DBS

Cho $\Delta ABC$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$P=sinA+sinB-cosC$$.

Ps: Câu này không quá khó mà sao em bị lú, làm không được nhỉ :v

Tìm số thực $k$ bé nhất sao cho với mọi bộ ba số thực không âm $a,b,c$, ta luôn có:

$$abc+k\bigg[\big(a-b\big)^2+\big(b-c\big)^2+\big(c-a\big)^2\bigg]+2\geq a+b+c$$

Mới nghĩ ra, không biết đúng không :<

$T=(\frac{3b+3c}{2a}+2)+(\frac{4a+3c}{3b}+1)+(\frac{12b-12c}{2a+3b}+8)-11=(4a+3b+3c)(\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}+\frac{4}{2a+3c})-11\geq (4a+3b+3c).\frac{16}{4a+3b+3c}-11=5$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$T=\frac{3(b+c)}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12(b-c)}{2a+3c}$$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn $c=min\left \{ a,b,c \right \}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P=\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^3-y^3=9y^2+36y+63 \\ x^2-y^2+x=4y \end{cases}$

Ps: Em gõ đề có chút sai sót, mọi người thông cảm ạ

Cho bốn số $x,y,a,b$ thoả mãn $x^2+y^2=1$ và $a+b=2$. Tìm GTLN của biểu thức:

$$T=ax+by+ab$$.

Chúng ta có thể thấy ngay chọn $a,b<0$ và $a^2+b^2=1$ thì hiển nhiên $a+4b-2<0$ mà không cần dùng công cụ gì cả.

Nếu thế thì em nghĩ với mọi $a,b<0$ thì BĐT trên luôn đúng
Sau đó xét TH $a,b\geq 0$ rồi làm tương tự như trên kia :3

Nguồn: AoPS :>

Áp dụng BĐT Holder, ta có: $(1+3)(1+3)(1+3)(a^4+3)\geq (a+3)^4$

$\Rightarrow \sqrt[4]{a^4+3}\geq \frac{a+3}{\sqrt[4]{64}}$

Chứng minh các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:

$\sqrt[4]{a^4+3}+\sqrt[4]{b^4+3}+\sqrt[4]{c^4+3}\geq \frac{a+b+c+9}{\sqrt[4]{64}}$

Hơn nữa, áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta được:

$a+b+c+9=(a+b+c)+3+3+3\geq 4\sqrt[4]{27(a+b+c)}$

$\Rightarrow \sqrt[4]{a^4+3}+\sqrt[4]{b^4+3}+\sqrt[4]{c^4+3}\geq \frac{4\sqrt[4]{27(a+b+c)}}{\sqrt[4]{64}}=\sqrt[4]{108(a+b+c)}$

Cho $$\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqslant c\leqslant \min\left \{ a\sqrt{2};b\sqrt{3} \right \} \\ a+c\sqrt{3} \geqslant \sqrt{6} \\ b\sqrt{3}+c\sqrt{10}\geq 2\sqrt{5} \end{cases}$$.

Chứng minh rằng: $$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{3}{c^2}\leqslant \frac{118}{15}$$.

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$$\sqrt[4]{a^4+3}+\sqrt[4]{b^4+3}+\sqrt[4]{c^4+3}\geq \sqrt[4]{108(a+b+c)}$$

Cho góc $\widehat{xOy}$. Các đoạn $AB,CD$ có độ dài bằng nhau và theo thứ tự thuộc các tia $Ox, Oy$. Gọi $I,J$ theo thứ tự là trung điểm của $AC,BD$. Chứng minh rằng $IJ$ hoặc cùng phương hoặc vuông góc với tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.

Cho hai số thực dương $x,y$ thoả mãn $x+y=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P=\sqrt{2(x^2+y^2)}+4\sqrt{x}+4\sqrt{y}$$.

Ps: Lẽ ra tui nên đăng bài này trên box THCS

$\boxed{4}$ $:$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. $(I)$ tiếp xúc với $AB$, $AC$ tại $E$, $F$. Tiếp tuyến tại $E$ của $(IEC)$ cắt tiếp tuyến tại $F$ của $(IFB$) tại $P$. Chứng minh $AP$, $OI$, $BC$ đồng quy

Em vẽ nó đâu đồng quy đâu nhỉ?

Ps: Vừa vào lớp 10 thấy hình học ghê quá