\sum_{p=0}^{m-1}(n-1-10p)+S_r \\ &=(n-1)m-10\dfrac{(m-1)m}{2}+\{1,1,2,2,3,4,5,6,7,8\} \\ &=\dfrac{(n-1)(n-r)}{10} -\dfrac{(n-r)(n-10-r)}{20}+\{1,1,2,2,3,4,5,6,7,8\} \\ &= \dfrac{n^2+8n}{20}-\dfrac{r^2+8r}{20} +\{1,1,2,2,3,4,5,6,7,8\} \\ &=\dfrac{n^2+8n+\{20,11,20,7,12,15,16,15,12,7\}}{20} \\ &=\left\lfloor\dfrac{n^2+8n+20}{20}\right\rfloor \end{align*}

User cũ của anh có id 1788 chắc cũng không hơi trễ so với em nghĩ đâu
http://diendantoanho...r/1788-hxthanh/
(Link trong tuyển tập “Đẳng thức tổ hợp”)
Từ 2008 -2011 diễn đàn ta tuy sôi nổi hơn, đông hơn nhưng chất lượng topic không cao lắm. Bên mathscope thì ngược lại, thảo luận sôi nổi những vấn đề rất nổi cộm, IMO, toán cao cấp hay những seminar toán sơ cấp được hệ thống và mang tính sáng tạo rất cao. Trong khi đó chuyên đề bên mình thì … thôi khỏi so sánh!
Trên VMF mình còn tồn tại rất rất nhiều những topic không có bài phản hồi, chẳng vì thế mà đã khai sinh ra PSW.
… khen mathscope nhiều thế, nhưng tình yêu của mình lại dành cho VMF
Dù công việc, cuộc sống đôi lúc gặp nhiều trở ngại.
Hy vọng diễn đàn mình sẽ còn tiếp tục tiến xa hơn nữa.
Biết đâu một ngày nào đó, chủ nhân của Fields Prize bước ra từ VMF thì sao?

Cái này $\boxed{\sqrt{2^n}\cos\frac{n\pi}4}$, ta có thể biểu diễn thành…
$2^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor} (-1)^ {\left\lfloor\frac {n+1}4\right\rfloor} \left(\! \left\lfloor\frac {n+5}4\right\rfloor\!-\! \left\lfloor\frac {n+2}4\right\rfloor\!\right) $
nhìn mới nguy hiểm

Truy hồi thì ta có $2$ dãy (lẻ, chẵn) độ dài $n$, với:
$\begin{cases}l_n=2l_{n-1}+c_{n-1} \\ c_n=2c_{n-1}+l_{n-1}\end{cases}$
Suy ra:
$l_{n}=4l_{n-1}-3l_{n-2}$
với $l_1=1, l_2=4$

Cho dãy $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ sao cho $a_{i} \in \left \{ 0,1,2 \right \}$ và $\left | a_{i}-a_{i+1} \right |\leq 1, \forall i$. Tìm số các dãy $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ thỏa điều kiện đã cho.

Bài này có đáp án bằng hàm sinh là:
$$[x^{n}]:\quad \dfrac{1+x}{1-2x-x^2}$$
Nhưng quả thực mình đọc không hiểu họ xây dựng sao ra như vậy!?
@Nobodyv3 hay ai đó có thể giải thích giúp mình được không?

\begin {align*}
&…\\
&\Rightarrow \boldsymbol {G(x)=\frac {1+x}{1-2x-x^2}}
\end{align*}

Bây giờ xem như bạn đã tìm ra lời giải bằng hàm sinh cho bài toán này. Giờ làm sao khai triển ra đây?

Ra là vậy! Cảm ơn em nhé, Phát!
Nhìn vào toàn bộ bài toán thấy khó… mỗi cái đề

Thật sự mình chưa hiểu đề! Nếu chỉ thêm hai đường thẳng song song vào $\mathcal D_1$ có được không nhỉ?
Chẳng hạn $2017$ đường thẳng song song với $Ox$ một đường thẳng song song với $Oy$ thì có “đẹp” không?

