Nghiệm thì duy nhất và đồng biến. Chắc có bí ẩn đằng sau!

Mọi người có thể tham khảo thêm ở đây (Carnegie Mellon University): The Basel Problem - Numerous Proofs (cmu.edu) 

Khai thác PT(2), viết lại ta được: $$2y(\sqrt{4y^2+1}+1)=\dfrac{1}{x}(\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}+1).$$

Xét hàm số $f(t)=t(\sqrt{t^2+1}+1)$, có $f'(t)=\sqrt{t^2+1}+1+\dfrac{t^2}{\sqrt{t^2+1}}>0$ nên hàm đồng biến.

Suy ra $2xy=1$.

Còn lại thì thử xem !

Ta sẽ thu được hàm sinh dạng: 

$$ G(t) = \dfrac{1}{(1-t)^n}, $$

và ta tìm hệ số của $t^{np-m}$ trong $G(t)$.

Có thể dùng hàm sinh nhé.

Nhân tử đa thức cho $x_i$ là: $1+t+\dots + t^7$. 

Ta được hàm sinh:

$$ G(x) = (1+t+\dots + t^7)^4 = [(1+x)(1+x^2)(1+x^4)]^4. $$

Mục tiêu là tìm hệ số của $x^{20}$ trong hàm sinh.

Có thể làm hai cách: $G(x) = \dfrac{(1-x^8)^4}{(1-x)^4}$ hoặc tìm thẳng từ hàm sinh ở trên luôn.

Kết quả là $\boxed{161}$ đúng nhá!  

=)) Đây, anh thuộc lớp cntn. Lớp CNTN đầu vào được nhà trường xếp nha em. Thường sẽ thuộc vào 3 nhóm sau:

1. Được tuyển thẳng, ưu tiên xét tuyển.

2. Điểm đầu vào thi THPT QG cao.

3. Điểm ĐGNL cao.

Cái 2 và 3 là lấy theo top, ngưỡng thì tuỳ năm (nói chung là cố gắng thi cao so với đề của năm em là ok)

Hoặc có thể học 1 kỳ ở lớp ngoài sau đó nộp đơn vào CNTN. 

Ghi chú: Nói chung là k có gì chắc chắn việc em có thể vào được lớp cntn từ đầu vào luôn (anh thì được ĐGNL điểm cao nên được vào luôn) do là khoa xét nha chứ không phải do học sinh. Đừng nặng việc đó quá. Còn việc lớp CNTN chỉ lấy 3 môn A00 thì anh k rõ Anh chỉ biết lấy theo 3 nhóm trên. 

Hẹn gặp em KHTN !

Tìm số nghiệm nguyên của phương trình sau $$\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}+\mathrm{x}_{4}=20$$ với $0 \leq \mathrm{x}_{\mathrm{i}}<8, \forall \mathrm{i} \in\{1,2,3,4\}$.

Ghi chú: Bài có thể tiếp cận bằng nhiều cách (hàm sinh, nguyên lý bù trừ, ...) 

@@ Nếu sử dụng hàm sinh thì nên để ở Đại học luôn. 

Bài $1$ khá là khoai đấy. Phải chia ra $x_i$ full không âm và $x_i$ full dương.

Nên thay $x_i$ là số tự nhiên (không âm hoặc dương) để các bạn nhỏ dễ tiếp cận...

Chắc là dùng hàm sinh mũ á!

Hàm sinh 

$$ g(x)=(\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dots)^4 = (e^x-1-x)^4.$$

Chỉ cần tính $(e^x-1-x)^2= \dfrac{1}{4} x^{4}+\dfrac{1}{6} x^{5}+\dfrac{5}{72} x^{6}+\dfrac{1}{45} x^{7} + O(x^8)$.

Rồi lấy khúc đầu bình phương lên tiếp, được: 

$$ \frac{x^{14}}{2025}+\frac{x^{13}}{324}+\frac{317 x^{12}}{25920}+\frac{37 x^{11}}{1080}+\frac{x^{10}}{16}+\frac{x^{9}}{12}+\frac{x^{8}}{16}.$$

Kết quả sẽ là $11!$ nhân hệ số của  $x^{11}$ là: 

$$ 11!.\dfrac{37}{1080}=1367520. $$

Tới số $6$ là $n^3-1<n!$ rồi mà nhỉ?

Bài nài $0\leq a\leq 1$, nên có thể xem xét giải bằng lượng giác.

Đặt $a=\cos^2{x}$ hoặc $a=\sin^2{x}$.

P/S: Lâu rồi chưa làm nên vẫn còn mò mẫm.

Nếu $(x,y)$ thoả thì $(-x,-y)$ cũng thoả. Do đó xét $x\geq 0$.

$x=0; 1; 3$ thoả.

Khi $x$ càng lớn thì $y$ càng gần $x$ (check bằng máy tính thôi).

Tới đây bạn chặn trong khoảng là được. 

Tới một giá trị nào đó thì $x^3+63x\leq (x+1)^3$.

Đặt $y=mx, z=nx$.

Khi đó: $\left\{\begin{matrix} x^2(1-mn)=2 \\ x(m^2-n)=3 \\ x^2(n^2-m)=4 \end{matrix}\right.$.

Ta chỉ cần giải tìm $m,n$ bằng cách chia theo vế $(1)/(2)$ và $(2)/(3)$: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1-mn}{m^2-n}=\dfrac{2}{3} \\ \dfrac{m^2-n}{n^2-m}=\dfrac{3}{4} \end{matrix}\right.$

Biến đổi ta được hệ mới là: $\left\{\begin{matrix} 2m^2+3mn-2n-3=0 \\ 4m^2+3m-3n^2-4n=0 \end{matrix}\right.$

Cộng theo vế ta được: $6m^2+3m(n+1)-3(n+1)^2=0\Rightarrow m=-(n+1) \text{ hoặc } m=\dfrac{1}{2}(n+1)$.

