Đến nội dung


DBS

Đăng ký: 21-01-2019
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 09:52
*****

#729140 \[a^{2}+ b^{2}= 1\Rightarrow\sqrt{...

Gửi bởi DBS trong Hôm qua, 08:50

Bất đẳng thức trên tương đương với:
$\Leftrightarrow (\sqrt{5-4a}+2\sqrt{5-4b})^2\geq 17$
$\Leftrightarrow (5-4a)+4(5-4b)+4\sqrt{25-20(a+b)+16ab}\geq 17$
$\Leftrightarrow \sqrt{25-20(a+b)+16ab}\geq a+4b-2$
$\Leftrightarrow 25-20(a+b)+16ab\geq (a+4b-2)^2$
$\Leftrightarrow a^2+16b^2-8ab+16a+4b\geq 21$
$\Leftrightarrow (a-4b)^2+4(4a+b)\leq 21$
Lại có: $a^2+b^2=1\Rightarrow 17a^2+17b^2=17\Rightarrow (a-4b)^2+(4a+b)^2=17$
$\Rightarrow -(4a+b)^2+4(4a+b)\leq 4\Leftrightarrow (4a+b-2)^2\geq 0$ (luôn đúng).

 

Nguồn: AoPS :>




#729125 $\sum_{cyc} \sqrt[4]{a^4+3}\geq...

Gửi bởi DBS trong 25-07-2021 - 15:56

Áp dụng BĐT Holder, ta có: $(1+3)(1+3)(1+3)(a^4+3)\geq (a+3)^4$

$\Rightarrow \sqrt[4]{a^4+3}\geq \frac{a+3}{\sqrt[4]{64}}$

Chứng minh các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:

$\sqrt[4]{a^4+3}+\sqrt[4]{b^4+3}+\sqrt[4]{c^4+3}\geq \frac{a+b+c+9}{\sqrt[4]{64}}$

Hơn nữa, áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta được:

$a+b+c+9=(a+b+c)+3+3+3\geq 4\sqrt[4]{27(a+b+c)}$

$\Rightarrow \sqrt[4]{a^4+3}+\sqrt[4]{b^4+3}+\sqrt[4]{c^4+3}\geq \frac{4\sqrt[4]{27(a+b+c)}}{\sqrt[4]{64}}=\sqrt[4]{108(a+b+c)}$




#729122 $\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2...

Gửi bởi DBS trong 25-07-2021 - 10:44

Cho $$\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqslant c\leqslant \min\left \{ a\sqrt{2};b\sqrt{3} \right \} \\ a+c\sqrt{3} \geqslant \sqrt{6} \\ b\sqrt{3}+c\sqrt{10}\geq 2\sqrt{5} \end{cases}$$.

 

Chứng minh rằng: $$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{3}{c^2}\leqslant \frac{118}{15}$$.




#729098 $\sum_{cyc} \sqrt[4]{a^4+3}\geq...

Gửi bởi DBS trong 24-07-2021 - 08:33

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$$\sqrt[4]{a^4+3}+\sqrt[4]{b^4+3}+\sqrt[4]{c^4+3}\geq \sqrt[4]{108(a+b+c)}$$




#729043 Chứng minh rằng $IJ$ hoặc cùng phương hoặc vuông góc với tia phân g...

Gửi bởi DBS trong 20-07-2021 - 20:20

Cho góc $\widehat{xOy}$. Các đoạn $AB,CD$ có độ dài bằng nhau và theo thứ tự thuộc các tia $Ox, Oy$. Gọi $I,J$ theo thứ tự là trung điểm của $AC,BD$. Chứng minh rằng $IJ$ hoặc cùng phương hoặc vuông góc với tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.




#728983 $P=\sqrt{2(x^2+y^2)}+4\sqrt{x}+4\sqrt...

Gửi bởi DBS trong 18-07-2021 - 14:45

Cho hai số thực dương $x,y$ thoả mãn $x+y=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P=\sqrt{2(x^2+y^2)}+4\sqrt{x}+4\sqrt{y}$$.

 

Ps: Lẽ ra tui nên đăng bài này trên box THCS :)




#728933 $\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

Gửi bởi DBS trong 16-07-2021 - 16:05

$\boxed{4}$ $:$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. $(I)$ tiếp xúc với $AB$, $AC$ tại $E$, $F$. Tiếp tuyến tại $E$ của $(IEC)$ cắt tiếp tuyến tại $F$ của $(IFB$) tại $P$. Chứng minh $AP$, $OI$, $BC$ đồng quy

Em vẽ nó đâu đồng quy đâu nhỉ?

Ps: Vừa vào lớp 10 thấy hình học ghê quá :(

Hình gửi kèm

  • Untitled.png



#728898 $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c...

Gửi bởi DBS trong 15-07-2021 - 15:30

Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 1+(a^3+b^3+c^3-3abc)^2$$




#728889 $P=\sum \frac{bc}{\sqrt[4]{a^2+3...

Gửi bởi DBS trong 15-07-2021 - 09:07

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của:

$$P=\frac{bc}{\sqrt[4]{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt[4]{b^2+3}}+\frac{ab}{\sqrt[4]{c^2+3}}$$




#728870 $\frac{a}{b}+\frac{b}{c...

Gửi bởi DBS trong 14-07-2021 - 19:10

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$$




#728865 Chứng minh rằng: $\frac{QE}{QF}=\frac...

Gửi bởi DBS trong 14-07-2021 - 16:23

Cho $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$. Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt lấy các điểm $E$ và $F$ sao cho $AE=AF$. Đường trung tuyến $AM$ và đường thẳng $EF$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh rằng: $\frac{QE}{QF}=\frac{AC}{AB}$.




#728814 $T=\sum_{cyc}\frac{a^4}{b^4(5-3\...

Gửi bởi DBS trong 13-07-2021 - 10:52

Ai giải giúp em với ạ, khó quá ạ :(




#728718 $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c...

Gửi bởi DBS trong 09-07-2021 - 09:53

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\geq 2(a^2+b^2+c^2)+\sqrt{3}$$.

 

Ps: Em làm mãi mà chỉ chứng minh được $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\geq 3(a^2+b^2+c^2)+2\geq 2(a^2+b^2+c^2)+3$ thôi à, ko ra đáp án :(




#728703 $T=\sum_{cyc}\frac{a^4}{b^4(5-3\...

Gửi bởi DBS trong 08-07-2021 - 16:04

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$T=\frac{a^4}{b^4(5-3\sqrt[3]{a})}+\frac{b^4}{c^4(5-3\sqrt[3]{b})}+\frac{c^4}{a^4(5-3\sqrt[3]{c})}$$.

 




#728692 $\frac{5(x+y+z)}{3}+\frac{x}...

Gửi bởi DBS trong 08-07-2021 - 09:17

1) Với các số thực dương $a,b,c$, tìm GTNN của biểu thức:

$$Q=\frac{1}{(a+b)^3}+\frac{1}{(b+c)^3}+\frac{1}{(c+a)^3}+\frac{(ab+bc+ca)^2}{32}$$.

 

2) Với các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{5(x+y+z)}{3}+\frac{x}{y^3+z^3+1}+\frac{y}{z^3+x^3+1}+\frac{z}{x^3+y^3+1}\geq 6$$.

 

Ps: Mới thêm đề :)