Câu 2 bài 2 thì xét tổng $\overline{abcde}+\overline{abc}-(10d+e)=101\overline{abc}\vdots 101$ nên chỉ cần tìm số các số có 5 chữ số chia hết cho 101 thôi

Câu 2a đã có ở đây http://diendantoanho...in3xsin-xcos-x/

đã có ai biết kết quả chưa?

Câu III (nhờ mọi người vẽ hình hộ)

a)

Tứ giác ALFM nội tiếp nên

$\angle LAM =\angle EFD$

Mà $\angle EFD =\frac{1}{2}\angle EID=\angle DIC=\angle DEC= \angle AED =\angle AMK$

Nên $\angle LAM =\angle AMK$

$\Rightarrow AL$ song song $MK$

CMTT ta được LM song song AK

$\Rightarrow$ Tứ giác ALMK là hình bình hành

Đến đây dễ dàng suy ra đpcm

b) Dễ thấy

LM song song QE ; MK song song PF (tính chất đường trung bình)

Nen nếu QE cắt FP tại N; LM cắt FP tại X ; FP cất QE tại Y thì NXMY là hình bình hành

$\Rightarrow$ $\angle PNE =\angle LMK=\angle LAK$

$\Rightarrow \angle FNE +\angle FDE =180$

Suy ra tứ giác FNED nội tiếp

Dễ dàng suy ra dpcm

Câu I:

1) Với a,b,c>0. ab+ac+bc =1 .CMR:

               

                $\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}-\frac{c}{1+c^{2}}=\frac{2ab}{\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}}$

 

2) Giải phương trình:  $4x + \sqrt{3x^{2}+10x+3}=2x\sqrt{3x+1}+2\sqrt{x+3}$

 

 

Câu II:

1) Số 27000001 có đúng 4 ước nguyên tố,hãy tính tổng của chúng.

 

2) CMR:

                $\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\frac{1}{6\sqrt{4}}+...+\frac{1}{2n\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>1$

 

 

Câu III: Cho tam giác ABC.(K) đi qua B,C sao cho luôn cắt AB,AC tại F,E khác B,C.BE giao CF tại H.M là trung điểm EF.Gọi P,Q là điểm đối xứng của A qua BE,CF.

1) CMR:(I) ngoại tiếp tam giác HPE và (J) ngoại tiếp tam giác HQF cắt nhau trên AM.

2) CMR: (I) và (J) có bán kính bằng nhau.

 

 

Câu IV: x,y,z >0 thoả mãn $\Sigma \frac{1}{x}=2$

 

                                                   CMR: $\Sigma \sqrt{x+1}\leq \sqrt{5(\Sigma x)}$

 

Có ai ở đây đi thi ko?Tình hình làm bài thế nào? :biggrin:Mình cũng bình thường.

Cách khác câu IV

$VT=\sum \sqrt{x(1+\frac{1}{x})}$

$VT^2\leq (x+y+z)(1+\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}+1+\frac{1}{z})=5(x+y+z)$ (Bu-nhi-a-cốp-xki)

Từ đây có dpcm

dùng cô-si ngược dấu phát là ra

Ta có

$(x^2+y^2)^2=(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2) \Rightarrow x+y=x^2+y^2\leq 2$

$P=3x+1+\frac{8}{\sqrt{3x+1}}+\frac{8}{\sqrt{3x+1}}+x+3y+\frac{8}{\sqrt{x+3y}}+\frac{8}{\sqrt{x+3y}}-(x+y)-1\geq 3\sqrt[3]{64}+3\sqrt[3]{64}-2-1=21$

$P=21\Leftrightarrow x=y=1$

Vậy Min P=21

Cho a;b;c > 0 ; abc=1

Tim max S=$\sum \frac{a}{a^2+b^2+c}$

Chào tất cả các bạn.

Mình không học Toán chuyên sâu nên mong các bạn giúp mình giải 3 bài toán chia hết. Máy tính của mình bị lỗi, bật TEX là tự động treo máy nên mình xin up file ảnh lên. Cảm ơn các bạn nhiều nhiều.

Mình làm bài 3 trước

$n+1\vdots 25\Rightarrow n$ có thể có 2 c/s tận cùng là 99;24;49;74

Mà$n+2\vdots 4\Rightarrow$ n có 2 c/s tận cùng là 74

Nhung $n\vdots 9$ nên só n nhỏ nhất thoả mãn là 774

Bài 2

$\overline{xy2}\vdots 4\Rightarrow y$ lẻ$\overline{xy2}\vdots 7\Rightarrow \overline{xy}-4\vdots 7$

Từ đó tìm được các số thoã mãn

Bài 1

Ta có ; $a^{101}-a^{100}\equiv 67 (mod 73) \Rightarrow a^{100}(a-1)\equiv 67 (mod73)\Rightarrow a\equiv 71(mod73)$

chuyển vế phải sang và phân tích thành tổng 2 binh phương 

Đáp số: X=-3

64 *63/2=2016

Là cùng thuộc 1dg tròn

BĐT cân cm tương đương

$(a^3+b^3)(a^2+b^2)\leq (1+ab)(a^5+b^5)\Leftrightarrow ab(a^5+b^5)\geq a^2b^2(a+b)\Leftrightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0$ 

(luôn đúng)

Ta có $9^{n}+3^{n}+1=\frac{27^{n}-1}{3^{n}-1}$

Tử số chia hết cho 13

Mà $n$ không chia hết cho 3 nên mẫu không chia hết cho 13

Suy ra $A\vdots 13$ (do 13 nguyên tố)

