Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $(x+y)(x+z)=4$. Chứng minh rằng $\frac{1}{(y-z)^2} +\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2} \ge 1$

bài này em có nhầm đề không ? Đoạn $\frac{1}{(y-z)^2}$ là $\frac{1}{(y+z)^2}$ chứ ?

Nếu

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $(x+y)(x+z)=4$. Chứng minh rằng $\frac{1}{(y-z)^2} +\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2} \ge 1$

 Nếu đăng bài về bất đẳng thức em nên đăng vào box Bất đẳng thức sẽ có nhiều anh/chị giỏi hơn hỗ trợ em

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} - 2x + 4y = 3\\
{x^2} + {y^2} = 5
\end{array} \right.\]

Hệ phương trình này em giải chỉ cần dùng phương trình ban đầu là đã có thể tìm ra x, y và cách này nó hơi thiên về giải phương trình 2 nghiệm nguyên bên số học nên không biết đúng không nữa.     

Giải: $x^2-y^2-2x+4y=3$

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y)-(x-y)-x+3y-3=0$     (1)

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-1)+(x+y-1)-2x+2y-2=0$

$\Leftrightarrow (x-y+1)(x+y-1)-2(x+y-1)=0$

$\Leftrightarrow (x-y-1)(x+y-1)=0$

Từ đó ta có 2 TH: x=1+y và x=1-y. 

Thay cả 2 trường hợp vào (1) ta đều có x= 2 và y= 1 (Đều thỏa mãn đề bài)

Các anh có thể chia sẻ cho em cách giải theo hệ được không ạ     

ý mình hỏi là làm ntn để biết là cần phải xét tích 4a.abc? 

Mình nghĩ do có $4ac=b^2-m^2$ nên xét tích 4a.abc để có $4ac$ thay vào rồi nhóm nhân tử

1.

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh

$\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+c^2}+\frac{c}{c+a^2}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

(Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Tin thành phố Hà Nội 2016-2017)

Cm BĐT sau với mọi số thực dương a,b,c:

\[\frac{{ab}}{{b + c}} + \frac{{bc}}{{a + c}} + \frac{{ac}}{{a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{2}\]

Ta có: $(a+b)^2\geq 4ab\Rightarrow \frac{a+b}{ab}\geq \frac{4}{a+b}$

           $\Rightarrow \frac{ab}{a+b}\leq \frac{a+b}{4}$

Tượng tự với b và c sau đó cộng các bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Th

Phương pháp S-S là phương pháp gì thế ạ?

Theo mình thì S-S là một phương pháp khai triển khá hay và được sử dụng cũng khá nhiều. Bạn tham khảo thêm phương pháp khai triển S.O.S và khai triển Abel vì những cách khai triển này dùng khá tốt trong việc chứng minh bất đẳng thức 

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có

​
​

$\left ( a+b \right )^{3}\left ( b+c \right )^{2}\left ( c+a \right )\leq \frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{6}$

ơ nhưng mà đề bảo chứng minh bất đẳng thức $\leq$ mà sao lại chứng minh được <

Theo mình thấy thì bài sẽ đẹp hơn khi cho a,b,c không âm, nghĩa là sẽ xảy ra dấu "=" cho bất đẳng thức ( Hoặc có thể là mình làm sai    )

Bất đẳng thức luôn $\leq$ là đúng nhưng đúng hơn sẽ là $<$ vì dấu "=" không xảy ra, ko có giá trị bộ (a,b,c) nào dương mà thỏa mãn$ \left ( a+b \right )^{3}\left ( b+c \right )^{2}\left ( c+a \right )= \frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{6}$

Để viết rõ hơn, thì dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{3y}{2}=3z\Leftrightarrow a+b=\frac{3(b+c)}{2}=3(c+a)$$\Leftrightarrow b=2a-3c=c+2a \Rightarrow c=0$ ( vô lí) 

  Thanks b nhaa

Bạn có thể sử dụng phương pháp Quy Nạp như bạn ThienDuc1101 trên hoặc có thể sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp như này :

Ta có: $n^3$ + 11n

= $n^3$ – n + 12n

= n($n^2$ – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n.

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3

⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.

Lại có: 12n ⋮ 6

⇒  n(n – 1)(n + 1) + 12n = n3 + 11n ⋮ 6.

Có $\left\{\begin{matrix} 0\leq x,y,z & \\x+y+z=1 & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow 0\leq x,y,z\leq 1$

$\Rightarrow x(x-1)\leq 0\Leftrightarrow x^2-x\leq0\Leftrightarrow x^2\leq x$

Tương tự với $y,z$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\leq x+y+z=1$

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,0,0)$ và các hoán vị

Có $\frac{a^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$

Tương tự ta có $\frac{b^2}{c+1}\geq b-\frac{bc}{2}$;$\frac{c^2}{a^2+1}\geq c-\frac{ca}{2}$

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được: 

$P\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}$

Lại có $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2=9\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$
$\Rightarrow P\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Với $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$, chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$.

