Giải

ĐK: $\sin{x} + \cos{x} \neq - 1$

Nhận thấy:
$\sin{x} + \sin{3x} = 2\sin{2x}\cos{x} =2\cos{x}(\sin{x} + \cos{x} + 1)(\sin{x} + \cos{x} - 1)$

Vậy, phương trình ban đầu tương đương:
$2\cos{x}(\sin{x} + \cos{x} - 1) = \sqrt{2}\cos{3x} + 1 - 2\left (1 - 2\sin^2{\dfrac{x}{2}}\right )$

$\Leftrightarrow \sin{2x} + \cos{2x} = \sqrt{2}\cos{3x}$

$\Leftrightarrow \cos{3x} = \cos{\left ( 2x - \dfrac{\pi}{4}\right )}$

Giải

ĐK: $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ và $x \neq \dfrac{-\pi}{4} + k\pi \, (k \in Z)$

Phương trình tương đương:
$\dfrac{(2\cos^2{x} + \sin{x})\sqrt{2}\sin{\left (x + \dfrac{\pi}{4}\right )}}{1 + \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}} = \cos{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\cos{x}(2\cos^2{x} + \sin{x})(\sin{x} + \cos{x})}{\sin{x} + \cos{x}} = \cos{x}$

$\Leftrightarrow 2\cos^2{x} + \sin{x} = 1\Leftrightarrow 2\sin^2{x} - \sin{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\sin{x} = 1\\\sin{x} = \dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.$

Bạn tự làm phần còn lại nhé. Chú ý đối chiếu điều kiện.

Bài 1.

Giải

ĐK: $x \neq \dfrac{k\pi}{2}$, $x \neq \dfrac{-\pi}{3} + k\pi$ và $x \neq \dfrac{\pi}{6} + k\pi \, (k \in Z)$

Nhận xét: $\cot{\left ( \dfrac{\pi}{6} - x\right )} = \tan{\left [ \dfrac{\pi}{2} - \left ( \dfrac{\pi}{6} - x \right )\right ]} = \tan{\left ( x + \dfrac{\pi}{3}\right )}$

Vậy: $\cot{\left ( \dfrac{\pi}{6} - x\right )}\cot{\left ( x + \dfrac{\pi}{3}\right )} = 1$

Vậy, phương trình tương đương:
$\dfrac{\sin^2{x} - \cos^2{x}}{\sin^2{x}\cos^2{x}} = \dfrac{8}{3}$

$\Leftrightarrow -\cos{2x} = \dfrac{2}{3}\sin^2{2x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\cos^2{2x} - \cos{2x} - \dfrac{2}{3} = 0 $

Còn lại bạn tự làm hén. Chú ý đối chiếu điều kiện.

Liệu có nhầm lẫn không Chung??? (Cũng có thể mình sai)

Khi cậu nhân mẫu lên thì vế phải trở thành: $2(\cos^2{x} - 1)(1 + \sin{x}) = -2\sin^2{x}(1 + \sin{x})$

Giải

ĐK: $x \neq k2\pi \, (k \in Z)$

Phương trình tương đương:
$\dfrac{\sin{2x} + 2\cos{x} - 2\cos^3{x}}{1 - \cos{x}} = 2(1 + \cos{x})(1 + \sin{x})$
$\Leftrightarrow 2\sin{x}\cos{x} + 2\cos{x}(1 - \cos^2{x}) = 2(1 - \cos^2{x})(1 + \sin{x})$
$\Leftrightarrow \sin{x}\cos{x} + \sin^2{x}\cos{x} = \sin^2{x}(1 + \sin{x})$

$\Leftrightarrow \sin{x}(1 + \sin{x})(\cos{x} - \sin{x}) = 0$
Đoạn còn lại bạn tự giải nhé.

