Ta có $u_n=(n+1)u_{n-1}-nu_{n-2}\Leftrightarrow u_n-u_{n-1}=n(u_{n-1}-u_{n-2}). $

Nếu đặt $u_n-u_{n-1}=v_{n-1}$ thì ta được $v_n=nv_{n-1} .$

Khi đó $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1=u_2-u_1=2$ và $q=n.$

 

Cấp số nhân thì $q$ phải là hằng số bạn nhé.

Từ $v_n=nv_{n-1}, \forall n \geq 1$ ta suy ra $v_n=n!, \forall n \geq 1$. Khi đó

$$u_n-u_{n-1}=v_{n}=n!\Leftrightarrow u_n=u_{n-1}+n!, \forall n \geq 2$$

Do đó

$$\begin{align*} u_1&=1 \\ u_2 &= u_1 + 2! \\ u_3 &= u_2 + 3! \\ ... & ... \\   u_n &= u_{n-1} + n! \end{align*}$$

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được $u_n= \sum_{k=1}^{n} k!, \forall n \geq 1$.

Rất tiếc là không thể biểu diễn $u_n$ qua các hàm số sơ cấp.

$$\sum_{k=0}^{n}k!=\dfrac{i\pi}{e}+\dfrac{Ei (1)}{e}-\dfrac{(-1)^n \Gamma [n+2]\Gamma [-n-1,-1]}{e},$$

với

$$Ei(x) = -\int_{-x}^\infty \frac{e^{-t}}t dt = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}t dt, \quad \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}dt; \quad \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}dt$$

Số cực trị của hàm số $f(x)$ không phụ thuộc vào số nghiệm của $f(x)=0$. Với giả thiết của bạn, hàm số $y=f(x)$ có thể có $0, 1, 2, ....$ đến vô số cực trị trong $(x_1,x_2)$.
 

https://diendantoanh...a-2b-2x-a-nb-n/

Em có tìm được một bài viết , vậy liệu trường hợp này có đúng ko ạ.

Đối với hàm số đa thức thì đúng.

Mệnh đề. Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ bậc $n$. Nếu $f(x)$ có đúng $n$ nghiệm phân biệt thì nó có đúng $n-1$ cực trị. 

Chứng minh: Vì $y=f(x)$ là hàm đa thức nên nó liên tục, khả vi trên $\mathbb{R}$.

Giả sử $y=f(x)$ có $n$ nghiệm phân biệt là $x_1<x_2<...<x_n$. Ta chứng minh trong khoảng $(x_1;x_2)$, hàm số có ít nhất 1 cực trị. Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $(x_1;x_2)$, $f(x_1)=f(x_2)=0$ và $f(x) \neq 0, \quad \forall x \in (x_1;x_2)$ nên tồn tại ít nhất một hằng số $c \in (x_1;x_2)$ sao cho trong hai khoảng $(x_1;c), (c;x_2)$, hàm số  $f(x)$ đồng biến trong khoảng này và nghịch biến trong khoảng kia. (nếu không, hàm số đơn điệu 1 chiều trên $(x_1;x_2)$ thì $f(x_1) \neq f(x_2)$).

Vậy $x=c$ là một cực trị của hàm số $y=f(x)$

Từ đó suy ra hàm số $y=f(x)$ có ít nhất $n-1$ cực trị. 

Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục, khả vi trên $\mathbb{R}$ nên mỗi cực trị là nghiệm của $f'(x)=0$. Nhưng $f'(x)=0$ là đa thức có bậc $n-1$ nên có tối đa $n-1$ nghiệm. 

Vậy $f(x)$ có đúng $n-1$ cực trị
 

Hình thứ nhất: không có cực trị

Hình thứ hai: có 1 cực trị

Hình thứ ba: có nhiều cực trị

1) $f(x)=\begin{cases} \begin{matrix}  x^2 & khi  & x \leq 1 \\   x & khi & 1 <x \leq 2 \\  2 & khi & 2 \leq x \leq 3\\ -2x+8 & khi & x > 3\end{matrix} \end{cases}$

Nhớ hơn 10 năm trước mình từng rất sôi nổi trên diễn đàn, đã từng điều hành diễn đàn. Giờ sau 10 năm quay lại, không biết những người bạn chung có còn gắn bó diễn đàn hay không, không biết diễn đàn có còn hoạt động sôi nổi như xưa hay không?...
Nhớ quá, diễn đàn với một thời vàng son!