Cần chứng minh $\sum \frac{1}{a^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{da}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

$\frac{cd+da+bc+ab}{abcd}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

$\Leftrightarrow (a+c)(b+d)\geq (a^2+c^2)abcd+(b^2+d^2)abcd$

$2VP=2ac(a^2+c^2)+2bd(b^2+d^2)\leq (\frac{2ac+a^2+c^2}{2})^2.bd+(\frac{2bd+b^2+d^2}{2})^2.ac\leq \frac{1}{4}(a+c)^4.\frac{(b+d)^2}{4}+\frac{1}{4}(b+d)^4.\frac{(a+c)^2}{4}$

$=\frac{1}{32}(a+c)(b+d)2(a+c)(b+d)[(a+c)^2+(b+d)^2]$

$\leq \frac{1}{32}(a+c)(b+d).(\frac{2(a+c)(b+d)+(a+c)^2+(b+d)^2}{2})^2=2(a+c)(b+d)=2VT$

Suy ra điều phải chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d=1$

Chứng minh rằng: $a^7-a \vdots 42$.

Biến đổi $a^7-a$

$a^7-a=a(a^6-1)=a(a^3-1)(a^3+1)=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)$

Mà $a-1,a,a+1$ là 3 số liên tiếp

$\Rightarrow a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)\vdots 6$  (1)

Cần chứng minh $a^7-a \vdots 7$

Xét các trường hợp $a=7k, a=7k+1,a=7k+2...a=7k+6$ ta đều thấy $a^7\equiv a(mod7)$ nên $a^7-a\vdots 7$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $a^7-a\vdots 42$ 

4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc = 1. Tìm min:

$M = \sum \frac{b^2}{(ab+2)(2ab+1)}$

P/s: Bài này là một dạng BĐT khá cơ bản có lẽ trong quá trình học bạn sẽ gặp nhiều dạng như này. Khi gặp đề bài cho thông tin $abc=k$ thì bạn nên thử đặt $a=\frac{kx}{y};b=\frac{ky}{z};c=\frac{kz}{x}$.

1. Giải phương trình:

$\sqrt{10x-5} + \sqrt{5x^2+5} = \sqrt{9x(x+2)}$

$\Leftrightarrow \sqrt{5(2x-1)}+\sqrt{5(x^2+1)}=\sqrt{9(x^2+2x)}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} 2x-1=a\\x^2+1=b \end{matrix}\right.$

Phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{5a}+\sqrt{5b}=\sqrt{9(a+b)}$

$\Leftrightarrow 10\sqrt{ab}=4(a+b)$

$\Leftrightarrow 4a-8\sqrt{ab}-2\sqrt{ab}+4b=0\Leftrightarrow (4\sqrt{a}-2\sqrt{b})(\sqrt{a}-2\sqrt{b})=0$

$\Leftrightarrow Th1:\sqrt{a}=2\sqrt{b};;;TH2:\sqrt{b}=2\sqrt{a}$

Sau đó bạn giải từng trường hợp bằng cách bình phương 2 vế rồi tìm x.

3. $x^2-3y^2-2xy-2x+14y=11$

$\Leftrightarrow (x+y)(x-3y)+2x+2y-4x+12y=11$$\Leftrightarrow (x-3y+2)(x+y-4)=3$

$\Rightarrow TH1: \left\{\begin{matrix}x+y-4=1 & \\x-3y+2=3 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow TH2,TH3,TH4$ tương tự

(Thi chuyên toán KHTN 2017) Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $p(p-1)=q(q^2-1)$

Xét hai số nguyên dương a, b thỏa mãn $a^2-4b+1$ chia hết cho $(a+2b)(2b-1)$. Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.

Bài này trong đề học sinh giỏi quận Nam Từ Liêm năm hay nhưng mà tui chưa làm được   

Chứng minh a=b=c

Mình không hiểu câu hỏi lắm. Trong đường tròn, nếu tam giác có 1 cạnh là đường kính, đỉnh còn lại nằm trên đường tròn thì tam giác đó là tam giác vuông.

Mình cũng đang học lớp 10 nên cho mình ké  post này luôn    . Hiện tại thì mình đang học cuốn Tài liệu Giáo Khoa Chuyên Toán 10 của thầy Đoàn Quỳnh. Link file pdf: https://drive.google...W146WDHny0/view