Thế lại vào $(1)/(3)$ ta được $n=\dfrac{-5}{4}$.

Suy ra $m=\dfrac{-1}{8}$.

Tới đây đã dễ dàng rồi.

P/S: Ở trên điều là hệ quả, để chắc ăn thì cần thử lại sau khi giải xong. Và ý tưởng đến từ việc VT của các PT đẳng cấp. 

Excel là sao nhỉ ? 

a) Tỉ lệ khỏi bệnh khi dùng thuốc $A$ là $0.6$.

Khoảng tin cậy của $95\%$ ($\alpha=0.05$) là: $p-\epsilon,p+\epsilon$ với $\epsilon=z_{1-\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.

b) Làm giống câu a với trường hợp $2$ mẫu.

Có thể giải thích bằng tốc độ tiến đến vô cực của tử và mẫu.

Rõ ràng hàm luỹ thừa tiến đến vô cực nhanh hơn so với hàm đa thức.

Có thể thấy là các số mũ ở đây là lẻ nên việc đánh giá sẽ dễ dàng.

Đó là lí do ta nghĩ đến chuyện đó, thay vì đi biến đổi

Giải phương trình vi phân:

\[ (x+1)y'-1= 3y+x(x+2). \]

$30=2*3*5$.

Ta chỉ cần tạo ra các tập con nhỏ nhất mà chia hết $30$ là được. Ví dụ như muốn có tập $\{2,3,4,5\}$ thì ta chỉ cần $\{2,3,5\}$ hoặc $\{3,4,5\}$ là ok.

+ Tập có $3$ phần tử mà mỗi phần tử chia hết cho $1$ trong $3$ số $2,3,5$: $\{2,4,6,8\}$, $\{3,6,9\}$ và $\{5\}$.

+ Tập có $2$ phần tử, khi đó hiển nhiên có $10$ và $\{3,6,9\}$.

Tính số tập con của các TH trên nhân với số tập con tương ứng khi chọn các phần tử còn lại.

P/S: Nhớ lọc các TH giống nhau  

Nếu hiện tại và trước đó đều ở ô trắng thì ô tiếp theo là ô đen. (Chọn tuỳ ý, ý là bước vào $1$ trong $4$ ô xung quanh ô trắng đó).

Nếu hiện tại và trước đó là khác màu, thì bước tiếp theo cùng màu với ô hiện tại ạ.

P/S: Qua em mệt quá nên viết hơi lủng củng.

Cho bàn cờ vua và đặt quân vua ở vị trí bất kỳ. Quy luật đi được quy định như thế này:

- Bước đầu tiên phải đi vào ô cùng màu mà không được theo đường chéo, và cách vị trí này đúng $2$ ô.

- Nếu bước trước là bước vào ô cùng màu thì bước sau phải bước vào ô khác màu xung quanh vị trí đang đứng. (bước tuỳ ý)

- Không có ô nào được bước vô lại. 

Hỏi quân vua đứng ở đâu để bước được nhiều ô nhất và bước được nhiều nhất bao nhiêu ô?

Nhân từ mẫu $x^3$ lên thoi bạn.

Còn việc nhóm được vậy thì phải luyện tập nhiều mới có thể "đánh hơi" được.

Nếu có nghiệm thì chắc chắn PT phân tích được thành nhân tử, nên cứ nhóm hợp lý thôi.

Sử dụng CS vẫn đúng mà đúng không ta ?

$\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\dfrac{x+y+z}{2}\geq \dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}$.

Có thể đặt $b=ma,c=na$ với $m,n>0$.

Khi đó tìm min của 

$A=\dfrac{3(m+n)}{2}+\dfrac{4+3n}{3m}+\dfrac{12(m-n)}{2+3n}$.

Tách ra như sau:

$A=(\dfrac{3m}{2}+\dfrac{2}{3m})+\dfrac{3n}{2}+\dfrac{2}{3m}+\dfrac{n}{m}+\dfrac{12m}{2+3n}-\dfrac{12n}{2+3n}$

$\geq 2+\dfrac{3n}{2}+\dfrac{2+3n}{3m}+\dfrac{12m}{2+3n}-\dfrac{3n}{2}-\dfrac{3n}{3n}$

$\geq 1+\dfrac{2+3n}{3m}+\dfrac{12m}{2+3n}$

$\geq 1+4=5$.

Dấu bằng xảy ra khi $m=n=\dfrac{2}{3}$.

$(x-1)^2+2\leq P(x)\leq 15(x-1)^2+2$ nên $2\leq P(1)\leq 2$.

Chắc là phán được $P(x)$ có đỉnh parabol tại $(1,2)$.

Suy ra $P(x)=a(x-1)^2+2$.

Thế vô được $a=14$.

P/S: Chỗ phán sao sao í @@ cảm giác không ổn lắm!

Bài này khéo léo là ok.

Từ PT $(2)$ có xuất hiện mấy cái bình phương, đặt $a=x^2-1,b=y-2$.

Nên ta có $a^2+b^2=10$ và biến đổi PT $(1)$ thành $ab+4a+4b=5$.

Tới đây dễ, đặt $S=a+b,P=ab$ thì ta có $S^2+8S-20=0$ suy ra $S=2$ hoặc $S=-10$.

$S=-10$ không thoả.

$S=2$ thoả từ đó ra $(a,b)=\{(3,-1),(-1,3)\}$.

Suy ra các nghiệm, $(x,y)=(\pm 2,1),(0,5)$.