Chào mừng thầy Định quay trở lại. Thầy có ý tưởng gì cho nhóm giáo viên toán trên diễn đàn không, như hồi xưa từng làm với thầy An ý

Tặng bạn cái hình

Cho điểm $A$ thuộc đường tròn $(c)$. Lấy điểm $Q \in (c)$, $Q$ bất kỳ khác $A$. Đường tròn $(Q,QA)$ cắt đường tròn  $(c)$ tại điểm thứ hai $P$. Đường tròn $(A,PA)$ cắt đường tròn  $(Q,QA)$ tại điểm thứ hai $D$. Đường tròn $(D,DA)$ cắt đường tròn  $(A, AP)$ tại $E,F$. Gọi $B,C$ là giao điểm thứ hai của $AE,AF$ với $(c)$. Chứng minh rằng $ABC$ là tam giác đều.

Ta biết rằng

- hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D$ là hàm số chẵn khi và chỉ khi $\begin{cases} x \in D \Leftrightarrow -x \in D \\ f(x)=f(-x), \forall x \in D \end{cases}$

- hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D$ là hàm số lẻ khi và chỉ khi $\begin{cases} x \in D \Leftrightarrow -x \in D \\ f(x)=-f(-x), \forall x \in D \end{cases}$.

Dễ thấy hàm số đề bài cho có $D=(-\infty,-1)\cup (-1,+\infty)$ mà $1\in D$ nhưng $-1\notin D$. Vậy hàm số đã cho không chẵn cũng không lẻ.

Các môn còn lại các bạn dowload tại link sau:

Link 1

https://drive.google...0EB?usp=sharing

Link 2: https://drive.google...7kL?usp=sharing

Ta có đẳng thức

$$1-x^a=(1-a)(1+x+x^2+...+x^{a-1}).$$

Do đó

\begin{align*}\lim_{x\to 1}\left ( \frac{a}{1-x^a} - \frac{1}{1-x} \right ) &=\lim_{x\to 1} \dfrac{a-(1+x+x^2+...+x^{a-1})}{1-x^a}    \\ &=\lim_{x\to 1} \dfrac{(1-x)+(1-x^2)+...(1-x^{a-1})}{1-x^a}    \\  &=\lim_{x\to 1} \dfrac{(1-x)\left[1+(1+x)+...+(1+x+...x^{a-2})\right]}{(1-x)(1+x+x^2+...+x^{a-1})}    \\  &=\lim_{x\to 1} \dfrac{1+(1+x)+...+(1+x+...x^{a-2})}{1+x+x^2+...+x^{a-1}}    \\  &=\dfrac{1+2+...+(a-1)}{1+2+...+a}=\dfrac{a(a-1)}{2a}=\dfrac{a-1}{2}. \end{align*}

Tương tự ta cũng có

$$\lim_{x\to 1}\left (  \frac{1}{1-x} -\frac{a}{1-x^a} \right ) =-\dfrac{b-1}{2}.$$

Do đó 

$$\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \frac{a}{1-x^a} - \frac{b}{1-x^b} \right ) =\dfrac{a-1}{2} -\dfrac{b-1}{2} = \dfrac{a-b}{2}.$$

$y'=\dfrac{-x^{2}+6x+5}{\left(x^{2}+x+2\right)^{2}}$

$y'=0 \Leftrightarrow x=3\pm \sqrt{14}$

Vẽ bảng biến thiên của $y$ ta thấy $\dfrac{-7-2\sqrt{14}}{7}\leq y\leq \dfrac{-7+2\sqrt{14}}{7}$

Nên các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ nguyên $y=-2;-1;0$

Từ đó tìm đc các điểm $A(-1;-2)$ ; $B\left(\frac{-1}{2};-1\right)$ ; $C\left(-1-\sqrt{2};-1\right)$ ; $D\left(-1+\sqrt{2};-1\right)$ ; $E(3;0)$

Phần màu đỏ có thể làm bằng cách sơ cấp hơn là 

$$y=\frac{x-3}{x^{2}+x+2} \Leftrightarrow yx^2 + (y-1)x+2y+3 = 0 \quad (1)$$

Ta cần tìm $y \in \mathbb{Z}$ để phương trình (1) có nghiệm. Xét hai trường hợp

*TH1: $y=0$

*TH2: $y \neq 0$ thì $\Delta \geq 0$.

Trong thực tế sản xuất mái vòm cuốn bằng kim loại, người ta gặp bài toán sau:

Tìm bán kính của đường tròn $R$ và chiều cao $h$ của hình viên phân có độ dài cung là $l$ và độ dài dây cung là $w$. 

Bạn hãy giúp nhà sản xuất giải bài toán trên.