Lời giải của @truongphat266 đúng rồi chỉ bỏ quên mất cặp $(1,0)$ thôi
Bài này còn có một ý khác đó là:
Chứng minh rằng $\left(\frac{\pm L(6m)}2,\frac{\pm F(6m)}2\right)$ với $m\ge 0$
là tất cả các nghiệm của phương trình $x^2-5y^2=1$
Trong đó $L(n)$ là dãy số Lucas còn $F(n)$ là dãy số Fibonacci

Tìm tất cả nghiệm nguyên không âm $(x,y)$ của phương trình
$x^2-5y^2=1$ thoả mãn $y\le 1292$

Cộng lại, Ta có $3a+3b=7$
Mà $c=2a+b-4=3-a-2b$
Nên $P=30a+\frac {28}3-4a+2018\left(2a+\frac 73-a-4\right)$
$P=2044a-3354\ge -3354$
Mặt khác thay $a=\frac 73-b$ thì
$P=-2044b+\frac{4246}3\le \frac{4246}3$

Cho $a>-1; b>-1; c>-4; a+b+c =0$. Tìm max của $A =\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{4+c}$

$A=3-\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{4}{4+c}\right)\le 3-\left(\dfrac{4}{2+a+b}+\dfrac{4}{4+c}\right)$
$\le 3-\dfrac{16}{6+a+b+c}=\dfrac 13$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=\frac 12, c=-1$

Sau một thời gian lên bờ xuống ruộng, xin trình bày lời giải của một học sinh có chỉ số IQ không cao, chính là em đây!
$$\begin {align}
[x^{3n-4}]&(1+x+x^2+x^4)^n=[x^{3n-4}]x^{3n}(x^{-3})^n(1+x+x^2+x^4)^n\\&=[x^{3n-4}]x^{3n}(x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}+x)^n\\
&=[x^{-4}](x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}+x)^n\\
&=[y^4](y^3+y^2+y+y^{-1})^n\\
&=[y^4](y^{-1}+y+y^2+y^3)^n\\
&=[y^4]((y^{-1}+1+y+y^2+y^3)-1)^n\\
\displaystyle &=\sum_{q=2}^n (-1)^{n-q} \binom{n}{q}[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^q\\
&=\sum_{q=2}^n (-1)^{n-q} \binom{n}{q} [y^4]\dfrac{(1-y^5)^q}{y^q(1-y)^q}\\
\displaystyle &=[y^4]\sum_{q=2}^n \sum_{r=0}^q\sum_{s=0}^\infty
(-1)^{n-q+r}\binom{n}{q}\binom{q}{r}\binom{q-1+s}{q-1}y^{s+5r-q}\\
&\boldsymbol {\displaystyle =\sum_{q=2}^n \sum_{r=0}^q
(-1)^{n-q+r}\binom{n}{q}\binom{q}{r}\binom{3+2q-5r}{q-1}}\end{align} $$
Chú thích :
$(4): \text{Đặt $y=x^{-1}$}$
$(7): \text {do $[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^0=[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^1=0$}$
$(10): \text {do $ s=q-5r+4\ge 0$ }$
Thử vài giá trị $n$ :
$n=2:\, \displaystyle \sum_{r=0}^2
(-1)^{r}\binom{2}{r}\binom{7-5r}{1}=7-2\cdot 2=3$
$n=3:\,\displaystyle \sum_{q=2}^3 \sum_{r=0}^q
(-1)^{3-q+r}\binom{3}{q}\binom{q}{r}\binom{3+2q-5r}{q-1}$
$\displaystyle =\sum_{r=0}^3(-1)^{r}\binom{3}{r}\binom{9-5r}{2}
-3\sum_{r=0}^2 (-1)^{r}\binom{2}{r}\binom{7-5r}{1}$
$=(36-3\cdot 6)-3(7-2\cdot 2)=9$

Một bài làm rất công phu và nói lên nhiều thứ cần học hỏi! Mình cũng đã thử sức với bài này và cũng ra được một biểu thức tổng kép cồng kềnh rất khó xử lý rút gọn. Có thể bài toán này không tồn tại một kết quả đẹp được.

Vớt tiếp...

Vớt lên rồi thì giải đi em!
https://www.wolframa...n-4)],{n,2,16}]

Khả năng cao là không tìm được biểu thức xác định cho $f(n)$. Còn nếu tìm biểu thức truy hồi thì sẽ là:
$f(n)=f(m)+f\left(n-\frac{m^2-3m+6}{2}\right)$
trong đó:
$m=\left\lfloor\frac{3+\sqrt{8n-23}}{2}\right\rfloor,\quad \forall n\ge 3$

Bảng truy hồi

Trường hợp $f(1)=1, f(2)=2$ tìm trên oeis.org thì thấy dãy của chúng ta là dãy A064067

P(1,1): 2f(1)=f(2+1)=f(3)=2a
p(2,2): 2f(2)=f(2+2)=f(4)=2b
P(1,2): f(1)+f(2)=f(2+2)=f(4)=2b
Hay a+b=2b nên a=b
e làm được đến đây mong mn hoàn thành nốt ạ$