Giải

Ta có:
$\dfrac{a}{ab + 3c} = \dfrac{a}{ab + (a + b + c)c} = \dfrac{a}{(a + c)(b + c)}$

Vậy:
$VT = \dfrac{a}{(a + c)(b + c)} + \dfrac{b}{(a + c)(a + b)} + \dfrac{c}{(a + b)(b + c)}$

$= \dfrac{a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca}{(a + b)(b + c)(c + a)} = \dfrac{(a + b + c)^2 - ab - bc - ca}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

$\geq \dfrac{(a + b + c)^2 - \dfrac{1}{3}(a + b + c)^2}{\dfrac{8(a + b + c)^3}{27}} = \dfrac{9}{4(a + b + c)} = \dfrac{3}{4}$

Giải

Ta có:
$\dfrac{\sin{(A - B)}}{\sin{(A + B)}} = \dfrac{\sin{A}\cos{B} - \sin{B}\cos{A}}{\sin{C}}$

$= \dfrac{\dfrac{a}{2R}.\dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} - \dfrac{b}{2R}.\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}{\dfrac{c}{2R}}$

$= \dfrac{\dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2c} - \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}}{c} = \dfrac{a^2 - b^2}{c^2}$

Vậy đẳng thức ban đầu tương đương: $a^2 + b^2 = c^2$

Khi đó, tam giác ABC vuông tại C. 

Giải

Đặt $a = \dfrac{x}{y}, b = \dfrac{y}{z}, c = \dfrac{z}{x}$ với x, y, z > 0

Ta cần chứng minh:
$\dfrac{x^3}{2yz^2 + yx^2} + \dfrac{y^3}{2zx^2 + y^2z} + \dfrac{z^3}{2xy^2 + xz^2} \geq 1$

Theo BĐT Schwarz:
$\dfrac{x^3}{2yz^2 + yx^2} + \dfrac{y^3}{2zx^2 + y^2z} + \dfrac{z^3}{2xy^2 + xz^2}$ 

$= \dfrac{x^4}{2xyz^2 + x^3y} + \dfrac{y^4}{2yzx^2 + y^3z} + \dfrac{z^4}{2xzy^2 + z^3x}$

$\geq \dfrac{(x^2 + y^2 + z^2)^2}{2xyz(x + y + z) + x^3y + y^3z + z^3x}$

Ta chứng minh được:
$(x^2 + y^2 + z^2)^2 \geq (xy + yz + zx)^2 \geq 3xyz(x + y + z) \, (1)$

Và $(x^2 + y^2 + z^2)^2 \geq 3(x^3y + y^3z + z^3x) \,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)$

Phần chứng minh (1) thì là BĐT cơ bản rồi.

BĐT (2) tương đương:
$2(x^2 + y^2 + z^2)^2 \geq 6(x^3y + y^3z + z^3x)$
$\Leftrightarrow (x^2 – 2xy + yz + zx – z^2)^2 + (y^2 – 2yz + xz + xy – x^2)^2 + (z^2 – 2zx + xy + yz – y^2)^2 \geq 0$

BĐT trên luôn đúng.

Chứng minh được 2 BĐT nói trên, từ đó suy ra: $P \geq 1$

Giải

Giải

$I = \int_{\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{2\pi}{3}}\dfrac{\sin{x} - \sqrt{3}\cos{x}}{\sin{3x} + 3\sin{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )}}dx$

Chú ý:

$\sin{x} - \sqrt{3}\cos{x} = 2\sin{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )}$

Và $\sin{3x} + 3\sin{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )} = - \sin{\left [3\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )\right ]} + 3\sin{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )} = 4\sin^3{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )}$

Vậy:
$I = \dfrac{1}{2}\int_{\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{2\pi}{3}}\dfrac{d\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)}{\sin^2{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )}}$

$I = \dfrac{-1}{2}\left( \cot{\dfrac{\pi}{3}} - \cot{\dfrac{\pi}{6}}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Hình như cách của cậu badboykmhd123456 là đúng chứ nhỉ?