Có thể người ta xấp xỉ hàm ngược này bằng chuỗi
$\text{sinc }x=\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+…$
Chỉ lấy $2$ số hạng đầu ta được xấp xỉ:
$\text{sinc }x=\frac{\sin x}{x} \approx 1-\frac{x^2}{3!}$
Nên $\text{sinc}^{-1}x \approx \sqrt{6(1-x)}$
 

Ban đầu em cũng làm như anh Thanh là dùng chuỗi hàm đề xấp xỉ. Tuy nhiên sai số lớn quá so với yêu cầu của bạn em. Họ yêu cầu sai số không vượt quá 5mm đối với 100m. Do vậy em giải phương trình bằng phương pháp Newton
 

Đặt $x=\frac{l}{2R} \in \left ( 0; \frac{\pi}{2} \right)$ ta thu được phương trình

$$f(x)=\sin x - \frac{w}{l}x  = 0$$

Ta giải phương trình này bằng phương pháp Newton. Ta có:

$$f'(x)=\cos x - \frac{w}{l}; \quad f''(x)=-\sin x$$

Ta lập dãy

$$\begin{cases}x_0 = \dfrac{\pi}{2} \\ x_{n} = x_{n-1}-\dfrac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}=x_{n-1}-\dfrac{\sin(x_{n-1})-\dfrac{w}{l}x_{n-1}}{\cos(x_{n-1})-\dfrac{w}{l}}, \quad \forall n \geq 1\end{cases}$$

Sau đó chỉ cần dùng 1 file Excel là có thể cho ra kết quả với sai số tùy ý, thường thì các số liệu thực tế sẽ cho kết quả ở bước 6.

p/s: Hình như Diễn đàn không cho up file Excel

Xem ở đây: https://diendantoanh...psilon-mathbbr/

Cho 2 đường thẳng $d_1: mx + (m-1)y - 2m +1= 0$ và $d_2: (1- m)x + my - 4m + 1 =0.$

b) Chứng minh $d_1$; $d_2$ luôn cắt tại 1 điểm cố định là $I$. Khi $m$ thay đổi thì $I$ chạy trên đường nào.

c) Tìm GTLN của diện tích tam giác $IAB$ với $A$; $B$ là các điểm cố định mà $d_1$; $d_2$ đi qua.

Ta chỉ ra các điểm cố định của $d_1, d_2$. Với $d_1$, ta có:

$$ mx + (m-1)y - 2m +1= 0, \quad \forall m \Leftrightarrow  m(x+y-2)-y+1=0, \quad  \forall m \Leftrightarrow \begin{cases} x+y-2=0 \\ -y+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow  x=y=1$$

Vậy điểm cố định của $d_1$ là $A(1;1)$.

$$(1- m)x + my - 4m + 1 =0, \quad \forall m \Leftrightarrow  x + 1 +m(y-x-4)=0, \quad  \forall m \Leftrightarrow \begin{cases} x+1=0 \\ y-x-4=0 \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$$

Vậy điểm cố định của $d_2$ là $B(-1;3)$.

Dễ thấy 

$$m(1-m) + (m-1)m = 0, \quad \forall m$$

Do đó $d_1 \perp d_2$. 

Vậy giao điểm $I$ của $d_1,d_2$ là điểm luôn nhìn $AB$ dưới 1 góc vuông. Do đó khi $m$ thay đổi, $I$ chạy trên đường tròn đường kính $AB$.

Diện tích tam giác $IAB$ lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ $I$ đến $AB$ lớn nhất, khi đó $IAB$ là tam giác vuông cân. Tìm được $I(-1;1)$ hoặc $I(1;3)$

Một lời giải cho bài toán trên được trình bày từ trang 47 trong tài liệu này ạ   The-luanvan-2018.pdf   798.17KB   209 downloads

Phải dùng gradient descent như thế thì bài toán này có nghiệm giải tích chính xác không anh?

Hic, rất tiếc là không có nghiệm giải tích chính xác.

Cách giải sau đây em đọc ở trên mạng. Đây chắc là cách sơ cấp nhất

Trong mặt phẳng với điểm O cố định, dựng đường tròn $c_1$ tâm $I_1$, bán kính $r_1=OI_1=\dfrac{2}{\pi}$. Gọi $A_1^1A_2^1$ là đường kính của đường tròn $c_1$.

Khi đó: 

$$\dfrac{1}{{OI_1}^2}=\dfrac{1}{{OA_1^1}^2}+\dfrac{1}{{OA_2^1}^2}$$

Gọi $OI_2$ là một đường kính của $c_1$. Dựng đường tròn $c_2$ tâm $I_2$, bán kính $r_2=OI_2$. Các đường thẳng $I_2A_1^1$ và $I_2A_2^1$ cắt đường tròn $c_2$ tại bốn điểm $A_1^2,...,A_4^2$

Khi đó: 

$$\dfrac{1}{{OI_1}^2}=\dfrac{1}{{OA_1^1}^2}+\dfrac{1}{{OA_2^1}^2}=\sum_{i=1}^4 \dfrac{1}{{OA_i^2}^2}$$

