Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng:

$\frac{2xy}{(x+z)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3xz}{(y+z)(y+x)}\geq \frac{5}{3}$

$1/$

Cho $a;b;c>0$ thoả $abc=1$. Cmr:
$\frac{2}{(a+1)^2+b^2+1}+\frac{2}{(b+1)^2+c^2+1}+\frac{2}{(c+1)^2+a^2+1}\leq 1$

$2/$

Cho $a;b;c>0$. Cmr:
$\frac{b^2c^3}{a^2(b+c)^3}+\frac{c^2a^3}{b^2(c+a)^3}+\frac{a^2c^3}{c^2(a+b)^3}\geq \frac{9abc}{4(3abc+ab^2+bc^2+ca^2)}$

Bài 1: BĐT tương đương: $\sum \frac{2}{a^{2}+2a+2+b^{2}}$

Áp dụng AM-GM ta có: $VT\leq \sum \frac{1}{ab+a+1}$

Dễ dàng chứng minh được: $\sum \frac{1}{ab+a+1}=1$ với abc=1

...

Xin lỗi, mình đánh nhầm. Sr

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn:

ab+bc+ca+abc=4

Chứng minh rằng:

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+2(ab+bc+ca)\geq 3(a^2+b^2+c^2)$.

 

P/S: Cuộc chiến đã kết thúc!

 Kiểm tra lại đề xem sao đi bạn. Mình thử 1,2,3 thấy không đúng

Giải các phương trình lượng giác sau:

1. $tanx+(1+\frac{cos2x}{1+cos2x})cot3x=\sqrt{3}$

2. $\sqrt{2}cos5x-sin(\pi +2x)=sin(\frac{5\pi }{2}+2x)cot3x$

3. $sinx(2cos2x+1)-cos(2sinx+\sqrt{3})=1$

4. $2cos^{2}(x-\frac{9\pi }{4})-2cos^{2}x=2cosx-\frac{1}{cosx}+\frac{1}{cotx}$

5. $4sin3x-13sin2x+4sinx=3cos3x-13cosx+8cos^{2}x$

6. $sin4(\frac{\pi }{8}-\frac{x}{3})-sin^{2}2xcos^{2}x(cot2x-tanx)^{2}=0$

Cho x,y,z$\epsilon \left [ 0,1 \right ]$ và thỏa mãn: $\frac{1}{4x+5}+\frac{2}{4y+5}+\frac{3}{4z+5}=1$

Tìm GTLN của: $P=xy^{2}z^{3}$

Bài toán mở rộng  

Giải phuơng trình : 13$\sqrt{2x^{2}-x^{4}}$ + 9$\sqrt{2x^{2}+x^{^{4}}}$=32

 Bài này có trong THTT rồi

Chứng minh rằng với mọi $0\leq x\leq 1$ ta đều có:

$x(9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}})\leq 16$

Bài này em thấy nhiều rồi nhưng tìm mãi không thấy lời giải

Chú hằng đẳng thức :

$$\dfrac{1}{xy+x+1}+\dfrac{1}{yz+y+1}+\dfrac{1}{zx+z+1}=1$$

Ý tưởng tiếp theo :

$$x^2+2y^2+3=(x^2+y^2)+(x^2+1)+2\geq 2(xy+x+1)$$

 Với bài này bạn có ý tưởng nào sử dụng bất đẳng thức trực tiếp được không?

Cho x,y,z >0 và xyz=1.Tìm GTLN của:

P=$\frac{1}{x^{2}+2y^{2}+3}+\frac{1}{y^{2}+2z^{2}+3}+\frac{1}{z^{2}+2x^{2}+3}$

Đặt $f(x;y;z)=(x+y+z)\left(\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{x+z}{(x-z)^2}\right)$.

Không mất tính tổng quát giả sử $z=min\{x;y;z\}$

Ta sẽ chứng minh $f(x;y;z)\geq f(x-z;y-z;0)$

$$\Leftrightarrow (x+y+z)\left(\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{z+x}{(z-x)^2}\right)\geq (x+y-2z)\left(\frac{x+y-2z}{(x-y)^2}+\frac{y-z}{(y-z)^2}+\frac{x-z}{(z-x)^2}\right)$$

Thật vậy điều này đúng do $x+y+z\geq x+y-2z$ và $$\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{z+x}{(z-x)^2}\geq \frac{x+y-2z}{(x-y)^2}+\frac{y-z}{(y-z)^2}+\frac{x-z}{(z-x)^2}$$

$$\Leftrightarrow \frac{2z}{(x-y)^2}+\frac{2z}{(y-z)^2}+\frac{2z}{(x-z)^2}\geq 0\,\,\,\,\text{(Luôn đúng)}$$

Vậy tóm lại $f(x;y;z)\geq f(x-z;y-z;0)$ hay ta chỉ cần chứng minh bất đăng thức trong trường hợp $z=0$ :

Tương đương : 

$$\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{9}{x+y}$$

$$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^2}{(x-y)^2}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq 7$$

$$\Leftrightarrow \frac{4xy}{(x-y)^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}\geq 6$$

$$\Leftrightarrow \frac{4xy}{(x-y)^2}+\frac{(x-y)^2}{xy}\geq 4$$

Bất đẳng thức cuối đúng theo AM-GM. Ta có điều phải chứng minh $\square$

Bác có cách nào chứng minh bất đẳng thức theo kiểu phổ thông hơn đc không? Em chưa có hiểu phần dồn biến cho lắm

Cho x,y,z là các số thực không âm phân biệt. CMR:

$\frac{x+y}{(x-y)^{2}}+\frac{y+z}{(y-z)^{2}}+\frac{z+x}{(z-x)^{2}}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Xét phương trính

Đặt x+y=a, xy=b

Ta có phương trình tương đương:

$a^{2}-2b+\frac{2b}{a}=1 \Leftrightarrow a^{3}-2ab+2b=a\Leftrightarrow a(a-1)(a+1)=2b(a-1)$

Bài 30: Cho abc=1

Tìm GTNN của: $\frac{1}{(a+b)^{3}}+\frac{1}{(b+c)^{3}}+\frac{1}{(c+a)^{3}}$

Giải bất phương trình:

$25x^{4}+5x^{2}+9x(x^{2}+1)\sqrt{9x^{2}-4}-2\geq 0$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}(4y^{2}+1)+2(x^{2}+1)\sqrt{x}=6 & \\ x^{2}y(2+2\sqrt{4y^{2}+1})=x+\sqrt{x^{2}+1} & \end{matrix}\right.$

Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$

CMR; $x+y+z\leqslant 2+xyz$

Cho x,y,z >0 mà xyz=1. Tìm GTLN của:

P=$\sum \frac{1}{x^{2}+2y^{2}+3}$

Cho $\Delta$ ABC có trọng tâm H. CMR:

$\sum tan\angle A .\vec{HA}=\vec{0}$

Cho a,b,c>o. CMR

             $\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}\geq 2\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}$

Cái này có ở đây rồi: http://diendantoanho...ab/#entry443527

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

$\sum \frac{a+b}{ab+c^{2}}\leq \sum \frac{1}{a}$

VP phải là 2 lần chứ nhỉ 

 Mình quên mất

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq 2\sum \sqrt{\frac{c}{a+b}}$

Số $2^{32}+1$ có phải là số nguyên tố không?

 

Mong mọi người giải thích kỹ giúp ạ

là hợp số vì nó chia hết cho 641