Đoạn bôi đỏ viết ra là:

Do $3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2 \Rightarrow \dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{4(a + b + c)} \geq \dfrac{(a + b + c)^4}{36(a + b + c)} = \dfrac{(a + b + c)^3}{36}$

Chưa đụng chạm đến vấn đề $a + b + c \geq 3$

Giải

ĐK: $3 + 2x^2y - x^4y^2 \geq 0$

Hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{matrix}\sqrt{4 - \left (x^2y - 1 \right )^2} = 2x^4 + y^4 - x^2\\1 + \sqrt{1 + (x - y)^2} = - x^6 + 2x^3y^2 + 2x^4 - x^2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{4 - \left (x^2y - 1 \right )^2} = 2x^4 + y^4 - x^2\\1 + \sqrt{1 + (x - y)^2} = - (x^3 - y^2)^2 + 2x^4 - x^2 + y^4\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 1 + \sqrt{1 + (x - y)^2} = - (x^3 - y^2)^2 + \sqrt{4 - \left (x^2y - 1 \right )^2}$

Nhận thấy: $VT \geq 2 \geq VF$. Vậy, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
$\left\{\begin{matrix}x = y\\x^3 = y^2\\x^2y = 1\end{matrix}\right.  \Rightarrow x = y = 1$

Giải

ĐK: $x \neq 0$

Phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$(xy + 2)^2 - 2\dfrac{1}{x}(xy + 2) + \dfrac{1}{x^2} = 0$

$\Leftrightarrow \left (xy + 2 - \dfrac{1}{x} \right )^2 = 0 \Rightarrow xy + 2 = \dfrac{1}{x}$

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có:
$\left ( \dfrac{1}{x^2} - 1 \right )^3 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2} = \left ( \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{2}{x}\right )^3$

Đặt $a = \dfrac{1}{x} \Rightarrow  (a^2 - 1)^3 + a - \dfrac{1}{2} = (a^2 - 2a)^3$

$\Leftrightarrow \left [(a^2 - 1)^3 - (a^2 - 2a)^3 \right ] + \dfrac{2a - 1}{2} = 0$

$\Leftrightarrow (2a - 1)\left [ (a^2 - 1)^2 + (a^2 - 1)(a^2 - 2a) + (a^2 - 2a)^2 + \dfrac{1}{2}\right ] = 0$

$\Rightarrow a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = \dfrac{-3}{4}$

Giải

ĐK: $x \leq 4; y \leq \dfrac{3}{2}; x \geq \dfrac{8y}{7}$ và $x \geq \dfrac{9y}{7}$

Đặt $\sqrt{4 - x} = a; \sqrt{3 – 2y} = b \, (a, b \geq 0)$

Phương trình (1) của hệ tương đương:
$(2000 + 3a^2)a - (2000 + 3b^2)b = 0 \Leftrightarrow 3(a^3 - b^3) + 2000(a - b) = 0$

$\Leftrightarrow (a - b)\left [3(a^2 + ab + b^2) + 2000\right ] = 0 \Leftrightarrow a = b \Rightarrow 2y = x - 1$

Thế $2y = x - 1$ vào phương trình (2) của hệ, ta được:
$$2\sqrt{3x + 4} + 3\sqrt{5x + 9} = x^2 + 6x + 13$$

Với điều kiện $x \geq \dfrac{-4}{3}$, phương trình trên tương đương:

$x^2 + x + 2\left (x + 2 - \sqrt{3x + 4}\right ) + 3\left (x + 3 - \sqrt{5x + 9}\right ) = 0$

$\Leftrightarrow x^2 + x + \dfrac{2(x^2 + x)}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3(x^2 + x)}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}} = 0$

$\Leftrightarrow (x^2 + x)\left ( 1 + \dfrac{2}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}}\right ) = 0$

Do $x \geq \dfrac{-4}{3} \Rightarrow 1 + \dfrac{2}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}} > 0$

Vậy $x^2 + x = 0 \Rightarrow \left[\begin{matrix}x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{-1}{2}\\x = -1 \Rightarrow y = -1\end{matrix}\right.$

Giải

Giải

@trandaiduongbg

@Christian GoldBach
Hình như bài này chỉ yêu cầu tìm nghiệm dương (> 0) chứ không phải nguyên dương ($\in N^*$)?