Gọi $OI_3$ là một đường kính của $c_2$. Dựng đường tròn $c_3$ tâm $I_3$, bán kính $r_3=OI_3$. Các đường thẳng $I_3A_i^2$ cắt đường tròn $c_3$ tại tám điểm $A_1^3,...,A_8^3$

Ta được dãy các đường tròn $(c_n)$ với các điểm $A_i^n, i=1, ..., 2^n$ thỏa mãn điều kiện:

$1) r_{n+1}=2r_n, \forall n \geq 1$

$2) \widehat{A_i^{n+1} I_{n+1} A_{i+1}^{n+1}} = \frac{1}{2} \widehat{A_i^{n} I_{n} A_{i+1}^{n}}, \quad i = 1,2,..., 2^n -1, \quad \forall n \geq 1$

Do đó độ dài các cung $A_i^n A_{i+1}^n$ luôn không đổi và bằng 2.

Đồng thời ta cũng có:

$$ \dfrac{1}{{OI_1}^2}=\sum_{i=1}^{2^n} \dfrac{1}{{OA_i^n}^2} \quad \quad (1)$$

Cho $n \to + \infty$, đường tròn $c_n$ trở thành đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $OI_1$, ta coi đó là một trục số gốc $O$, các điểm $A_i^n$ luôn cách nhau 2 đơn vị, trở thành các điểm $\pm 1, \pm 3, \pm 5, ...$

Khi đó $(1)$ trở thành:

$$\dfrac{\pi^2}{8}=\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n-1)^2}=S_{le}$$

Chú ý rằng: 

$$S_{chan}=\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n)^2}=\dfrac{1}{4} =\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$$

Suy ra: 

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}= \dfrac{4}{3} S_{le} =\dfrac{\pi^2}{6}$$

Thú thật là mình không đủ trình độ để đọc chứng minh của bạn.

Xin gửi kèm một chứng minh khác để mọi người tham khảo

 2101.07176.pdf   110.65KB   113 downloads

Chứng minh này cũng có một lỗi sai nào đó, và mình không đủ trình độ để tìm ra.

Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho trục của khối trụ là trục $Oz$, tâm $I$ của khối cầu thuộc trục $Ox$. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $I$ của khối cầu đến trục của hình trụ. Khi đó $I(d;0;0)$. Phần chung $\mathcal{H}$ của khối trụ và khối cầu là một thể trụ nên có thể tích là:

$$v=\iiint_{\mathcal{H}}dxdydz=\iint_{\mathcal{D}}\sqrt{R^2-(x-d)^2-y^2}dxdy,$$
trong đó $\mathcal{D}$ là hình chiếu của $\mathcal{H}$ lên mặt phẳng $(Oxy)$. Dễ thấy $\mathcal{D}$ là hình tròn tâm $O$, bán kính $r$. Do đó:

$$v=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-(\lambda \cos \varphi -d)^2-\lambda^2\sin^2 \varphi} d\lambda=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-d^2-\lambda ^2 + 2d\lambda\cos \varphi } d\lambda$$

Về mặt lý thuyết thì có thể tính được tích phân $\int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-d^2-\lambda ^2 + 2d\lambda\cos \varphi } d\lambda$ bằng cách đổi biến và tách thành hai tích phân dạng $\int_{m}^{n}\sqrt{a^2-x^2}dx$, $\int_{m_2}^{n_2}\sqrt{a^2-x^2}xdx$. Nhưng rõ ràng là nó chả dễ tẹo nào.

Anh Thanh giúp em mở mang tầm mắt với, hic hic 

Cho em hỏi nguyên tắc thi đấu này đã được xây dựng như thế nào?—

https://diendantoanh...ều-lệ-mhs-2013/

Mình cũng là một trong những người tham gia xây dựng luật chơi. Nguyên tắc chung có thể kể với mấy gạch đầu dòng như sau:

- Sau mỗi trận, phải có một số người chơi bị loại.

- Số người bị loại ở trận sau không ít hơn số người bị loại ở trận trước

- Đến trận đấu cuối cùng, chỉ còn đúng 10 người.

- Thứ tự ưu tiên bị loại: người ít sôi nổi phải bị loại trước người ít điểm

Thật ra MHS, MSS, MO rất hấp dẫn, nó cũng góp phần xây dựng thế hệ min, mod ngày nay. Tuy nhiên, các cuộc thi này không tiếp tục được do khủng hoảng công tác trọng tài ở thời điểm đó

Bài toán này rất đơn giản, bạn tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số như bình thường. Sau đó bạn có thể áp dụng công thức tính diện tích tam giác dựa vào tọa độ ba đỉnh

$$\mathcal{S}_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2} \sqrt{(AB.AC)^2-\left ( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right )^2}$$