Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=\frac{3}{2}$  tính $x^2+y^2+z^2​​$

Với x,y nguyên ta có :

 $4x^{4}=5y^{3}+6$

$\Leftrightarrow 4x^{4}-6=5y^{3}$

$\Leftrightarrow 2(2x^{2}-3)=5y^{3}$

Vì x,y nguyên nên $2(2x^{2}-3)\vdots 2$

Suy ra $5y^{3}\vdots 2$

Mà $(5,2)=1$

Nên ta có $y^{3}\vdots 2\Leftrightarrow y\vdots 2$ (do y nguyên)

Đặt $y=2k(k\epsilon Z)$

$\Leftrightarrow 5y^{3}=40k^{3}$

Khi đó phương trình có dạng :

$4x^{4}=40k^{3}+6$

$\Leftrightarrow 4(x^{4}-10k^{3})=6$

Ta thấy $4(4x^{4}-10k^{3})\vdots 4$

Mà 6 không chia hết cho 4 

Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:

$x^{2}(y+3)=y(x^{2}-3)^{2}$

Cho a,b,c $\epsilon Z$

CMR nếu $a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\vdots 6$ thì $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\vdots 6$

Với a,b,c là các số thực dương ta có:

$x= \frac{b-c}{a}$ 

$y= \frac{c-a}{b}$ 

$x= \frac{a-b}{c}$ 

Do đó x+y+z=0 

Mặt khác $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 0$ với mọi x,y,z

Suy ra đpcm (do vế phải của bất đẳng thức $\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=0

Thay vào suy ra a=b=c

Cho a,b,c,d là các số thực dương.CMR:

$(a+b)(a+b+c)(a+b+c+d)^{2}\geq 26abcd$

Ta có :

$\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$(*)

$\Leftrightarrow 3a^{5}+3b^{5}+3c^{5}\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\Leftrightarrow 2a^{5}+2b^{5}+2c^{5}\geq a^{3}b^{2}+a^{3}c^{2}+b^{3}c^{2}+b^{3}a^{2}+c^{3}a^{2}+c^{3}b^{2}$

$\Leftrightarrow(a^{3}-b^{3})(a^{2}-b^{2})+(b^{3}-c^{3})(b^{2}-c^{2})+(c^{3}-a^{3})(c^{2}-a^{2})\geq 0$

Ta có:Cần cm $(a^{3}-b^{3})(a^{2}-b^{2})+(b^{3}-c^{3})(b^{2}-c^{2})+(c^{3}-a^{3})(c^{2}-a^{2})\geq 0$(1)

$(a^{3}-b^{3})(a^{2}-b^{2})=(a^{2}+ab+b^{2})(a-b)^{2}(a+b)\geq 0$(luôn đúng với mọi a b >0)

Tương tự 

$(b^{3}-c^{3})(b^{2}-c^{2})=(b^{2}+cb+c^{2})(b-c)^{2}(c+b)\geq 0$

$(c^{3}-a^{3})(c^{2}-a^{2})=(c^{2}+ca+b^{2})(c-c)^{2}(c+a)\geq 0$

Suy ra (1) đã đc cm

Vậy (*) luôn đúng với mọi a b c >0

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Tôi cộng lại với nhau

Mà đúng là tôi sai thật

Tìm nghiệm tự nhiên cùa phương trình $3^{x}+1=y^{2}$

Tìm p,q nguyên sao cho $\sqrt{p-2} + \sqrt{q-3} = \sqrt{pq-2p-q+1}$

GPT $5(8x^{2}+11)=27(2x+1)\sqrt{3x-2}$

Tìm các số $abc$ với các chữ số khác nhau để $9a=5b+4c$

Tìm $n\epsilon N$ , $n>1$ để $(n-1)! \vdots n$

Cho a,b,c,d >0 tm $abc=a+b+c+2$ CM $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 4(a + b + c)$

RGBT $C=\sqrt{\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{(a+b)^2}+\sqrt{\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{(a^2+b^2)^2}}}$ với $a,b\neq 0;a+b\neq 0$

Với $m,n\epsilon Z$ cm $mn(m^4-n^4)\vdots 30$

Vì $x,y,z >0$ và $x\geq y\geq z$ nên 

$x^{3}(y-z)^2+y^{3}(z-x)^2+z^{3}(x-y)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow x^{3}y^{2}+y^{3}z^{2}+z^{3}y^{2}\geq x^{3}yz+y^{3}zx+z^{2}xy$

Chia cả 2 vế cho xyz >0 ta được đpcm

GPT $x^{2}+8x-1=2(2x+1)\sqrt{2x^{2}-2}$

Các bác cho em hỏi ngoài forum là fb đg bị sập phải ko ak vì e ko truy cập đc

Cho điểm K nằm ngoài đường tròn (O;R). vẽ cát tuyến KAB đến đường tròn O sao cho A nằm giữa K và B,d là trung trực của KB.H là hình chiếu vuông góc của O trên d, I là trung điểm OK. tính IH theo R.

Tôi nghĩ bài này nên liên hợp hoặc lập phương lên

Tìm $n\epsilon N*$ để phần nguyên của $\frac{n^3+8n+1}{3n}$ là một số nguyên tố