Cho a,b,c > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CMR:
$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}} \leqslant \sqrt{3}$
Đặt biểu thức vế trái là $A$ . Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz kết hợp với những BĐT sau:
1. $a+b+c\leq a^2+b^2+c^2=3$
2. $(a^2+b+c)(1+b+c)\geq (a+b+c)^2$ ta có
$A^2\leq (a+b+c)\left [ \sum \frac{a}{a^2+b+c} \right ]\leq (a+b+c)\left [ \sum \frac{a(1+b+c)}{(a+b+c)^2} \right ]$
$\Leftrightarrow A^2\leq \frac{a+b+c+2(ab+bc+ac)}{a+b+c}\leq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c\leq 3$
$\rightarrow A\leq \sqrt{3}$ (đpcm)