Bạn ơi $m\in\overline{1,n-1}$ nghĩa là $1\le m\le n-1$ đấy ạ (điều kiện ý)
Một số giá trị đầu tiên
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n&1&2&3&4&5&6&7&8&\cdots\\
\hline
f(n)&a&b&a+b&2a+b&a+2b&3a+b&2a+2b&3a+2b&\cdots\\
\hline
\end{array}

Tìm hàm $f:\mathbb N^*\to\mathbb N^*$, biết
$$\begin{cases}f(1)=a\\ f(2)=b\\f(n)+f(m)=f\left(\frac{n^2-3n+6}{2}+m\right),\quad\forall m\in\overline{1, n-1}\end{cases}$$

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} &&x&&y& \\
\hline \;&\;&\;&\;&\;&\; \\
\hline \;&3&\;&1&\;&2 \\
\hline \;&\;&\;&\;&\;&\; \\
\hline\end{array}
Xét hai cột $x$ và $y$ như trong bảng trên. Ta nói $x=1$ nghĩa là cột $x$ có chứa đúng $1$ quả mìn.
$\bullet\quad$Nếu $x=1\Rightarrow y=0$ có ${3\choose 1}=3$ cách đặt $1$ quả mìn ở cột $x$
Khi đó ${5\choose 2}=10$ cách đặt $2$ quả mìn quanh ô số $3$ và ${2\choose 2}=1$ cách đặt $2$ quả mìn quanh ô số $2$
$\Rightarrow 3\times 10\times 1=30$ cách
$\bullet\quad$Nếu $y=1\Rightarrow x=0$ có ${3\choose 1}=3$ cách đặt $1$ quả mìn ở cột $y$
Khi đó có ${2\choose 1}=2$ cách đặt $1$ quả mìn quanh ô số $2$ và ${5\choose 3}=10$ cách đặt $3$ quả mìn quanh ô số $3$
$\Rightarrow 3\times 2\times 10=60$ cách
$\bullet\quad$Nếu $x=0$ và $\; y=0$
Có ${5\choose 3}\times {2\choose 1}\times {2\choose 2}=20$ cách
Vậy có tất cả $30+60+20=\boxed{\mathbf{110}}$ cách đặt mìn thoả yêu cầu.
_____

Đã chơi đến đây thì chơi cho trót. Nếu mở được ô trống thì các ô trống tiếp theo sẽ tự động mở cho đến khi xuất hiện các ô khác 0. Lựa chọn mở theo cách logic - nghĩa là chỉ mở các ô không chắc chắn khi không còn ô nào khẳng định không có mìn. Thử tính xem bước đầu tiên phải mở ô nào để khả năng thắng là cao nhất?

Giả sử $\Delta^2(u_n)=c$ (hằng số, bậc 0 đối với n)
Thế thì $\Delta^1(u_n)$ là cấp số cộng công sai $c$
Số hạng tổng quát sẽ có bậc +1 đối với n.
Tương tự $(u_n)$ sẽ có bậc +1 đối với $\Delta^1(u_n)$ hay bậc 2 của n

À không, ý anh là … tham chiếu ý (mọi khi hay chèn link #post, nhưng nếu post dài có khi tìm mãi không tới định lý đâu )

@Nesbit @Nobodyv3. Hôm trước mình dùng ios cũng bị nhưng chỉ cần xoá sạch lịch sử trình duyệt vào lại là ok

@Nesbit ơi! Ai làm gì với Lời giải của @Hoang72 mà mất hết cả vậy?
Em xem có cách nào phục hồi lại không?

Mấy cái thông tin thành viên như:
Top gửi bài trong ngày, online nhiều nhất trong ngày vào lúc nào, thành viên mới là ai, thành viên nào đang làm gi ở đâu?
Sao anh không thấy nữa nhỉ?

Ok, cảm ơn Khuê! À còn một cái nữa là… hình đại diện trong trang cá nhân đâu rồi?

Có vẻ như công thức toán load nhanh hơn thật!

Nhưng một tùy chọn \displaystyle không được mặc định vì thế những bài viết cũ hiển thị không được đẹp lắm!

Chẳng hạn như $\lim_{x \to \infty}$ thay vì hiển thị $\lim\limits_{x\to\infty}$

hay $\frac{a}{b}$ thay vì $\dfrac{a}{b}$

hay $\sum_{k=1}^n f(k)$ thay vì $\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)$

Mình nghĩ cần thiết đặt mặc định code \displaystyle cho công thức toán, điều đó giúp cho các bài viết cũ hiển thị vẫn "chuẩn" mà không cần phải sửa lại.