Bài 43: Do bận định đăng bài làm trong nháp hôm trước nhưng giờ mời đăng được, mọi người tham khảo:
Làm mạnh bđt Cô si:
$\frac{a^{4}}{b^{2}}+2ab\geq 3a^{2}+\frac{3}{2}(a-b)^{2}$
$\Leftrightarrow (a-b)^{2}\frac{2a^{2}+4ab-3b^{2}}{2b^{2}}\geq 0$
Đến đây không phải luôn đúng nên đành chuyển hướng sang S.O.S:
tt: $\frac{b^{4}}{c^{2}}+2bc\geq 3b^{2}+\frac{3}{2}(b-c)^{2}\Leftrightarrow (b-c)^{2}\frac{2b^{2}+4bc-3c^{2}}{2c^{2}}\geq 0$
$\frac{c^{4}}{a^{2}}+2ca\geq 3c^{2}+\frac{3}{2}(c-a)^{2}\Leftrightarrow (c-a)^{2}\frac{2c^{2}+4ac-3a^{2}}{2a^{2}}\geq 0$
Cộng vế theo vế ta được:
$\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}+5(ab+bc+ac)\geq 6(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow S_{a}(a-b)^{2}+S_{b}(b-c)^{2}+S_{c}(c-a)^{2}\geq 0$
Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow S_{b}> 0$
nên chỉ cần CM: $S_{b}+S_{a};S_{b}+S_{c}\geq 0$ nhưng điều này hiển nhiên đúng. (Tự nháp)
$\Rightarrow ĐPCM$
p/s: Ai biết latex bị gì không không dùng được phải dung online
Lời giải này lỗi ở đâu, các bạn thảo luận cho ý kiến tại đây. Các bạn chú ý $S_{a},S_{b},S_{c}$ ở đây là những biểu thức hoàn toàn hoán vị nên về nguyên tác thì ta phải xét 2 trường hợp. Điều này các bạn xem lời giải có thể thấy rõ nên ở đoạn cuối cùng anh Cẩn có xét cả bộ hoán vị của $a,b,c$ để lời giải thêm chặt chẽ.
- hoctrocuaHolmes và hoilamchi thích