Xét $VP=(b^2+ab+bc+ca)(c+a)+abc=(c+a)(ab+bc+ca)+b^2(c+a)+abc=(c+a)(ab+bc+ca)+b(ab+bc+ca)=VT$

Cho (O), đườnh kính AB, C là điểm chính giữa cung AB. Trên đoạn OC lấy 2 điểm M và N sao cho OM=1/2 OC; ON=1/3 OC. AN và BM cắt nhau tại K. CMR: K là trung điểm của BE (với E là giao điểm của BM và (O))

Cho tứ diện ABCD.R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp.Chứng minh:

$R\geq 3r$

BĐT cần CM tương đương

$(a+b+c)\prod (a+b-c)\leq 3a^2b^2c^2\Leftrightarrow 16S^2\leq 3a^2b^2c^2\Leftrightarrow 4S\leq \sqrt{3}abc\Leftrightarrow \frac{abc}{R}\leq \sqrt{3}abc\Leftrightarrow R\geq \frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\\sin c}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow {\sin A+\sin B+\\sin c}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Xét các góc $x;y\in \left ( 0;\pi \right )$ có 

$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}\leq 2\sin \frac{x+y}{2}(0< \cos \frac{x-y}{2}<\leq 1)$

Áp dụng BĐT trên ta đc $\sin A+\sin B+\sin C+\sin \frac{\pi }{3}\leq 2\sin \frac{A+B}{2}+2\sin \frac{C+\frac{\pi }{3}}{2}\leq 4\sin \frac{A+B+C+\frac{\pi }{3}}{4}=4\sin \frac{\pi }{3}(A+B+C=\pi )$

Suy ra $\sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin \frac{\pi }{3}= \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy ta có dpcm

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh

$$\frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{1}{a^2+7}+\frac{1}{b^2+7}+\frac{1}{c^2+7}$$

Ta có:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+2b+c}$

Mà $a^2+1\geq 2a$ ; $2(b^2+1)\geq4b$ ; $c^2+1\geq 2c$

$\Rightarrow a^2+2b^2+c^2+4\geq 2(a+2b+c)$

$\Rightarrow b^2+7\geq 2(a+2b+c)$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{8}{b^2+7}$

Chứng minh tương tự rồi cộng các BDT lại ta có dpcm

Vi các chữ số tận cùng là khác nhau mà nhóm 1 chỉ có 2 loại chữ số tận cùng nên trong 7 số đã cho có ít nhất 5 số thuộc nhóm 2 và 3

Nếu 7 số đã cho có 2 chữ số tận cùng giống nhau thi chúng là các số thỏa mãn, nếu không, ta chia các số làm 3 nhóm

Nhóm 1: các số có chữ số tận cùng là 0;5

Nhóm 2: các số có chữ số tận cùng là 1;2;3;4

Nhóm 3: các số có chữ số tận cùng là 9;8;7;6

Ta thấy nhom 2 và 3 có ít nhất 5 số trong 7 số đã cho và đến đây dễ dàng có được điều phải chứng minh

Cho 3 vecto $\vec{a};\vec{b};\vec{c}$.CM

$\sum \left | \vec{a} +\vec{b}\right |\leq \left | \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \right |+$\sum \left | \vec{a} \right |$

Hãy tổng quát hóa bài toán trên

PT tương đương $2\sqrt{2}\sin x\cos x+2\sqrt{2}\cos ^2x-\cos 2x=3\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+(\sqrt{2}-1)\cos 2x=3-\sqrt{2}$

(PT lượng giác cơ bản)

Từ điều kiện đã cho suy ra $a^{200}\left ( a-1 \right )+b^{200}\left ( b-1 \right )>0$

BDT đã cho tương đương $a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right )\geq 0$

Ta chứng minh $a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right ) > $a^{200}\left ( a-1 \right )+b^{200}\left ( b-1 \right )

Thật vậy, xét hiệu

$a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right )-$a^{200}\left ( a-1 \right )-b^{200}\left ( b-1 \right ) = $a^{200}(a-1)^2+b^{200}(b-1)^2\geq$0

Suy ra dpcm

ĐK; $x\neq 0$

Dễ thấy khi $x< 0$ thì x không là nghiệm

Xét $x> 0$

PT đã cho tương đương

$\sqrt{x}(\sqrt{2x+\frac{6}{x}+1}+\sqrt{x+\frac{2}{x}+1})=x+\frac{4}{x}\Leftrightarrow \sqrt{x}(\frac{x+\frac{4}{x}}{\sqrt{2x+\frac{6}{x}+1}-\sqrt{x+\frac{2}{x}+1}})=x+\frac{4}{x}$

Từ đó suy ra PT tương đương

$\sqrt{x}=\sqrt{2x+\frac{6}{x}+1}-\sqrt{x+\frac{2}{x}+1}\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{x+\frac{2}{x}+1}=\sqrt{2x+\frac{6}{x}+1}\Leftrightarrow 2x+\frac{2}{x}+1+2\sqrt{x^2+x+2}=2x+\frac{6}{x}+1\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+2}=\frac{2}{x}\Leftrightarrow x^2+x+2=\frac{4}{x^2}\Leftrightarrow x^4+x^3+2x^2-4=0\Leftrightarrow (x-1)(x^3+2x^2+4x+4)=0\Leftrightarrow x=1$ 

Vậy $x=1$